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今天分享一道函數題，題目如下：
第一小題很簡單，在 x = 1 處有極值 10，一句話裡有兩個條件，即導數值為零，函數值為 10 ，這樣就可以列出方程，解出 a 和 b 的值。
過程很簡單，但是我們需要驗證一下結果，可以得出有一個解不滿足條件。這裡為什麼需要驗證呢？因為我們列的方程中，令極值點的導數為零，這毋庸置疑，但是反過來這句話是不對的，即導數值為零的點不一定是極值點，而解出的答案中恰有一種這種情況，所以需要捨去。
第二小題第一問，我們可以畫出函數圖像，通過數形結合的方法判斷怎樣保證函數在區間內有三個不相等的解，首先，函數存在兩個極值點，即 b > 0 ；然後在 -4 處的函數值小於等於零，在 4 處的函數值大於等於零；再然後，極值點在區間內，在兩個極值點處一個大於零，一個小於零。這樣就能保證函數在區間內有三個零點（想一下為什麼？能不能去掉某個或某幾個條件）
這種解法並不難，但是一定要把約束條件寫全，並且不能人為添加約束（想當然的列約束），否則得到的範圍就不對了。
通過前幾篇文章的講解，我們很自然想到另外一種解法——分離參數。分離參數的過程中，首先就需要判斷 x = 0 是不是零點，然後再將 x 除過去，我們通過求導算出函數的單調區間，然後畫出函數的圖形，得到使方程有 3 個解的取值範圍，過程如下：
這種方法也不難，但一點要注意，在 x = 0 處是一個間斷點，需要分段來討論，否則得不到答案。
第二問同樣討論不同情況下，函數在區間內的單調性，然後根據單調性來確定函數的最小值，最小值大於等於零即表示函數在區間內恆大於等於零。
首先求出導數，當 b 小於等於零時，函數在整個定義域為增函數，此時只需保證左端點處函數值大於等於零即可。
當函數存在極值點（右極值點），但極值點在區間左邊，此時同樣有函數在區間內單調遞增，保證左端點處函數值大於等於零即可。
當極值點在區間右側，此時，函數在區間內單調遞減，保證右端點函數值大於等於零即可。
當極值點在區間內，在函數在區間內先遞減再遞增，極值點處取最小值，保證這個值大於等於零即可。
具體過程如下：
同樣可以用分離參數的方法，但是 x - 2 在區間內可能大於零，等於零和小於零，所以分情況討論，當 x = 2 時，無論 b 取何值，不等式恆成立。
當 x < 2 時，不等式需要變號，b 大於等於區間的最大值即可
當 x > 2 時，b 小於等於區間最小值即可
通過求函數的導數，可以判斷出函數在前一個區間內單調遞減，函數在 1 處取最大值。
同理函數在後一個區間內先遞減再遞增，在 3 處取最小值。
同樣可以得出 b 的範圍。
小結
這道題不是很難，但不注意容易出錯。
函數在極值點處導數（可導的話）值為零，但導數值為零不一定是極值點，所以得到答案後需要驗證。通過數形結合的方法列不等式的時候，要注意條件一定要全，也不要新增條件（看看是不是滿足這些條件一定有3個解，反過來有 3 個解是不是都滿足這些條件，兩者缺一不可）。當函數在區間內有間斷點（沒有定義的點）時，在畫圖形時注意分段討論，不然得出的結果很有可能是錯的。在不等式分參時，一定要注意不等式變號的問題，這是和等式求解最大的區別。這道題整體來說並不難，無論我們用哪種方法，只要邏輯沒有問題，結果肯定是正確的，這也是數學的魅力所在。
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