數學家殺人的故事並沒有結束

2020-12-01 遇見數學
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第 1 次數學危機源自無理數√2，在那次危機中有著名故事『畢達哥拉斯殺人事件』。

很多科普讀物勾起讀者興趣之後，並沒有再繼續探討下去，讓人覺得這個問題之後就被解決了。其實不然，這個爭論持續了 2000 多年，直到19世紀才徹底結束。

懷疑並不是無來由的，雖然當時人們已經認識到無理數是無限不循環小數，但是你又怎麼證明「無限不循環」的存在呢？19 世紀的德國數學家克羅內克就不承認無理數存在：「上帝創造了整數，其餘都是人的工作。」

這是數學家的嚴謹態度：數學基礎要建立在自然數上，如果有數不能從自然數中推出，那就是有問題的。問題綿延2000多年也未能解決，畢竟它不妨礙生產和生活。微積分誕生後，立即就發揮了重大作用，很多在初等方法下困難重重的問題，通過它可以被輕鬆解決，所以已經被廣泛的應用到生產生活當中了。

但微積分理論從開始就帶著問題，尤其是牛頓的「流數術」，在論證的過程中捨去了「無窮小量」，並未作出解釋。

其中最著名的批評者是「貝克萊主教」，他在《致一位不信神數學家的論文》中稱無窮小量為「已死數的幽靈」，稱微積分是「依靠雙重錯誤得到了不科學卻正確的結果」。雖然這篇文章包含著神學的味道，但提出的數學問題卻切中要害。

對於微積分的責難沒有停止過，但牛爵爺是個徹徹底底的實用主義者，他完全不管這事。萊布尼茨雖有心補救，但並未成功。後來人們發現，微積分的問題在實數本身。[1] 數學的大廈上有個小裂縫，最初似乎完全不礙事，但千年的風吹雨打讓它越來越大，以至於數學大廈已搖搖欲墜，數學大廈的地基需要被加固了！

終結者戴德金

問題終結在「戴德金」和「康託爾」手上，他們的工作揭示了：實數系統並不能依賴初等方法從有理數中構造出來，而須於依賴無窮集合。構造實數的方法有很，其中最易理解的是「戴德金分割」。

首先，有顯而易見的「有理數公理」：

數是有序的。不同的兩個數，順序關係有且只有一種，要不就是大，要不就是小。數是稠密的。任何兩個數中間都有其他數。數集是可分的。以任意數 a 為界，可以將整個數集分成『比a大』(右集)和『比a小』(左集)兩部分。至於數 a 本身，歸於哪一邊都是可以的，不影響討論。

大致的描述一下，戴德金分割產生無理數的過程(確界公理) [2]：

先明確一下「下確界」概念：集合 E 中的所有元素都大於等於數 a，則數 a 就是集合下界。所以說，集合下界可有無窮多個，其中最大的就是「下確界」。

如果證明，數集有界就有「下確界」，並且「下確界」不是有理數，就可以通過這種方式找出「無理數」。

實數是連續的

想像大剪刀把數軸剪斷，如果數軸是由「有理數」組成的，那麼剪刀可能會「減空」，也就是斷口處沒有任何數，而對於「實數」來說卻不然，「實數」是連續的！

由戴德金分割給出的無理數定義，證明了實數的連續性(完備性)，成為數學的基礎，這也被稱作「數的連續統」或者「連續公理」。

從此直線上的點與數軸上一一對應了(Cantor-Dedekind 公理) [3]，代數幾何之間的鴻溝被填平，持續了 2000 多年的第 1 次數學危機，畫上了句號。同時也為微積分打下了堅實的數學基礎，這對 19 世紀後的數學產生了巨大影響。

雖然，戴德金和集合論創始人康託爾未曾謀面，但是卻有書信來往。

康託爾的的理論遭到了當時同行們的惡毒攻擊，甚至可以說是迫害，以致其最後因精神失常死於瘋人院。對於康託爾來說，戴德金是為數不多的親密盟友了。

這部分內容中，關於實數的連續性理論還是比較直觀而有趣的，在此基礎上對實數的加減乘除進行定義就更枯燥了，實際上讓這部分的內容對於大多數的分析學教程來說也是頗為神秘的。

《數學分析新講》中就認為，關於實數的內容，不建議初學者一上來就學習，而是建議後期證明中遇到問題之後再回來查閱。因為還沒用到的情況下，實在是提不起興趣，令人昏昏欲睡。

參考資料

dalaoliblog.wordpress.com/2018/06/05/戴德金切割和連續的實數/大數學家 (科學家傳記系列) - 陳詩谷 & 葛孟曾.baike.baidu.com/item/貝克萊悖論微積分的歷程：從牛頓到勒貝格 (圖靈新知)妙趣橫生的數學常數數學分析新講微積分發展史zh.wikipedia.org/wiki/無窮小演算cnblogs.com/iMath/p/8257142.html

注釋

[1] 之所以微積分最後扯到了「實數」，和 2000 多年前的數學危機聯繫在了一起，是因為在牛頓和萊布尼茨之後，數學家拋棄了「無窮小」而將微積分的基礎建立在了「極限」上，從而引發了關於「實數」(無理數)的探究。學習數學分析，最尷尬的地方莫過於，歷史的發展和教科書的順序經常是顛倒的。

[2] 「戴德金分割」和「確界公理」是等價的，都體現了實數的連續性。

[3] 這裡所說的「數的連續統」並不是康託生前想證明的「連續統假設」。

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