公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯首先發現，有的自然數，具有一種奇異的性質：把它所有的除數（本身不包括在內）加起來，正好等於這個自然數自己。例如，6的除數有1、2、3（6不包括在內），且有 6=1+2+3。又如，28的所有的除數為1、2、4、7、14（28不包括在內），且有28=1+2+4+7+14。像這樣的數，我們就稱之為「完全數」（「完數」）。「完數」這個名稱具有神秘的色彩，意思是「完美的數」。
畢達哥拉斯曾說：「6象徵著完滿的婚姻以及健康和美麗，因為它的部分是完整的，並且其和等於自身。」有些《聖經》注釋家認為6和28是上帝創造世界時所用的基本數字，因為上帝創造世界花了六天，二十八天則是月亮繞地球一周的日數。聖奧古斯丁說：6這個數本身就是完全的，並不因為上帝造物用了六天；事實上，因為這個數是一個完全數，所以上帝在六天之內把一切事物都造好了。
在中國文化裡：有六穀、六畜、戰國時期的六國、秦始皇以六為國數、六常（仁、義、禮、智、信、孝）、天上四方有二十八宿等等，6和28，在中國歷史長河中，之所以熠熠生輝，是因為它是一個完全數。難怪有的學者說，中國發現完全數比西方還早呢。
完全數誕生後，吸引著眾多數學家與業餘愛好者像淘金一樣去尋找。它很久以來就一直對數學家和業餘愛好者有著一種特別的吸引力，他們沒完沒了地找尋這一類數字。接下去的兩個完數看來是公元1世紀，畢達哥拉斯學派成員尼克馬修斯發現的，他在其《數論》一書中有一段話如下：也許是這樣，正如美的、卓絕的東西是罕有的，是容易計數的，而醜的、壞的東西卻滋蔓不已；是以盈數和虧數非常之多，雜亂無章，它們的發現也毫無系統。
但是完全數則易於計數，而且又順理成章：因為在個位數裡只有一個6；十位數裡也只有一個28；第三個在百位數的深處，是496；第四個卻在千位數的尾巴頸部上，是8128。它們具有一致的特性：尾數都是6或8，而且永遠是偶數。但在茫茫數海中，第五個完全數要大得多，居然藏在千萬位數的深處！它是33550336，它的尋求之路也更加撲朔迷離，直到十五世紀才由一位無名氏給出。這一尋找完全數的努力從來沒有停止。
17世紀，法國數學家、哲學家、物理學家笛卡爾曾經公開預言：「能找出完美數是不會多的，好比人類一樣，要找一個完美人亦非易事。」歷史也證實了他的預言。完美數稀少而優美，所以被人們稱為「數論寶庫中的『鑽石』」。
同時，也發現完全數有許多奇妙的性質，例如存在一種完全數，就會相應地存在一種把1表示成不同單位分數之和的表達式。比如有完全數6，就有下面的1的單位分數之和的表達式：
同樣，有完全數28，就有下面的1的單位分數之和的另一種表達式：
這很好理解。只要把完全數的表達式兩邊同時除以完全數即可。所以，從完全數的表達式
496 = 1+2+4+8+16+31+62+124+248出發，把它的兩邊同時除以496，就可以得出：
除此之外，還具有如下特殊魅力的性質：
（1）所有的完全數都是三角形數。例如：6=1+2+3；28=1+2+3+...+6+7；496=1+2+3+...+30+31；8128=1+2+3…+126+127。
（2）所有的完全數的倒數都是調和數。例如：1/1+1/2+1/3+1/6=2；1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=2；1/1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/31+1/62+1/124+1/248+1/496=2。
（3）可以表示成連續奇立方數之和。除6以外的完全數，都可以表示成連續奇立方數之和，並規律式增加。例如：28=1+3^3；496=1^3+3^3+5^3+7^3；8128=1^3+3^3+5^3+……+15^3；33550336=1^3+3^3+5^3+……+125^3+127^3。
（4）都可以表達為2的一些連續正整數次冪之和。不但如此，而且它們的數量為連續質數。例如：6=2^1+2^2；28=2^2+2^3+2^4；496=2^4+2^5+2^6+2^7+2^8；8128=2^6+2^7+2^8+2^9+2^10+2^11+2^12；33550336=2^12+2^13+……+2^24。
（5）完全數都是以6或8結尾。如果以8結尾，那麼就肯定是以28結尾。（科學家仍未發現由其他數字結尾的完全數。）
（6）各位數字輾轉式相加個位數是1。除6以外的完全數，把它的各位數字相加，直到變成個位數，那麼這個個位數一定是1。例如：28：2+8=10，1+0=1；496：4+9+6=19，1+9=10，1+0=1；8128：8+1+2+8=19，1+9=10，1+0=1；33550336:3+3+5+5+0+3+6=28,2+8=10,1+0=1。
（7）它們被3除餘1、被9除餘1、1/2被27除餘1。除6以外的完全數，它們被3除餘1，9除餘1，還有1/2被27除餘1。28/3 商9餘1，28/9 商3餘1，28/27 商1餘1。496/3 商165餘1，496/9 商55餘1。8128/3 商2709餘1，8128/9 商903餘1，8128/27 商301餘1。
1946年，人們開始利用計算機找完全數，人們藉助這一有力的工具繼續探索。笛卡爾曾公開預言：「能找出完全數是不會多的，好比人類一樣，要找一個完美人亦非易事。」時至今日，人們一直沒有發現有奇完全數的存在。於是是否存在奇完全數成為數論中的一大難題。只知道即便有，這個數也是非常之大，並且需要滿足一系列苛刻的條件。
2001年11月11日，數學家找到了第39個完全數： 它有8107891位.
到2013年2月6日為止，一共只找到了48個完全數.在無窮的自然數中，到底有多少個完全數？
現在已找出的48個完全數均為偶數，是否存在奇完全數？如果存在，它必須大於10^300。至今無人能回答這些問題。儘管沒有發現奇完全數，但當代數學家奧斯丁歐爾證明，若有奇完全數，則其形式必然是12^p+1或36^p+9的形式，其中p是素數。在10^300以下的自然數中奇完全數是不存在的。
在探尋完全數的過程中，還有這樣一段軼事：1936年美國聯合通訊社播發了一條新聞，《紐約先驅論壇報》報導說：「S.I.克利格(Kireger)博士發現了一個155位的完全數 ，該數的各位數字依次是：26815615859885194199148049996411692254958731641184786755447122887443528060146978161514511280138383284395055028465118831722842125059853682308859384882528256.
這位博士說，為了證明它確為完全數，足足奮鬥了五年之久.」實際上在兩千多年前，歐幾裡德就已經告訴大家是完全數 ，其中n是正整數，後經歐拉嚴格證明，歐幾裡德的公式是正確的.所以對那些數學狂熱者應當心，自己發現的可能是塊「舊大陸」，並非新成就.
更驚喜的是，如果一個正整數全部因子（包括它本身）之和等於這個數的某個整數倍，我們就稱這個數為多完全數。如120全部因子為
1，2，3，4，5，6，8，10，12，15，20，24，30，40，60，120。
這些因子之和為360，360正好是120的三倍。所以，120是一個多完全數，而倍數3稱為這個完全數的指標。多完全數規律性比完全數差，難以找到一定的公式，只有用計算機來尋找較大的多完全數。
過去，人們竭盡全力只找到大約700個多完全數，其中最大的具有「指標」8。最近美國科羅拉多州的數學家弗雷德海侖尼烏斯編制了一套電腦程式，將多完全數的個數擴大到了1288個。其中包括14個天文數字的大數，它們的「指標」為9，而最大的數有588位。
據理論研究，對於每一個「指標」，只有有限多個多完全數。 「指標」為3的多完全數只有6個； 「指標」為4的多完全數只有36個； 「指標」為5的多完全數只有65個。然而「指標」為8的多完全數，已經知道的就有400多個，它們幾乎都是海侖尼烏斯發現的。
1644年法國數學家梅森在其所著的《物理數學隨感》一書中指出，龐格斯給出的28個「完美數」中，只有8個是正確的，即當P=2、3、5、7、13、17、19和31時，2^(P-1)(2^P-1)是完美數，同時又增加了P=67、P=127和P=257。在未證明的情況下他武斷地說：當P≤257時，只有這11個完美數。這就是著名的「梅森猜測」。
「梅森猜測」吸引了許多人的研究，德國數學家萊布尼茲和哥德巴赫都認為是對的；他們低估了完美數的難度。1730年9月，被稱為世界四大數學家雄獅之一的歐拉，時年23歲，正值風華茂盛。他出手不凡，給出了一個出色的定理：「每一個偶完美數都是形如2^(P-1)(2^P-1)的自然數，其中P是素數，2^P-1也是素數」，並給出了證明。這是歐幾裡得定理的逆定理。有了歐幾裡得和歐拉兩個互逆定理，公式2^(P-1)(2^P-1)就成為判斷一個偶數是不是完美數的充要條件了。
歐拉研究「梅森猜測」後指出：「我冒險斷言：每一個小於50的素數，甚至小於100的素數使2^(P-1)(2^P-1)是完美數的僅有P取2、3、5、7、13、17、19、31、41和47，我從一個優美的定理出發得到了這些結果，我自信它們具有真實性。」
1772年歐拉因過度拼命工作雙目已經失明了，但他仍未停止探究；他在致瑞士數學家丹尼爾的一封信中說：「我已經心算證明P=31時，2^30(2^31-1)是第8個完美數。」他的頑強毅力和解題技巧令人讚嘆不已。同時，他發現自己過去認為P=41和P=47時是完美數是錯誤的。歐拉定理和他發現的第8個完美數的方法，使完美數的探究發生了深刻變化，可是人們仍不能徹底解決「梅森猜測」。
1876年法國數學家魯卡斯創立了一種檢驗素數的新方法，證明P=127時確實是一個完美數，這使「梅森猜測」之一變成事實；他的新方法給人們探究完美數帶來了生機，同時也動搖了「梅森猜測」，因為數學家藉助他的新方法發現猜測中P=67和P=257時不是完美數。在以後1883至1931年的48年間，數學家發現「梅森猜測」中P≤257範圍內漏掉了P=61、P=89和P=107時的3個完美數。
雖然「梅森猜測」中有錯漏，但是梅森在17世紀的歐洲起了一個極不平常的思想通道作用，在學人心目中有著崇高的地位。為了紀念他對科學的貢獻，1897年在首屆國際數學家大會上(2^P-1)型的素數被命名為「梅森素數」。可以說，只要找到梅森素數，就可以找到與其對應的完美數。
分布式計算技術的出現使完美數的探究如虎添翼。1996年初，美國計算機專家沃特曼編制了一個梅森素數計算程序，並把它放在網頁上供數學家和業餘數學愛好者免費使用。這就是舉世聞名的「網際網路梅森素數大搜索」(GIMPS)項目，也是全世界第一個基於網際網路的分布式計算項目；該項目主要利用大量普通計算機的閒置處理能力來獲得相當於超級計算機的運算能力。美國計算機專家庫爾沃斯基於1997年建立了「素數網」(PrimeNet)，使分配搜索區間和向GIMPS發送報告自動化。人們只要從該項目下載開放原始碼的Prime95或MPrime軟體，就可以馬上尋找梅森素數了。
為了激勵人們尋找梅森素數和促進網格技術的發展，總部設在美國的電子新領域基金會(EFF)於1999年3月向全世界宣布了為通過GIMPS項目來尋找梅森素數而設立的「協同計算獎」。它規定向第一個找到超過100萬位數的個人或機構頒發5萬美元。後面的獎金依次為：超過1千萬位數，10萬美元；超過1億位數，15萬美元；超過10億位數，25萬美元。但是絕大多數研究者參與該項目並不是為了金錢，而是出於好奇心、求知慾和榮譽感。
美國加州大學洛杉磯分校的計算機專家史密斯於2008年首先找到超過1千萬位的梅森素數——2^43112609-1，該數有12 978 189位。這一重大成就被著名的《時代》雜誌評為「2008年度50項最佳發明」之一。不過，史密斯是私自利用學校的75臺計算機參加GIMPS項目的；本來這種行為應該被處罰，但鑑於他為學校爭了光，反而受到了校方的表彰。前不久，他獲得了EFF頒發的10萬美元大獎及金牌一枚。
經過確認，2017年12月26日，美國田納西州的51歲聯邦快遞員、曾經幹過電氣工程師的Jonathan Pac發現了 第50個梅森素數，數值為2^77232917 -1，也就是2的77232917次方減1。 它是一個23249425位數 ，比2016年1月份發現的第49個梅森素數多了接近100萬位，可以寫滿9000頁紙，1秒鐘寫1英寸(2.54釐米)長也要連寫54天，整個數字長達37英裡(59.5公裡)，比第49個長了3英裡(4.8公裡)。 Jonathan Pac已經加入GIMPS項目（搜索梅森素數的分布式網絡計算）尋找梅森素數超過14年， 這次利用自己的一臺Core i5-6600電腦，連續運行了六天，才得到這個重大發現 ，並由四個人在五個不同平臺上使用四種不同算法進行了驗證：
－ Aaron blosser，Intel Xeon伺服器，Prime95，37小時。
－ David Stanfill，AMD RX Vega 64顯卡，gpuOwL，34小時。
－ Andreas Hoglund，NVIDIA Titan Black顯卡，CUDALucas，73小時；亞馬遜AWS，Mlucas，65小時。
－ Ernst Mayer，32核心Xeon伺服器，Mlucas，82小時。
Jonathan Pac為此獲得了3萬美元獎金。接下來如果誰第一個發現首個超過1億位數的梅森素數，將獲得15萬美元獎金！10億位數的會獎勵25萬美元！
目前世界上有192個國家和地區60多萬人使用超過100萬臺計算機參與GIMPS項目。迄今為止，人們通過該項目已經找到15個梅森素數，其發現者來自美國（9個）、德國（2個）、英國（1個）、法國（1個）、挪威（1個）和加拿大（1個）。也就是說，有15個完美數是通過GIMPS項目被發現的。全球間接尋找新完美數的「數字遊戲」仍在進行中。
值得一提的是，人們在尋找完美數的同時，對梅森素數的重要性質——分布規律的研究也一直在進行著。從已發現的梅森素數來看，它在正整數中的分布時疏時密、極不規則，因此研究梅森素數的分布規律似乎比尋找新的完美數更為困難。
梅森素數在密碼學方面有潛在的應用。現在人們已將大素數用於現代密碼設計領域（如公鑰加密和數字籤名），其原理是：將一個很大的數分解成若干素數的乘積非常困難，但將幾個素數相乘卻相對容易得多。在這種密碼設計中，需要使用較大的素數，素數越大，密碼被破譯的可能性就越小。它促進了網格技術的發展。而網格技術將是一項應用非常廣闊、前景十分誘人的技術。另外，探尋梅森素數的方法還可用來測試計算機硬體運算是否正確。
俗話說，「一葉知秋」、「滴水映海」。當我們追溯完美數探究歷程之時，可以窺見其探究蘊含著數學家及數學愛好者的辛勤努力，正是由於他們的不懈奮鬥，才取得了可喜的進展，並創造了今天的輝煌。不管有沒有奇完美數，我們還有第二個未解決問題：偶完美數的集合是有限的還是無窮的。或者這等於問，是否存在有限或者無窮多個梅森素數。
人們在探索中發現，隨著多完全數數字的變大，它的分布密度越來越稀疏。它們是否會在正整數中消失呢？這是一個懸而未決的問題。數學的世界是奇妙的，是神秘的，數學的奧秘需要你們去執著地探究，希望你們能熱愛數學、研究數學，探索發現數學中的未知之謎。