無窮多中的基本數學哲學問題
有一個關於美國理論物理學家，費曼的故事。他有一次和朋友的兒子在一起，他讓朋友每說一個數，他都可以說出倍數，這就教孩子理解了無窮的概念。
我們從整數有無窮多開始，比如有：
1 2 3 4 5 6……n…… 這就是整數
2 4 6 8 10 12……2n…… 這就是整數的倍數
但是我們看見第二排的數又是雙數。所以在無窮的領域中，整數和雙數是一樣多的。
無論你說一個多大的數，都可以找到倍數。也就是所有的整數都有倍數。
但是從集合來考慮，倍數又是整數的一個部分，即上面第二排數是第一排的部分。
這就帶來了矛盾。一個數學哲學家，叫康託，他建立了等勢的概念，其實就是一樣多的意思。
比如三個蘋果和三個西瓜一樣多，或者按術語就叫等勢。康託建立等勢概念，是為了對付無窮多的。比如上面講的整數有無窮，倍數也有無窮，而且一一對應。那麼整數就和它的一個真子集，倍數等勢。
從這個概念再探討下去，那就是形上學了。
可以按照一些規則列出有理數，見下圖
所有的有理數總可以按照這個規則列下去，右邊的箭頭，每次一格。這樣就證明了有理數是一個一個的，用術語講就是可列的。也就是說，有理數和整數是一樣多的。
那麼無理數呢？按照康託的理論，無理數比有理數要多，儘管它們都是無窮多。
我們來試圖理解這個過程，
建立有理數表
N1.a1a2a3a4a5……
N2.b1b2b3b4b5……
N3.c1c2c3c4c5……
N表示整數，abc……表示小數
今建立一數使對角線的數改變，即a1b2c3……變為abc……
總之對角線的數字都改變，這樣得到的新數0.abc……將和有理數表中的任何一個都不同，因為至少有對角線上的數是不同的。
這就證明了無理數比有理數要多，儘管它們都是無窮的。
但是當我們對這個理論再進行反思，首先，對無窮進行處理和比較兩個無窮這是我們的感官能夠處理的嗎？
其次就實數理論可以看做是將無理數叉進有理數。
還有就是一個假設，就是無窮多只有兩種，即有理數的無窮和無理數的無窮。