自從人類誕生於地球這顆蔚藍色的星球，每當仰望浩瀚的星空和深邃的宇宙，人們對「無窮之美」充滿了無限的遐想。希爾伯特曾說：沒有任何問題象「無窮」那樣深深地觸動人的情感，很少別的觀念能像「無窮」那樣激勵理智產生富有成果的思想，然而也沒有任何其它概念能象「無窮」那樣需要加以闡明。
然而，「無窮」雖美，但也令人充滿困惑甚至令人感到恐懼，人們對「無窮」充滿嚮往卻又無力把握。只有當「無窮」遇上「集合論」的時候，「無窮」之美才真正地被人類所掌控。那麼，「無窮」與「集合論 」到底是怎樣的關係呢？
早在兩千多年前的古希臘，人類的先行者就開始了對「無窮」的思考，儘管那時的數學家和哲學家們已經積累了大量有關「無窮」的問題，但是幾乎所有人對「無窮」都持迴避的態度。
公元前5世紀，埃利亞學派的芝諾提出了四個著名的「芝諾悖論」：「二分法悖論」、「阿基裡斯追龜悖論」、「飛矢不動悖論」與「運動場悖論」。這些悖論是人類最早的關於「無窮」與「集合」的深度思考，也是「無窮集合」最早的思想萌芽。
在此之後的希臘哲學家亞里斯多德將「無窮」分為兩大類，一類是「潛無窮」，一類是「實無窮」。「潛無窮」的意思是說，有的事物看起來是「無窮」的，但是最終還是「有限」的。比如「宇宙」的年齡，對於人類來說，是「無窮」的，但是如果以「上帝視角」來看的話，它依然是有限的。在亞里斯多德看來，「實無窮」是不存在的，一切的「無窮」都是「潛無窮」，因而它由此推斷出「無窮集合」是不存在的。
由於亞里斯多德在那個時代的權威性，人們對他的話普遍當成真理，深刻地影響了後世的包括伽利略、高斯、柯西等偉大學者，幾乎所有人都拒絕承認「實無窮」。
比如，伽利略認為所有的「無窮集合」都是一樣的，不能比較大小。
大數學家高斯甚至在給朋友的信中說：「我必須最最強烈地反對你把無窮作為一完成的東西來使用，因為這在數學中是從來不允許的。」他甚至反對任何人使用「無窮的概念」和使用「無窮記號」。
法國大數學家柯西也不承認「無窮集合」的存在。對於康託爾提出的「部分與整體構成一一對應的關係」更是認為那是自相矛盾的事。
由此可見，人類接受「無窮概念」的過程是多麼的艱辛，但是真理的光芒是永遠無法掩蓋的。歷史的車輪滾滾向前，轉眼來到了十七世紀。牛頓和萊布尼茲等數學家開始嘗試把「無窮小量」引進數學，構成所謂的「無窮小演算」——近代最偉大的數學理論「微積分」誕生了。
在「積分法」裡，人們將「無窮多個無窮小量」加在一起，而在「微分法」裡，人們則將兩個「無窮小量」相除。
由於「無窮小量」運算的引進，給數學帶來了前所未有的繁榮和進步，不過，由於「無窮小量」的使用「不嚴格」，使得「微積分」底層的「邏輯矛盾」越來越嚴重，最終導致了「第二次數學危機」的爆發。
「第二次數學危機」爆發後，全世界的數學家都行動了起來。為了給「微積分」建立一個「嚴格化」的邏輯基礎，康託爾提出了著名的「等勢原理」。
所謂的「等勢原理」，其中重點在於它的這個「勢」字。簡單說來，「勢」就是「集合的元素的個數」。例如，如果一個集合有50個元素，我們說這個集合的「勢」為50。如果兩個集合的元素個數相等，我們就稱兩個集合「等勢」。要判斷兩個集合是不是「等勢」，最主要的特徵是看這兩個集合之間能不能建立起元素的「一一對應」的關係，只要二者能建立起「一一對應」的關係，我們就稱兩個集合的元素是一樣多的。
根據「等勢原理」，不但可以比較兩個「有限個元素的集合」的大小，還可比較「兩個無窮集合」的大小，從而就可以輕易地推出以下看起來不可思議的結論：
①全體整數和奇數一樣多。
②全體正整數和全體有理數一樣多。
③全體正整數的集合和全體實數的集合不等「勢」。
特別要注意第③條，它的證明過程是數學最美的證明之一。同時第③條告訴我們，並不是所有的無窮集合都是等「勢」的，「無窮集合」也是可以比較大小的。
以上這些重要的學術成果，康託爾於1873年11月29日在給戴德金信中提到，同年12月7日，康託爾寫信給戴德金，說他已能成功地證明「實數集」是不可數的，不能同「正整數集」建立一一對應的關係。也就是在這一天，「集合論」誕生了。
「等勢原理」提出來之後，幾乎遭到了整個學界的反對，1884年，康託爾一連遭受到來自各方面的壓力，精神上備受打擊，同年5月底，他的精神崩潰了，從此之後，康託爾只能利用少數頭腦清醒的時間進行「集合論」的研究。
1897年，人們發現了越來越多的由「集合論」引發的悖論，最終導致「第三次數學危機」的爆發，偉大的學者康託爾也在這場危機中走到了生命的盡頭，於1918年1月於精神病院孤獨地離開人世。
隨著時間的推移，人們逐漸認識到了「集合論」的重要性。希爾伯特高度讚譽康託爾的集合論「是人類純粹智力活動的最高成就之一」，他用堅定的語言向他的同代人宣布：「沒有任何人能將我們從康託爾所創造的伊甸園中驅趕出來」。
在「第三次數學危機」中，人們為了克服大量「悖論」所帶來的困難，數學家們提出用「公理化方案」對「集合」的定義加以限制，最終完成了從「樸素集合論」到「公理化集合論」的蛻變，最終成為了今天所見到的「現代數學大廈」的基礎。
在今天，小到用「集合」來定義的自然數、實數、函數，大到本身就具有「集合」性質的群、環、拓撲空間等，整個數學的各個分支都離不開「集合」的基礎。在追求真理的坎坷路上，康託爾是不幸的，但是人類是幸運的，因為人類沒有錯過那個最為關鍵的年代，當幾乎整個學界都站到了康託爾的對立面時，康託爾仍然憑著一己之力，為構建「近、現代數學」的基礎「集合論」而努力，為整個人類文明的持續發展，注入了新的活力。