「無窮」的魅力,數學家知道

2020-12-01 科學網

 

■孫小淳 王淑紅

「無窮」，曾經是數學上的「怪物」，因為一位偉大的數學家而變成數學概念家庭的「新人」。19世紀末，德國數學家康託爾發明了集合論，無窮被賦予新的含義，原來「不可理喻」的「無窮」是可以進行大小比較的。康託爾的集合論，使近現代數學進入了一個全新的境界。希爾伯特在1900年舉辦的第二次國際數學家大會上，高度讚揚康託爾的集合論是「人類純粹智力活動的最高成就之一」。希爾伯特在本次大會上提出了指引未來數學發展的23個問題，其中第一個問題便是康託爾的連續統假設。1926年，希爾伯特再次用同樣的口吻讚美康託爾的超窮數理論。

然而，康託爾的集合論思想在誕生之初並未被接納，原因之一就是它太抽象了。雖然在希爾伯特等大數學家的推崇和助推之下，康託爾的思想已經得到普遍的認可並發揚光大，但是囿於其抽象性，對於一般讀者而言，理解起來是相當困難的，很難把握其思想真諦。

我們翻譯的這本關於集合論和無窮的書，是美國布朗大學數學教授理察·伊萬·施瓦茨（Richard Evan Schwartz）寫的一本數學科普書。據作者自己介紹，本書的緣起是他為了教他的小女兒學習數學而作，因此本書用來闡述集合論思想的事例，都是來自現實生活，充滿童心和愛心，使生活的意境與豐富的想像完美結合。那些最深奧的理論，竟然用簡潔明了的語言，絲絲入扣但又栩栩如生地展現在讀者的面前。繪製卡通是作者的愛好，他的簡潔而飽含邏輯和哲理的文字，輔以漂亮而又富有生趣的卡通，與集合論抽象的概念、符號和公式巧妙結合，渾然構成一個整體，如一個視覺的畫廊，又如一個充滿懸念而富有挑戰的思想偵探。

翻譯本書其實是一個不小的挑戰。本書看似文本不多，但所有文字都是圖文配合的，是用最簡單的語言表達最高深的思想，前後的邏輯關係極強，因此翻譯起來不是易事，遣詞造句每每頗費思量。建議讀者前後反覆對照閱讀來深切體會無窮的思想。雖然本書的內容遠遠超出中學生的水平，但是作者採用的富有想像力的諄諄誘導方式，卻使讀者在好奇驚喜之餘步入了集合論和無窮思想的深處。本書不但有助於讀者理解集合論和無窮，也有助於培養讀者的創造性思維，有助於讀者更幽默更生活化地看待數學，使重要而複雜的概念和思想變得可愛起來。愛因斯坦曾經說過：「人的知識是有限的，而想像力是無窮的。」數學和科學創造需要插上想像力的翅膀。康託爾無疑是極具想像力和創造性的數學家，而本書作者用具有想像力和創造性的方式來呈現康託爾的思想，並為讀者提供了想像的空間。二者有著某種程度的心有靈犀和不謀而合。今年是康託爾逝世100周年，使我們更加感受到翻譯本書的價值。藉此機會向康託爾致敬！希望讀者都能打開無窮畫廊的大門，開啟這一段關於無窮的美麗旅程，在旅程中欣賞到無窮的魅力，並為自己的數學乃至科技學習和創新增添有益的助力。

（本文為《無窮的畫廊》譯後記，略有刪節，標題為編者所加）

《無窮的畫廊：數學家如何思考無窮》，[美] 理察·伊萬·施瓦茨著，孫小淳、王淑紅譯，上海科學技術出版社2018年7月出版

《中國科學報》 (2018-11-09 第6版 讀書)

相關焦點

  • 數學家是如何研究分數函數的無窮級數的
    萊昂哈德.歐拉，雅各布.伯努利 棣莫弗對無窮級數問題做了深入研究，他們都是處理無窮級數的高手。我們來看看數學家是如何處理無窮級數和函數之間的關係的。我們來看一個簡單的分數函數用一般的方法：連續進行除法運算可以把分數化解為關於Z的無窮級數，明顯是一個幾何級數我們也可以用比較係數法，令兩邊乘以分母得到展開得到比較0次冪的係數得到a=ɑA，那麼Z的其餘各次冪的係數都是0得到可以看出我們知道了任何一個係數都可以求出它後面的一個，例如求出了A，從它我們依次求出了
  • 從「無窮」到「集合」,這位數學家以一己之力打造了數學大廈基礎
    那麼，「無窮」與「集合論 」到底是怎樣的關係呢？早在兩千多年前的古希臘，人類的先行者就開始了對「無窮」的思考，儘管那時的數學家和哲學家們已經積累了大量有關「無窮」的問題，但是幾乎所有人對「無窮」都持迴避的態度。
  • 數學家如何計算圓周率到小數點後的無窮位數呢?
    古希臘數學家阿基米德一直加到了96邊形，計算出圓周率在3.1408和3.1428之間。今天，數學家使用包括收斂的無窮級數在內等更複雜的算法來更精確地計算圓周率。收斂的無窮級數是一種數列能無限接近（但無法達到）被稱為極限的目標數值。例如，這個數列 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 +… 的極限是2，這個數列取得項數越多，則值越接近於2。
  • 數學家的魅力
    數學家的魅力（一）一直從古希臘走過來，到英國，德國，美國，數學從勾股定理，無理數，微積分，非歐幾何，到由黎曼數學支撐起來的廣義相對論…人們用不斷擴充的數學符號來深化對於世界的思考，不服你來證明。哥德爾不完備性定理被有些數學家認為是數學史上最深刻的定理。哥德爾也被認為是亞里斯多德之後最偉大的邏輯學家。推薦睡眠不好，經常失眠的人們看看哥德爾的書，我想可能會好過所有安眠藥，不到五分鐘就入夢鄉，這就是天書的神奇功效。
  • 無窮符號魅力大無窮
    無窮符號魅力大無窮。我們人類的祖先在很多年前就開始思考「無窮」這個概念，並且在科學、神學、哲學、數學、甚至是日常生活中，「無窮」還被引申出不同的含義。不過我們大家最熟悉的應該就是它在數學當中的概念了，是不是有很多小夥伴和我一樣，一看到「∞」這個符號就頭疼？無窮符號。
  • 部分等於整體,說無窮,道無窮,無窮世界的封印,康託的悲鳴
    到了19世紀，由於分析的嚴格化和函數論的發展，數學家們對無理數理論、不連續函數理論的研究更是需要理解無窮集合的性質。了解「無窮」並深入「無窮」成了迫在眉睫的需求。時代呼喚著天才。真正從本質上認識「無限」的， 是年輕的德國數學家，29歲的柏林大學教授喬治康託爾（G。Cantor，1845年3月3日—1918年1月6日）。他的出色工作，起於公元1874年。
  • 數學史20大數學家—康託爾,被時代冷遇卻為世界留下了無窮樂園
    「自然數列是無窮的，作為自然數列的一部分，偶數列也是無窮的，當我們建立自然數列與偶數列的一一對應關係時，我們會發現它們的個數是一樣多的。」這是集合論中最簡單的結論。今天我們就來聊一聊康託爾和他的集合論。格奧爾格·康託爾德國數學家，集合論的創始人。無窮還有大小嗎？
  • 超級神秘的完全數,魅力無窮,千年不朽的探尋之旅
    完全數誕生後，吸引著眾多數學家與業餘愛好者像淘金一樣去尋找。它很久以來就一直對數學家和業餘愛好者有著一種特別的吸引力，他們沒完沒了地找尋這一類數字。所以，從完全數的表達式496 = 1+2+4+8+16+31+62+124+248出發，把它的兩邊同時除以496，就可以得出：除此之外，還具有如下特殊魅力的性質：（1）所有的完全數都是三角形數。
  • 哪些英文翻譯成中文後,讓你感覺漢字更加魅力無窮?
    或許是語言環境的原因，要領略英文的魅力對於漢語背景的人來說並不容易。但是一些英文翻譯成中文後，瞬間就覺得魅力無窮了。比如美國經典電影《Waterloo Bridge》，如果直譯就是「滑鐵盧橋」，但是中文翻譯成了「魂斷藍橋」，是不是瞬間覺得這個翻譯唯美，更具有吸引力。
  • 奇妙的無窮級數
    考慮下面這個和式：它叫做格蘭迪級數，以義大利數學家、哲學家及牧師G·格蘭迪（1671-1742，下圖）之姓命名。那麼很容易知道S應該等於0，因為每個括號裡都是0。不過，我們也沒理由不用其它的方式分組，比如下面這樣：
  • 超臨界co2流體工業製冷魅力無窮
    超臨界co2流體工業製冷魅力無窮 ,「12vugqc」超臨界co2流體，節能高效,型號齊全,可非標定製,7*24小時售後服務。無錫冠亞從事超臨界co2流體的研發,生產,銷售與服務於一體的企業。超臨界co2流體適用於溫差大流量小等特殊場合？水冷冷凝器採用的外螺紋銅管散熱量大體積小！
  • 盡覽海洋奇觀 感受「兩極」的無窮魅力(圖)
    在這裡，人們可以一睹北極熊、南極企鵝、海豚、北極狼、北極狐等極地動物，感受「兩極」無窮的魅力；在這裡，人們可以與海豚「零距離」接觸，一睹海豚的風採，感受海豚的智商和靈巧。在海洋傳說展區，不僅有夢幻美人魚水幕投影，營造夢幻效果，還有海底大花園和悠長的海底隧道，遊客穿梭在其中，可清晰地看見各類熱帶魚群穿梭於蔚藍色的海水之中，形態各異的珊瑚輕輕搖曳，組成了美輪美奐的海底神奇畫世界，讓遊人陶醉期間流連忘返，對海洋的無窮魅力感慨萬端
  • 無窮竟然可以比較大小?
    對於那些腦洞大開的數學家來說，數學並不像學生學習的那樣無聊，甚至是十分的有趣，但是卻為我們的考試添加了許多的難度。其實，數學在生活中必不可少，沒有數學就沒有我們現在的高科技的生活。作為一門高難度的學科，是有了數學和物理，我們如今的生活才能這樣的美好。今天的我們是生活在前輩打拼的世界下的，希望大家可以珍惜如今的生活，對於數學不要放棄。
  • 「超分子化學」之父做客浙大 講述化學的無窮魅力
    在講座中，Lehn用一個多小時的生動演說把大家帶進了超分子化學的學科領域，展現了化學的無窮魅力。他說，物理是宇宙萬物的法則，生物是生命的規律，而化學，則是二者的橋梁，將其推向一個更為複雜的世界。化學是一門創造新物質的科學，是沒有生命的分子通向活的生命體中的高度複雜的分子體系的橋梁，世間萬物都是通過分子間的相互作用形成的有組織的實體。
  • 由牛頓二項式定理得到指數函數的無窮級數 - 電子通信和數學
    用現代的眼光看牛頓二項式定理簡單而美妙，但最初的數學家用它卻得到許多函數的無窮級數，這不但需要高超的數學技巧，更需要靈活的數學思維。本篇將要闡述的指數函數的無窮級數就是其中一例。當a大於1時，a的冪隨a的增加而增加，當數ω是一個無窮小時，a^ω=1,所以我們可以將a的冪寫成如下的等式關係當ψ不是無窮小時，ω就也不是無窮小，所以ψ和ω關係有三種：ψ=ω，ψ>ω，ψ<ω,所以我們可以假設ψ=Kω我們繼續得到根據二項式展開得到令i=z/ω,其中z為有限數，ω是無窮小，則i就是無窮大，ω=z/i就是一個分母為無窮大的分數
  • 聽華萊士講那「無窮」的故事
    到大學學了微積分，才知道「老和尚的故事」就是一個「無窮嵌套」，或者說「無窮循環」。什麼是「無窮」？是政治家的雄心抱負，是詩人的瀰漫情思，還是哲學家的深邃智慧？可以想像，聽故事的「小和尚」兩隻眼睛中充滿的不是對故事情節的憧憬，一定是對「無窮」的困惑。其實，早在公元前兩千多年前，古希臘人就被芝諾的「故事」套進了「無窮」的圈套。
  • 美數學家通過GIMPS項目找到已知最大素數
    2300年前，古希臘數學家歐幾裡德就已證明素數有無窮多個，並提出一些素數可寫成「2^P-1」(其中指數P也是素數)的形式。這種特殊形式的素數，具有獨特的性質和無窮的魅力，千百年來一直吸引著眾多的數學家(包括數學大師費馬、笛卡爾、萊布尼茲、哥德巴赫等)和無數的業餘數學愛好者對它進行探究。
  • 數學家 康託爾
    兩千多年來，科學家們接觸到無窮，卻又無力去把握和認識它，這的確是向人類提出的尖銳挑戰。康託爾以其思維之獨特，想像力之豐富，方法之新穎繪製了一幅人類智慧的精品——集合論和超窮數理論，令19、20世紀之交的整個數學界、甚至哲學界感到震驚。可以毫不誇張地講，「關於數學無窮的革命幾乎是由他一個人獨立完成的。」1872年，年僅27歲的康託爾在數學上放了一把「火」。
  • 領略世界十大非著名奇蹟的無窮魅力[圖文]
    中廣網北京5月19日消息（記者馮贛勇）近日，臺灣友人柳青先生給記者傳來了一組「世界十大非著名奇蹟」的圖文，令記者再次從一個側面領略了「世界真奇妙」的無窮魅力。建議你感受一下「世界群島」的魅力。這個位於杜拜附近海域的人工島國稱得上地理奇蹟，總共有300個人工島，是依照世界各大洲的形狀建造的。這個規模浩大的房地產項目還在運作階段，竣工後的面積將達到25萬到90萬平方英尺，每個島嶼間的海距至少也有164英尺。有意到此購置房產的人可要勒緊褲腰帶了，人工島國的每座房產預計最小也要685萬美元。
  • 談談歐拉級數帶給我們的數學魅力
    歐拉起初的驚人之舉是給出了平方數的倒數和等於π^2/6，與歐拉同時代的數學家都沒能解決這個問題，所以歐拉在1734年給出這一結論時，曾引起轟動。因整個數列中沒有圓的蹤跡，結果卻出現了π，也很讓這個結果吸引眼球。