第二章 數量關係--數學運算
第二節 數學運算基礎知識
一、數的特性
數的特性，指的是整數的各種性質，是一個數自身所具有的特性，包括：數的整除特性、數的約數和倍數、數的奇偶性和質合性、數的同餘、自然數n次方尾數變化等。這些特性是數學運算中最基礎的知識，在公務員考試中雖不直接考查，但靈活運用對快速解題幫助很大。這一小節中的知識點比較瑣碎，系統性並不是很強，需要考生多加記憶，牢固掌握。
（一）數的整除特性
兩個整數a、b，如果a÷b，商為整數，且餘數為零，我們就說a能被b整除，或者說b能整除a。
1.數的整除檢定
部分自然數整除檢定性質
2.數的整除性質
（1）若數a能被c整除，數b能被c整除，則a+b、a-b均能被c整除。
（2）若數a能被c整除，m為任意整數，則a·m也能被c整除。
（3）若數a能被b整除，數a能被c整除，且b和c互質，則數a能被b·c整除。
3.完全平方數
如果一個數是另一個整數的平方，那麼我們就稱這個數為完全平方數，也叫做平方數。常見的完全平方數有0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400。有些題目可以利用完全平方數快速定位答案。
例題1：
有一食品店某天購進了6箱食品，分別裝著餅乾和麵包，重量分別為8、9、16、20、22、27公斤。該店當天只賣出一箱麵包，在剩下的5箱中餅乾的重量是麵包的兩倍，則當天食品店購進了（ ）公斤麵包。
A．44B．45
C．50D．52
【解析】本題的突破口在於「剩下的5箱中餅乾的重量是麵包的兩倍」，說明剩下的餅乾和麵包的重量和應該是3的倍數，而6箱食品的總重量8+9+16+20+22+27=102公斤為3的倍數，故賣出的那箱麵包的重量也為3的倍數，則重量只能是9或27公斤。
如果賣出的那箱麵包重量為9公斤，則剩下的麵包總重量為（102-9）÷3=31公斤，沒有合適的重量組合滿足條件，排除。
如果賣出的那箱麵包重量為27公斤，則剩下的麵包總重量為（102-27）÷3=25公斤，正好有25=9+16滿足條件，則購進麵包的總重量為27+25=52公斤。所以正確答案為D。
（二）數的約數和倍數
兩個整數a和b，如果a能被b整除，那麼我們稱a是b的倍數，或者說b是a的約數。
如果c是a的約數，c也是b的約數，那麼我們稱c是a和b的公約數，其中最大的一個公約數，稱為這兩個數的最大公約數。多個數之間的公約數和最大公約數也可以用類似方法定義。
如果c是a的倍數，c也是b的倍數，那麼我們稱c是a和b的公倍數，其中最小的一個正的公倍數，稱為這兩個數的最小公倍數。多個數之間的公倍數和最小公倍數也可以用類似的方法定義。
例題3：
張警官一年內參與破獲的各類案件有１００ 多件，是王警官的５倍，李警官的五分之三，越警官的八分之七，問李警官一年內參與破獲了多少案件？
Ａ．１７５Ｂ．１０５
Ｃ．１２０Ｄ．不好估算
【解析】由題意可知，張警官破案數要大於１００並且能被５，３，７同時整除，１００以上２００以內能被這三個數整除的只有１０５，所以張警官一年破案數為１０５，那麼李警官破案數為１０５÷0.6＝１７５，所以答案是Ａ。
（三）數的奇偶性與質合性
數的奇偶性與質合性定義
需要注意的幾點：
1.性質１：奇數＋奇數＝偶數 偶數＋偶數＝偶數
性質2：奇數＋偶數＝奇數 偶數＋奇數＝奇數
性質3：奇數×偶數＝偶數 偶數×偶數＝偶數
性質4：奇數×奇數＝奇數
總之：加法/減法--同奇同偶則為偶，一奇一偶則為奇
乘法--乘數有偶則為偶，乘數無偶則為奇
2.1既不是質數也不是合數；
2是唯一的偶質數
例題4：
某地勞動部門租用甲、乙兩個教室開展農村實用人才培訓。兩教室均有5排座位，甲教室每排可坐10人，乙教室每排可坐9人。兩教室當月共舉辦該培訓27次，每次培訓均座無虛席，當月共培訓1290人次。問甲教室當月共舉辦了多少次這項培訓？
A．8B．10C．12D．15
【解析】本題數據之間關係簡單，可以直接使用方程法，得到一元一次方程、二元一次方程組或者二元一次不定方程。此題利用奇偶性得到不定方程最為簡便，完全不需要計算。
甲教室每次培訓50人，乙教室每次培訓45人，設甲教室培訓了x次，乙教室培訓了y次，則50x+45y=1290。由於50x、1290都是偶數，則45y必須是偶數，那麼y是偶數，而x與y之和為奇數，則x為奇數，選項中只有D項是奇數。所以正確答案為D。
例題5：
共有920個玩具交給兩個車間製作完成。已知甲車間每個人能夠完成17個，乙車間每個人能夠完成23個，現已知甲、乙兩車間共有四十多人，問甲車間比乙車間多多少人？
A．0B．1C．2D．-2
【解析】此題數量之間的關係不複雜。可以列出不定方程，利用質合性來解出方程。
設甲車間有x人，乙車間有y人，則17x+23y=920。
23y和920都能被23整除，則17x能被23整除，而17和23互質。
則x能被23整除，而兩個車間人數為四十多人，則x=0、23或46。
若x=0，則y=40，x+y=40，捨去；
若x=23，則y=23，x+y=46，滿足題意，此時x-y=0，選擇A；
若x=46，則y=6，x+y=52，捨去。
所以正確答案為A。
（四）同餘與剩餘問題
1.餘數性質
在整數的除法中，只有整除與不能整除兩種情況。當不能整除時，就產生餘數。
被除數（a）÷除數（b）=商（c）……餘數（d），其中a、b、c均為整數，d為自然數。
其中，餘數總是小於除數，即0≤d＜b。
例題6：寧夏行測真題
在一個除法算式裡，被除數、除數、商和餘數之和是319，已知商是21，餘數是6，問被除數是多少？
A．237B．258C．279D．290
【解析】在除法算式裡，被除數=除數×商+餘數，此題可以設除數為x，則被除數是21x+6。由題意可知，21x+6+x+21+6=319，解得x=13，故被除數為13×21+6=279。
2.同餘
兩個整數a、b，若它們除以整數m所得的餘數相等，則稱a、b對於m同餘。
例如：71除以6的餘數是5，29除以6的餘數也是5，則稱71與29對於6同餘。
對於同一個除數m，兩個數和的餘數與餘數的和同餘，兩個數差的餘數與餘數的差同餘，兩個數積的餘數與餘數的積同餘。
例如：23除以5的餘數是3，16除以5的餘數是1
23+16=39，3+1=4，則39除以5的餘數與4同餘
23-16=7，3-1=2，則7除以5的餘數與2同餘
23×16=368，3×1=3，則368除以5的餘數與3同餘
3.剩餘問題
在我國古代算書《孫子算經》中有這樣一個問題：「今有物不知數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？」意思是，一個數除以3餘2，除以5餘3，除以7餘2，問這個數最小是多少？這類問題在我國稱為「孫子問題」，也稱為剩餘問題。
解剩餘定理最常用的方法是代入排除法。
例題7：
有一個自然數「X」，除以3的餘數是2，除以4的餘數是3，問「X」除以12的餘數是多少？
A．1B．5C．9D．11
【解析】此題為剩餘問題，可以直接採用代入排除法。設y為「X」除以12的商，則
若「X」除以12的餘數是1，則X=12y+1=3×4y+1，其除以3的餘數為1，排除A項；
若「X」除以12的餘數是5，則X=12y+5=4×3y+4+1，其除以4的餘數為1，排除B項；
若「X」除以12的餘數是9，則X=12y+9=3×4y+3×3，能被3整除，排除C項；
若「X」除以12的餘數是11，則X=12y+11，容易得出其滿足條件。
所以正確答案為D。
（五）自然數n次方尾數變化情況
在應用尾數法時，考生應該結合自然數n次方的尾數變化進行解題。
一個自然數n次方的尾數等於它尾數n次方的尾數，因此我們只需要考慮0-9的n次方尾數變化規律即可。
0n的尾數始終是0
1n的尾數始終是1
2n的尾數以「2、4、8、6」循環變化，循環周期為4
3n的尾數以「3、9、7、1」循環變化，循環周期為4
4n的尾數以「4、6」循環變化，循環周期為2
5n的尾數始終是5
6n的尾數始終是6
7n的尾數以「7、9、3、1」循環變化，循環周期為4
8n的尾數以「8、4、2、6」循環變化，循環周期為4
9n的尾數以「9、1」循環變化，循環周期為2
二、常用計算技巧
無論是單純的算術式子，還是文字型應用題，一般來說，通過對題幹的數量關係進行準確分析以後，最終都被轉化為對算式或者方程的處理和計算。因此，理解和掌握大量的計算技巧，對提高數學運算的解題速度至關重要。下面介紹幾種常用的計算技巧。
（一）尾數法
尾數法是指在不直接計算算式各項值的情況下，只計算算式各項的尾數，得到結果的尾數，從而確定選項中符合條件的答案的方法。尾數法一般適用於加、減、乘（方）這三種情況的運算。一般選項中四個數的尾數各不相同時，可以優先考慮尾數法。
兩個數的尾數之和等於和的尾數，兩個數的尾數之差等於差的尾數，兩個數的尾數之積等於積的尾數。
尾數本質上是原數除以10的餘數，尾數法本質上是同餘的性質。
特別提示：算式中如果出現除法，請不要使用尾數法。
例題1：寧夏行測真題
3×999+8×99+4×9+8+7的值是：
A.3840 B.3855C.3866 D.3877
【解析】尾數法。四個選項尾數各不相同，和的尾數為7+2+6+8+7=（3）0，故選A。
（二）棄九法
與尾數法類似的方法還有「棄九法」。把一個數的各位數字相加，直到和是一個一位數（和是9，要減去9得0），這個數就叫做原數的棄九數，如1+4+6+3+5+7=26，2+6=8，則146357的棄九數是8。當尾數法不能使用的時候，可以考慮採用「棄九法」來得到答案。與尾數法類似，兩個數的棄九數之和等於和的棄九數，兩個數的棄九數之差等於差的棄九數，兩個數的棄九數之積等於積的棄九數。
棄九數本質上是原數除以9的餘數，棄九法本質上也是同餘的性質。
特別提示：算式中如果出現除法，請同樣不要使用棄九法。
例題2：
11338×25593的值為：
A.290133434B.290173434C.290163434D.290153434
【解析】此題數據很大，直接計算相當耗時；各項答案尾數相同，無法使用尾數法。此時可以考慮棄九法。
1+1+3+3+8=16，1+6=7，11338的棄九數為7；
2+5+5+9+3=24，2+4=6，25593的棄九數為6；
7×6=42，4+2=6，則答案的棄九數為6。
經計算，只有選項B的棄九數是6。