一，維納過程
維納過程也叫布朗運動，若隨機過程S (t) 滿足以下條件，則該隨機過程是一個維納過程。
二，一般維納過程
考慮到不確定性資產的收益一般不為零。或者當布朗運動伴隨著一個漂移量時，有一般維納過程。
三，伊藤(Ito)過程
資產價格變動和資產價格有關，高價值資產在未來價格變動要大於低價格資產，但資產價格變動的相對幅度與資產價格無關。
四，伊藤引理(Ito's Lemma)
假設存在一個伊藤過程：
如果G是x和t的函數: G=G[x,t], 則G[x,t]也是一個Ito過程:
伊藤引理可以利用泰勒展開並忽略 △t 的一階以上項證明。
五，對數正態分布
根據伊藤引理，設W[S, t] =Log[S], 則W[S, t] 也是一個伊藤過程。
可見Log[S[t]] 服從正態分布，故S[t] 服從對數正態分布，通常我們也說S[t] 是一個含漂移項的幾何布朗運動。
六，Black-Scholes 微分方程
原理：衍生品與標的資產（股票）價格不確定性的來源相同，我們通過構造股票與衍生品的組合來消除這種不確定性。
假設：1，股價遵循幾何布朗運動；
2，股票交易連續進行，且股票無限可分；
3，不存在交易費用及稅收；
4，允許賣空，且可利用所有賣空所得；
5，在衍生品有效期間，股票不支付股利；
6，在衍生品有效期間，無風險利率保持不變；
7，所有無風險套利機會均被消除。
衍生品 f [S,t] 是股票S(t)的一個函數，也是一個Ito過程。
於是根據伊藤引理：
價值變動僅與時間 dt 有關，因此該組合成功消除了 dz 帶來的不確定性。
根據無套利定價原理，組合收益率應當等於無風險收益率。
此即著名的Black - Scholes 微分方程。任意依賴於標的資產 S 的衍生品價格 f 應滿足該方程。
衍生品的價格由微分方程的邊界條件決定。例如，歐式看漲期權的邊界條件是：
七，歐式看漲期權的Black-Scholes定價公式
假設股價收益率為無風險收益率，則：
歐式Call到期時的期望收益率是：
將該收益率以無風險利率折現，得到歐式Call的價格：
應用舉例：
假設一種不支付紅利股票目前的市價為42元，某投資者購買一份以該股票為標的資產的歐式看漲期權，6 個月後到期，執行價格為40元。假設該股票年波動率為20 %，6 月期國庫券年利率為10 %，問：該份期權價格應為多少元？
八，歐式看跌期權的Black-Scholes定價公式
考慮歐式看漲期權和看跌期權的價值關係。構建如下兩個組合。A：一份歐式看漲期權和執行價相應現金的折現。B：一份相同執行價格的歐式看跌期權和一份股票的組合。
從上圖中可以看出，A，B組合的收益曲線是等價的。
即從數學上說，在到期日，Max[S-k,0]+k==Max[k-S,0]+S總是成立的。
得到看跌歐式期權的定價公式如下：
這便是歐式看跌期權的定價公式。
九，B-S期權定價公式的擴展：紅利
故只要在B-S期權定價公式中把S換成 S Exp[-q(T-t)]即可。
十，期權定價模型的應用
1，對公式負債與資本進行估值
一家公司A發行兩種證券：普通股100萬股及1 年後到期的總面值8000萬元的零息債券。已知公司總市值為1億元，問：公司股票及債券如何定價？
2，確定貸款擔保價值或擔保費用
3，帶有可轉換性質的融資工具的定價
認股權證指賦予投資者在某一時期以約定價格向發行人購買公司新股的權利。假設公司有N股流通股，M份流通歐式認股權證，一份認股權證使持有人在時刻T以每股K的價格購買x股新股的權利。
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