我們世界中的各種物理過程都表現出一定程度的隨機性，這種隨機性經常用在自然和社會科學中所代表的不明的隨機變量來表示。研究這樣一個非常常見的隨機變量的連續概率分布，稱為正態分布，又稱為高斯概率分布，高斯在研究測量誤差時從另一個角度導出了它，研究了它的性質，是一個在數學、物理及科技工程等領域都非常重要的概率分布，在統計學的許多方面有著重大的影響力。
正態曲線兩頭低、中間高，左右對稱因其曲線如鐘形，因此又經常稱之為鐘形曲線。標準正態分布方程可表達為：
無需繪製曲線，我們知道上面方程所描述的曲線在x值為零時具有y值，並且進一步知道隨著x值朝向負無窮大或正無窮大，y值都趨向於零。
接下來，為解釋方便起見，我們按照上面的方程式添加「零」和數字「 1」，這實際上並沒有改變方程式。
從而會引導進行下一步，下面的公式引入了平均值和標準差，有：
這裡的「平均值」是一個新的中心值，圍繞它的x值更改將影響y值。當x值等於平均值時，y值將變為1，其中平均值可以為零，也可以為任何非零值。 「標準差」將隨著x值偏離平均值，影響y值趨向於零的速度有多快。
標準偏差的較大值將要求x值與平均值相差較遠，從而明顯降低y值。另一方面，當標準偏差較小時，x值與平均值的微小偏差將使y值更快地趨向於零。
如果繪製幾個不同標準差的曲線圖形，以查看均值和標準差的影響作用，如下圖所示。
接下來，通過標準差的倒數來縮放y值，有：
為什麼這樣做？先暫且繼續。如果再看一下曲線圖形，會看到標準偏差的附加影響，如下圖所示。
接下來，輸入一個2*π的平方根的倒數的比例因子。為什麼這樣做？先暫且繼續。
現在，我們引入一個稱為「方差」或「統計方差」的術語。方差只是標準差的平方，可以將等式重寫為：
至此完成不同解釋。如上面的圖所示，如果我們對從負無窮大到正無窮大的x值範圍內的y值的最後兩個表達式之一進行積分，則曲線下的面積將變為1或值為1。使用所進行的看似任意縮放，最後兩個方程式中的任何一個將產生一個積分結果。
無論選擇的是平均值、標準差還是方差，積分總是總是為1，這就是高斯概率分布，你可以隨意選擇。
如果你是一個數學新手，可以嘗試理解高斯這樣的數學大師的作品。他推導出上述等式中需要2*π的平方根，但是高斯如何得出他的結果？從未見過高斯任何關於此的解釋。
上面的數學解釋也涉及到洛必達法則和帕普斯定理，也從未見過關於洛必達法則如何得出尋找極限的規則的任何解釋，從未見過關於帕普斯定理尋找環形物等的定理的任何解釋。人們只是被教導了這些天才努力的最終智慧結晶，知道如何應用其結果就行了，僅此而已。
洛必達法則（英語：L'Hpital's rule）是利用導數來計算具有不定型的極限的方法。該法則以法國數學家紀堯姆·德·洛必達的名字命名，但實際上是由瑞士數學家約翰·伯努利所發現。
帕普斯定理（Pappus's theorem）在數學上以4世紀的希臘亞歷山大幾何學家帕普斯命名，該定理描述了通過將平面區域D繞不與D相交的直線L旋轉而獲得的固體體積。
參考：https://www.edn.com/the-mathematics-of-gaussian-probability-distribution/