自耦變壓器電流、電壓、容量關係分析及設計

自耦變壓器電流、電壓、容量關係分析及設計
只有單個線圈的變壓器，叫做自耦變壓器，自耦變壓器有單相的，也有三相的，和普通變壓器一樣，自耦變壓器既可是升壓變壓器，也可是降壓變壓器，圖1.1是這兩種型式變壓器的電路圖。
自耦變壓器的計算和普通變壓器的計算基本相同，不同在於選擇鐵心時，是按照通過電磁感應傳遞的功率，即繞組容量（電磁容量）進行選擇的，而不是按其傳遞容量即輸出功率進行選擇的，另一特點是公共繞組的電流是初次級電流之差。
2電壓、電流關係分析
現以降壓自耦變壓器為例分析電壓、電流關係（圖1.2），自耦變壓器的原邊繞組匝數N1，大於副邊繞組匝數N2，繞組3-1段是高、低壓公用叫公共繞組，圖中標出了各電磁量的正方向（參考方向）。
自耦變壓器與雙繞組變壓器一樣，有主磁通和漏磁通，主磁通在繞組中產生感應電動勢E1和E2，研究原、副邊電壓、電動勢關係時，由於主磁通比漏磁通大很多，因此漏阻抗壓降可忽略，這樣當原邊接在額定電壓上（U1），副邊的電壓（U20），即為空載時副邊電壓，它們的關係為：
(1-1)
k：自耦變壓器變比
自耦變壓器帶負載時，由於電源電壓保持額定值，主磁通為常數，因此同雙繞組變壓器一樣，也有同樣的磁通勢平衡關係，即：

分析負載運行時，可忽略i0，則有：

即： (1-2)
由式(1-1)、(1-2)可知自耦變壓器負載運行時，原副電壓數值相差k倍，電流相差1/k，與雙繞組變壓器的關係相同。
由接線圖1.2，根據基爾霍夫定律得出A點的電流關係為：
(1-3)
由於k＞0，可知公共繞組的電流大小是初次級電流之差。
3容量關係分析
對於自耦變壓器必須分清楚變壓器容量和繞組容量。所謂變壓器容量就是它的 輸入容量，也等於它的輸出容量，在數值上為輸入（輸出）的電壓乘以電流，當輸入（輸出）的電壓及電流為額定值時，變壓器的容量即為額定容量S，變壓器的容量也叫做通過容量。所謂繞組容量就是繞組的電壓與電流的乘積，又叫做電磁容量，額定的電壓與電流的乘積，就是該繞組的額定容量。對於雙繞組變壓器，原邊繞組容量就是變壓器的輸入容量，副邊繞組容量就是變壓器的輸出容量，因此都等於變壓器容量，但是對於自耦變壓器來說，變壓器容量與繞組容量卻不相等。
自耦變壓器的容量為：
(1-4)
從圖1.2中可以看出繞組2-3段的容量為：

(1-5)
繞組3-1段的容量為：
(1-6)
式(1-5)、(1-6)表明，負載運行時，繞組2-3和3-1的容量相等且都比變壓器容量小，是變壓器容量的（1-1/k），而一般雙繞組變壓器原副邊繞組容量都等於變壓器容量，因此這兩種變壓器相比較，當變壓器容量相同時，自耦變壓器的繞組容量比雙繞組變壓器容量小。
這是因為：從式1-2可以看出，i1和i2的相位在忽略勵磁電流時的相差180°，同時k＞1，因此I2＞I1，實際上A點的電流有效值的關係為：
(1-7)
因此自耦變壓器的副邊輸出的容量為：

(1-8)
由上式看出，自耦變壓器的輸出容量為兩部分，一部分是U31·I=S31，這是通過繞組2-3段和3-1段的電磁作用傳到副邊再送給負載的容量，是電磁容量，也就是3-1段的繞組容量，也等於2-3段的繞組容量；另一部分是U31·I1=S傳導，叫做傳導容量，它是I1直接傳到負載去的，它不需要增加繞組的容量。因此自耦變壓器的繞組容量小於額定容量；雙繞組變壓器沒有傳導容量，全部輸出容量都經過原副繞組的電磁感應作用傳遞的，因而繞組容量與變壓器容量相等。 上面的容量關係也可以從輸入容量分析：

(1-9)
由上式可以看出，自耦變壓器的輸入容量比2-3段繞組容量S23同樣增加了一個傳導容量S傳導。
4設計實例
4.1設計要求
初級輸入電壓：U1 =AC220V；電源頻率：f=50Hz；
次級輸出電壓U2=AC110V；次級輸出功率：P2=80W；
變壓器允許溫升：Δτm≤60℃；環境溫度：τz=40℃；
絕緣等級：E級；正常大氣條件（1.013×105Pa） 電路圖見1.1(b)
4.2設計步驟
4.2.1計算變壓器的繞組容量（電磁容量），選擇變壓器的鐵心

可選擇常用的EI型鐵心：EI66×35 50H800
鐵心參數：Sc =7.32cm2;Lc=12.26cm; Gc=0.778Kg
Sc :鐵心的有效截面積；Lc：鐵心的平均磁路長度；Gc：鐵心總質量
50H800鐵心磁化曲線如圖1.3；鐵心損耗曲線如圖1.4
取 B0=1.45T，由圖1.3得出 H~=6.7A/cm，由圖1.4得出 PS=5.9W/kg B0：空載磁感應強度；H~：磁場強度；PS：鐵心單位損耗
4.2.2計算初次級匝數
初級匝數：N1=U1×104/(4.44fB0SC)
=220×104/(4.44×50×1.45×7.32)
≈934匝
假定電壓調整率： 則
次級空載電壓：

次級匝數
4.2.3電流計算
磁化電流：Iψ0=H~LC/N1=6.7×12.26/934=0.088A
鐵損電流：Ic0=Pc0/U1=PsGc/U1
=5.9×0.778/220=0.021A
空載電流：I0=(Iψ02+Ic02)^1/2
=(0.0882+0.0212)^1/2=0.091A
輸出電流：I2=P2/U2=80/110=0.727A
次級反射到初級的電流：
I2』=(N2/N1)I2=(497/934)×0.727=0.387A
初級電流有功分量：
I1有=I2』+IC0=0.387+0.021=0.408A
初級電流：
I1=(I1有2+Iψ02)^1/2=(0.4082+0.0882)^1/2=00.417A
公共繞組電流：I=I2-I1=0.727-0.417=0.31A
4.2.4漆包線的線徑選擇 取電流密度j=3.5A/mm2
串聯繞組：
d1=1.13(I1/j)^1/2=1.13×(0.417/3.5)^1/2=0.39mm
公共繞組：
d2=1.13(I1/j)^1/2=1.13×(0.31/3.5)^1/2=0.336mm
查線規表，採用UEW漆包線或QZ-2/130
取d1=0.4mm，d1max=0.439mm，
142Ω/KM，8.28g/Ω
取d2=0.35mm，d2max=0.387mm，
186Ω/KM，4.86g/Ω
4.2.5參量計算
查骨架參數表得：繞線寬度hm=30.1mm；繞線高h=9.1mm；底筒外周長LD=124mm
串聯繞組：
每層匝數：m1= hm/(d1maxKP)-1
=30.1/(0.439×1.05) -1≈64匝
層數：S1=(N1-N2)/m1=(934-497)/64≈7層
公共繞組：
每層匝數：m2= hm/(d2maxKP)-1
=30.1/(0.387×1.05) -1≈73匝
層數：S2=N2/m2=497/73≈7層
KP：排線係數
串聯繞組厚度：繞組之間包電纜紙2×0.13mm
δ1= d1maxS1Kd+Z外包+Z層間
=0.439×7×1.05+2×0.13+0=3.49mm
公共繞組厚度：外層包電纜紙4×0.13mm
δ2= d2maxS2Kd+Z外包+Z層間
=0.387×7×1.05+4×0.13+0=3.37mm
繞組總厚度：
δ=δ1+δ2=3.49+3.37=6.86mm＜h=9.1mm，故線圈能夠繞下
Kd：疊線係數
串聯繞組平均匝長：參照圖1.5
Lm1=(LD+πδ1) /10=(124+3.14×3.49)/10=13.5cm
公共繞組平均匝長：
Lm2=[LD+π(2δ1+δ2)]/10
=[124+3.14×(2×3.49+3.37)]/10=15.65cm
串聯繞組總長度：
L1=Lm1(N1-N2)×10-2=13.5×(934-497)×10-2=59m
公共繞組總長度：
L2= Lm2N2×10-2=15.65×497×10-2=77.78m
串聯繞組銅總重量：
Gm1 = 59×10-3×142×8.282= 69.4g
公共繞組銅總重量：
Gm2 = 77.78×10-3×186×4.861= 70.3g
串聯繞組20℃銅阻：
r1 = 59×10-3×142=8.38Ω
公共繞組20℃銅阻：
r2 = 77.78×10-3×186=14.47Ω
串聯繞組熱態銅阻：
R1 = KT r1=1.32×8.38=11.06Ω
公共繞組熱態銅阻：
R2 = KT r2=1.32×14.47=19.1Ω
KT—熱態銅阻與20℃銅阻之比；由於τz+Δτm=100℃，由1.6KT曲線圖可知KT=1.32
熱態銅損：
PCU=I12R1+I2R2
=0.4172×11.06+0.312×19.1=3.76W
4.2.6電氣參數核算
次級空載電壓：
U20=(N2/N1) U1=(497/934)×220=117.1V
初級感應電壓：
E1=U1-I1R1=220-0.417×11.06=215.4V
次級感應電壓：
E2= (N2/N1) E1=(497/934)×215.4=114.6V
次級負載電壓：
U2= E2-IR2=114.6-0.31×19.1=108.7V
該電壓比實際要求(110V)偏低，為此可修正次級匝數N2=503匝
同理可計算：
r1=8.27Ω；r2=14.66Ω；R1=10.92Ω；
R2=19.35Ω；PCU=3.756W；U20=118.5V；
E1=215.45V；E2=116.03V；U2=110V
電壓調整率：
ΔU%=(U20-U2)/U20=(118.5-110)/118.5=7.17%
4.2.7溫升計算
查鐵心參數表得：αm0=1.1×10-3；β=2.38； Fm=54.61cm2
初始溫升比：

=1.5×2.38×3.756/(5.9×0.778)=2.92
根據初始溫升比，由圖1.7可知熱平衡係數k=1.22
則待修正溫升：
Δτm0=(PCO+PCU)/[αm0Fm(1+1.5β/k)]
=(4.59+3.756)/[1.1×10-3×54.61×(1+1.5×2.38/1.22)]=35.4℃
環境溫度τz=40℃，由圖1.8可知環境溫度τz對αm0的修正係數KZ=1.07
在正常大氣壓下，由圖1.9可知氣壓對αm0的修正係數KD=1
則Δτm0/(KZKD)=35.4/(1.07×1)=33.1℃
由Δτm0/(KZKD)=33.1℃，從圖2.0可以得出發熱體本身溫度高低對αm0的修正係數Km=0.92
修正後的平均溫升：
Δτm=Δτm0/(KZKD)×1/Km=33.1/0.92=36℃
Δτc=Δτm/k =36/1.22 =29.5℃
溫升符合設計要求。
5小結
自耦變壓器繞組容量為變壓器容量的（1-1/k），因此k越接近1，（1-1/k）越小，其優點就越突出，通常自耦變壓器的變比不超過2。 但自耦變壓器也有自身的缺點：由於次級繞組間的電的聯繫，整個變壓器的絕緣應按高壓繞組來設計，而且存在著公共接地點，它不能作為隔離變壓器來使用，當變比較高時，自耦變壓器的優點也就消失了。

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