倘若有人說：「我的一根頭髮絲上的點和宇宙空間的點一樣多。」你可能認為他在說胡話。其實，只要掙脫「有限」概念的束縛，就會相信他的話是對的。
雖說人類早在兩千年前就有了「無限」的認識，但真正接觸無限本質的人並不多。可能是義大利科學家伽利略最早觸及到實質的。他把全體自然數與它們的平方一—對應起來：
1，2，3，4，5，…
1^2，2^2，3^2，4^2，5^2，…
他發現，兩串數一樣多，將第二串數稍加計算會發現，它們都是第一串數中的數，而第一串數中有的數，第二串數中並沒有，如2，3，5。可見第二串數是第一串數的一部分。部分怎麼能等於整體呢？伽利略感到迷惑了，他至死也沒弄清楚。
17世紀的數學終於迎來了新生。牛頓和萊布尼茨獨自發明了微積分，卻引發了數學的第二次危機。微積分計算的嚴格性常常被人詬病，迫切地需要數學理論的澄清。到了19世紀，由於分析的嚴格化和函數論的發展，數學家們對無理數理論、不連續函數理論的研究更是需要理解無窮集合的性質。了解「無窮」並深入「無窮」成了迫在眉睫的需求。
時代呼喚著天才。真正從本質上認識「無限」的， 是年輕的德國數學家，29歲的柏林大學教授喬治康託爾（G。Cantor，1845年3月3日—1918年1月6日）。他的出色工作，起於公元1874年。
康託爾的研究是從計數開始的。他發現人們在計數時，實際上應用了一 一對應的概念。比如教室有50個座位，老師走進教室，一看坐滿了人，不需點數，便可知道聽課人數是50。倘若空了幾個座位，立刻會知道，聽課學生少於50，這是因為「部分小於整體」的緣故。然而，這是有限情況下的規律，對於無限情況，就像前面伽利略例子一樣，部分可能等於整體！這，正是無限的本質！
經過深刻的思考，康託爾教授得出了一個重要結論：如果一個量等於它的一部分量，那麼這個量必是無限量；反之，無限量必然可以等於它的某一部分量。接著，康託爾教授又引進了無限集基數的概念。他把兩個元素間能建立起一—對應的集合，稱為有相同的基數。例如，自然數集與自然數平方的數集有相同的基數。自然數集與有理數集也有相同的基數（康託爾有證明，略去）。
由於自然數集的元素是可以從1開始，逐個點數的，所以凡是與自然數集基數相同的集合，都具備可數的特性。可見，可數集基數，是繼有限數之後，緊挨的一個超限數。
還有無其他超限基數？有。例如，圖1能清楚地表明圓周與直線上的點能建立起一—對應，可見有限長園上的點，與無限長直線上的點一樣多。
這樣，就證明了，一塊具有一定面積的圖形上的點，可同面積為零的線段上的點一樣多！
他以卓絕的智慧成就完成了這一宏圖偉業，讓人們得以一窺連接著無窮世界的大門內無比輝煌的寶藏。
為了把握和認知無窮的集合，康託創造性地將一一對應和對角線方法運用到集合論的奠基性研究當中。康託極其深刻地意識到：如果兩個無窮集合的元素能建立一一對應，那麼這兩個無窮集合的個數就應該被視為同樣多。在這種思想下，康託很快就發現偶數的個數和自然數的個數一樣多，甚至和整數的個數也一樣多。換句話說，偶數的個數所組成的無窮和整數的個數所組成的無窮是一樣大！
更為神奇的是，康託發現，實數的全體集合組成的無窮比整數的全體集合組成的無窮要大得多。歷史上第一次，康託為兩個無窮大建立了大小關係。正是因為康託的努力，數學中無限的面紗終於被揭開，圍繞著無窮的迷霧終於得以散去。他對無窮的新見解讓人們對無窮的認識上升到了一個前所未有的層次。
無窮的世界，一直被視為上帝塵封的大門。康託則打開了潘多拉的盒子，他也為此付出了極其慘重的代價。
康託一生受過磨難。他以及其集合論受到粗暴攻擊長達十年。康託雖曾一度對數學失去興趣，而轉向哲學、文學，但始終不能放棄集合論。康託能不顧眾多數學家、哲學家甚至神學家的反對，堅定地捍衛超窮集合論，與他的科學家氣質和性格是分不開的。康託的個性形成在很大程度上受到他父親的影響。他的父親喬治·瓦爾德瑪·康託在福音派新教的影響下成長起來。是一位精明的商人，明智且有天分。他的那種深篤的宗教信仰強烈的使命感始終帶給他以勇氣和信心。正是這種堅定、樂觀的信念使康託義無反顧地走向數學家之路並真正取得了成功。
尤其他的成果遭到同時代數學大師無情地嘲諷。以康託的導師克羅內克為首的數學家組成反康託的聯盟，對他進行科學和精神上的雙重羞辱。備受打擊的康託終於精神崩潰，一度患精神分裂症，最終於1918在德國一家精神病院鬱鬱而終。
然而，歷史是公正的。康託爾的理論並沒有因歧視和咒罵而泯滅！如今康託爾所創立的集合論，已成為數學發展的基礎。康託爾使人類從本質上認識了「無限」。人們將永遠緬懷他的不朽功績！可以說，第二次數學危機因為康託的工作而終於塵埃落定。自康託起，集合論成為數學裡最基礎和重要的理論分支之一。
可以說讓康託意想不到的是，他所創立的無窮集合論成了第三次數學危機的導火索，也從根本上改造了數學的結構，促進了數學許多新的分支的建立和發展，成為實變函數論、代數拓撲、群論和泛函分析等理論的基礎，還給邏輯學和哲學也帶來了深遠的影響。他在研究無窮集合時所發明的對角線方法，則為後世科學家提供了極為本質的靈感源泉。
20世紀無數重大的理論成果都受益於此，數學和哲學也因此而煥然一新，比如圖靈停機問題、哥德爾不完備定理都是該方法的不同延伸。在這些思想成果的匯聚下，最終造就了今日的信息文明，特別是計算機的發明。英國哲學家、數學家羅素稱讚康託爾的發現「或許是我們這個時代可引以為自豪的最偉大的事件」。