如何讓8歲的表妹了解三角函數的原理?!

2021-02-20 超級數學建模

三角函數的責難

正弦、餘弦決戰

最近，8歲表妹拿著課本來問她：小天表姐，今天數學老師教了我們三角函數。

小天：嗯，三角函數，挺簡單的嘛。

表妹：老師讓我們畫正弦函數的圖像時，只叫我們先標好 x=0，x=π/2，x=π，x=3π/2 ，x=2π 這5個特殊點，然後用圓滑的曲線將它們連結起來就行了。

小天：嗯，對啊。

表妹：可是我並不明白三角函數的圖像為什麼要這樣畫啊！

然後小天一臉懵逼，心想：三角函數不就是這樣畫的嗎，我怎麼知道它為什麼要這樣畫？！

於是，小天就打太極，說：額，這個嘛，老師說的是對的呀。。。就是這樣畫的。。。

小表妹就不依了：小天表姐，你怎麼連三角函數都不會啊，你不是數學學院的嗎？

竟然被11歲表妹懷疑自己的數學，小天立馬百度了一下「三角函數」：

好長好詳盡的介紹，但是貌似真的沒有講到三角函數圖像的形成過程。

小天的心哐噔一聲：完了，連百度都拯救不了我的三角函數。。。

最後，只能向超模君求救。

小天就很正（zhuang）經（bi）地問超模君：超模君，有個問題要考考你，你知道三角函數（正餘弦）為什麼是兩個半圓嗎？

超模君一聽：當然知道，這是由它的自變量和因變量決定的。

小天問：那麼，三角函數的自變量和因變量是什麼呢？

圖片作者：LucasVB（1ucasvb）

超模君：你看看這張圖，正弦函數其實就是描述圓上任意一點的y坐標（紅）和弧長（藍）之間的關係。

小天，你仔細看看，左圖的藍色弧長（圓的周長）和右圖的藍線長度是相等的，弧長又和弧度也是完全對應的。

1弧度就是長度為1個半徑的弧所對應的角，π弧度就是正好半個圓。（圓周長C=2πr）

舉個例子，之所以 sinπ=0，正是因為當藍線走了一個半圓（即一個π）的時候，正好就走回到了 y = 0 的地方。

圖片作者：LucasVB（1ucasvb）

小天：那麼餘弦函數呢？

圖片作者：LucasVB（1ucasvb）

超模君：餘弦函數也是很簡單呀，也是描述圓上任意一點的x坐標和弧長之間的關係，只不過在畫函數的時候，把圓上點的x坐標打了個彎（1/4圓），對應成了函數曲線上的y坐標，就像這張圖裡的藍線那樣。

小天，你過來看看，如果我們直接將函數豎起來，就成了下圖這樣：

小天：超模君，你好帥呀

超模君（低調低調，我的帥早已世人皆知）：當然，這種對應關係也可以用在其它的幾何圖形上，只不過畫出來的圖像就沒有上面的那麼美麗了。

比如下面這個醜陋的心形。

圖片作者：LucasVB（1ucasvb）

超模君還是覺得圓圓的才是最好看的！

-

小天：哇，看來數學公眾號頭把交椅還是有點料的嘛！

超模君：等等，別急！除了正常坐標，想不想了解一下極坐標的魔法呀！（舉報！超模君快變唐僧了！）

（不過想到可以在表妹面前炫耀）小天還是耐心地聽著：什麼魔法？快講講！

超模君：哈哈哈，別急，還記不記得極坐標。我們把直角坐標轉換成極坐標，你試試看。

圖片作者：LucasVB（1ucasvb）

小天：超模君，這是怎麼弄的呀？

超模君：哈哈哈，首先我們需要把函數沿直線 y = x 翻轉。（在極坐標裡我們都是把0°定義在了朝右，因此需要這一步。如果0°是更自然的朝上，那就不需要這一步了。）

然後，我們把y軸折彎過來，直到它縮成一個點。。。

這樣，直角坐標就轉換成極坐標啦！

@小天，懂了嗎？

小天：額……應該……懂了吧。。。（小天有點暈。。。）

超模君：唉，看來你還是不懂，我再跟你說說吧。。。

我們把直線看作是具有無限直徑、無限曲率半徑的一個圓。

此時我們逐漸降低曲率半徑，從無限一直降到零，即是把y軸變成一個逐漸縮小的圓，直至到最後變成一個點。

而原來直角坐標的「y軸」所承載的信息，在轉換中就逐漸移交給了極坐標的「角度」。

注意：這個轉換體現的是極坐標和直角坐標之間不同的對應方式，是把一種對應變成了另一種對應，而不是說把同一個曲線從直角坐標表達式換成極坐標表達式。前後兩個是不同的曲線。

小天非常激動地留眼淚，心裡默默想著：我要回去找我8歲表妹炫（zhuang）耀（bi）了！！

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