戴希:安德森先生的神秘花園

安德森教授的卡通畫，copyright belongs to the Department of Physics，Princeton Univ.

- 編者按 -

3月29日，美國著名物理學家菲利普·安德森（Philip Warren Anderson）去世，享年 96 歲。安德森曾與內維爾·莫特（Sir Nevill F. Mott）、約翰·凡扶累克（John H. van Vleck）因「對磁性和無序體系電子結構的基礎性理論研究」分享了當年的諾貝爾物理學獎。當然，這只是安德森學術成就的「一角」，他在現代物理學，特別是凝聚態物理學領域具有舉足輕重的地位，甚至稱得上是一位領袖級人物。應《知識分子》邀約，香港科技大學物理學系講座教授戴希，撰文解讀了這位物理大師開闢的凝聚態物理學「秘密花園」。

撰文｜戴 希（香港科技大學物理學系講座教授）

責編｜邸利會

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在普林斯頓大學物理系 Phuan Ong 教授的辦公室牆上，貼著一幅趣味盎然的卡通畫。畫中的安德森教授正笑容可鞠地坐在花園內的 「小山」 上，俯瞰著園內的奇花異草，腦子裡想著 「What shall I plant next?」， （下面該給俺的園子添點啥？）

老人家座下的山丘，是連綿起伏的 「無序勢場」 （disorder potential） 的一部分，上面畫了一個被束縛其上的波函數，顯然是指以他的名字命名的安德森局域化。他的視線正前方是一叢兩兩圈在一起的同向箭頭，應該是喻指p波超導體。花園門旁的樹上，在綠葉掩映間藏著一些果子，上面標著指向雜亂的箭頭，也許是指自旋玻璃吧。教授的腦後方畫著一些磁力線莫非是 Anderson-Higgs 機制？小溪裡的一隻只小蝌蚪會不會是他的高溫超導理論，在共振價鍵 （RVB） 的溪水裡快樂遊泳的空穴 （holon） ？

園內的各式奇珍，都是凝聚態物理這座花園裡最美麗的風景，任何一位物理學家，如果能採得其中一二，便足以終身為傲，在教科書裡青史留名，而安德森教授則一個人收穫了整個花園，難怪卡通畫的作者把畫冠名為 「Anderson『s garden」。

剛剛離世的菲利普-安德森教授是普林斯頓大學物理系的榮休教授，他於1977年獲得諾貝爾物理學獎，是凝聚態物理的奠基人之一。安德森教授曾經寫過一篇很有名的文章， 「More is different」，以凝聚態系統為例系統地闡述了演生 （層展） 現象 （前幾天文小剛老師和於淥老師有很精彩的評述） ，許多人稱之為凝聚態物理的 「獨立宣言」，稱他闡明了凝聚態體系裡面特有的基本物理問題—— 即在大量粒子聚集的複雜體系中，如何通過相互作用和統計關聯演生出與組成它的基本粒子完全不同的物理規律來。

在凝聚態領域裡，我們現在開展的許多工作，都是安德森教授早年開創的，其中跟我本人的學術生涯聯繫比較密切、感觸比較深的有兩個，一個是描寫近藤問題的安德森模型和 「poor man『s scaling」，另一個是Anderson-Higgs 機制。

在研究近藤問題的過程中，安德森教授的 「poor man『s scaling」 提出了標度變換和重整化群的思想，在此基礎上後來的研究者們發展了數值重整化群方法，徹底解決了近藤問題。此外，這個工作也啟發了在相變領域的統計物理學家們。我們後來用到實際材料計算中的動力學平均場，其中一個關鍵步驟就是解量子雜質模型，也就是推廣到多軌道的安德森模型，這是安德森教授早年在研究近藤問題時構建的。

另一個跟我目前的工作比較相關的是 Anderson-Higgs 機制。

在凝聚態物理中，我們知道超導是U(1)對稱性的自發破缺導致的，超導相變之後產生超導序參量，而序參量的波動則會導致體系中出現低能元激發。對超導體來說就有兩種不同的波動，分別對應著序參量的相位和振幅。由於U(1)對稱是連續對稱，自發對稱破缺之後會產生無能隙 （質量） 的戈德斯通模，正好就對應著相位波動。而序參量振幅的波動則一般是有能隙的。如果體系中存在著無能隙的波動模式，那麼有能隙的振幅模式就總有機會在相互作用下衰減成幾個低能的相位模式，因此壽命不會很長，實驗上不容易觀察到。然而，在超導體中這種振幅模式，或者叫Higgs 模式，是有可能存在的，最早解釋這一點的，就是安德森教授提出的 Anderson-Higgs 機制。

原因很簡單。因為庫泊對是帶電的，所以超導序參量的相位漲落就跟U(1) 規範場，也就是電磁場的動力學耦合在了一起，結果導致相位波動被整合到了電磁場波動方程的縱向分量，也就是體系中的等離子振蕩，於是就獲得了能隙 （質量） ，而等離子振蕩的能量尺度對大部分超導體而言都是非常高的。在這種情況下長波的 Higgs 模式就成了體系中最低能的玻色激發模式，再也沒用別的低能激發可供衰減，在零溫下它就真的長命百歲萬壽無疆了。

有趣的是，安德森教授在超導物理中提出的這一機制，跟粒子物理標準模型裡的問題有異曲同工之妙，在那裡也要通過自發對稱破缺來為規範場粒子帶來質量，而破缺之後的振幅激發模式在粒子物理裡面就叫做 Higgs 粒子。當然，在粒子物理中相應的方程是相對論性的，必須滿足洛倫茲協變。

從這個意義上看，描寫凝聚態中超導體的有效理論，竟然就類似於一個非相對論性的基本粒子理論，這真是絕佳地展示了演生論的精髓。

本周一上午，我突然收到安德森教授在新澤西離世的消息，真不敢相信這位凝聚態物理學研究的奠基人就這樣離我們而去了。

2014-2015年間，我在普林斯頓做訪問學者。很長一段時間我的辦公室就在安德森教授的隔壁。當時，老人已經九十多歲高齡，可還是每天九點不到就到辦公室，開始一天的忙碌。他的辦公室門總是開著，來自各地的訪問者路過都愛過去打招呼，親切地叫他一聲 「菲爾」。

中午的時候，系裡的教授和訪問學者們常常聚在一起吃飯聊天，因為辦公室離得近，我不時有護送 「菲爾大神」 到吃飯地點的光榮任務，有時開車，有時步行。

有一次在路上，他問我以前做過一點什麼工作。我回答說，博士的時候做過一點RVB，他沒吭聲；我又說，博士後是跟他的愛徒 Kotliar 教授做了動力學平均場結合密度泛函，老人家聽了略微點了點頭，嘟囔了一句，「Large dimension limit」。我說是的，只有當維度趨於無窮時這種算法才是精確的，老爺子又不吭聲，估計是覺得沒用，解決不了他心心念的二維 Hubbard 模型。

我又接著說，前兩年發展了另一套做高維極限的計算方法，以 Gutziwller 近似來取代動力學平均場，用來研究基態問題效率會高許多，最近我們剛用這個方法仔細地計算了SmB6的電子結構，證實它是拓撲近藤絕緣體。

這下他有興趣了，笑著說，他的另一個愛徒派爾斯·科曼教授已經跟他提過幾次了，他有興趣仔細聽聽這方面的進展。正巧接下來的一周我要在普林斯頓做一個報告，講這個題目，於是安德森教授就來聽了我的報告。這也許是我做過的心裡最忐忑的報告。

在物理系所在的 Jadwin Hall 的四樓擺著許多懶懶的沙發和大大的黑板，還有很好的自動咖啡機，下午的時候我們常常歪在那裡討論問題，記得有段時間正熱火朝天地討論外爾半金屬。有好幾次菲爾也湊過來靠在沙發上聽。剛開始我們還想客氣一下，可他擺擺手示意繼續。他只是坐在那裡歇一會兒，聽聽後輩們現在在折騰些啥，然後直起身慢慢走進新澤西夏季那絢麗的夕陽裡。

我的好朋友 Bernevig 常常抱怨普林斯頓是個很無聊的地方，缺乏多姿多彩的夜生活。

然而有一次，他抱怨完了以後想起了什麼，說 「但是在這裡工作還是很帶勁的，物理學的 『巨人們』，比如菲爾，經常會從你的辦公室門前走過，有時候你在黑板上推公式，他還會停下來看一看。這種感覺很好。」

」是啊「，我接過話頭， 」他一定是在想，這是我開闢的花園，你們這幫小子可千萬別給我搞砸了。」

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