三角函數:加減法公式

緊接上一篇：三角函數：正弦餘弦定理及應用

這篇我們推導三角函數中加減法與和差化積公式。

1.加減法公式，加減法公式主要針對「普通」角變「特殊」角，這個意義就在於，我們知道一些特殊角度的值，比如：

sin30° = 1/2，sin60° = √3/2 ，sin45° = √2/2

那麼sin75° = sin（45°+30°） = sin45°+sin30°？

亦或者sin15° = sin（45°-30°） = sin45° - sin30°？

這裡到底能不能直接用加減法去做運算呢，我們來通過繪畫的方式展現到底sin75°或者說sin（α+β）度和sinα與sinβ的關係，如下圖：

上面我們建立輔助用的單位圓，然後根據餘弦定理推導了最簡單的cos（α-β） = cosαcosβ+sinαsinβ，接下來繼續推導，如下圖：

這裡我們用γ = -β去做替換，就能得到cos(α+γ) = cosαcosγ - sinαsinγ

既然cos推導完畢，接下來我們推到sin，前面我們推過：

sinα = -cos(90°+α)

cosα = sin（90°+α）

接下來我們繼續用代換法，如下圖：

上面我們繼續使用γ = 90°+α帶入，然後利用直角三角形內角公式可以得出：

sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ

已經推導到這裡了，那麼最後的sin(α-β) = ？，這就簡單了，只需要帶入γ = -β就能得出：

sin（α-（-β）） = sinαcos（-（-β）） - cosαsin（-（-β））

因為γ = -β

所以

sin（α-γ） = sinαcos（-γ）-cosαsin（-γ）

sin（α-γ） = sinαcosγ + cosαsinγ

推導到這裡

我們就知道sin75° = sin30°cos45° + cos30°sin45° 

最後我們就用程序測試一下唄，如圖：

using System.Collections;using System.Collections.Generic;using UnityEngine; public class AngleMathFunc : MonoBehaviour{     void Start()    {        int angle = 75;                float cosangle = Mathf.Cos(30) * Mathf.Cos(45) - Mathf.Sin(30) * Mathf.Sin(45);        float apicosangle = Mathf.Cos(angle);#if UNITY_EDITOR        Debug.LogFormat("cosangle = {0} apicosangle = {1}", cosangle, apicosangle);#endif                float sinangle = Mathf.Sin(30) * Mathf.Cos(45) + Mathf.Cos(30) * Mathf.Sin(45);        float apisinangle = Mathf.Sin(angle);#if UNITY_EDITOR        Debug.LogFormat("sinangle = {0} apisinangle = {1}", sinangle, apisinangle);#endif    } }


可以看出公式計算結果和函數api計算結果是一樣的
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作者：羊羊2035
來源：CSDN
原文：https://blog.csdn.net/yinhun2012/article/details/79402593
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標籤:圖形學基礎三角函數