人們常說「百聞不如一見」，意即把圖作為傳遞信息的手段比語言文字包含更豐富的內容。圖被用來表達、存儲、傳遞信息，成為愈來愈重要的研究對象。點與線是構成圖形的最基本元素點動成線， 線動成面，面動成體。點與線的運動、組合、變化、數位化，可生成複雜的圖形，宛如演奏出氣勢磅礴的優美樂章。
簡單地看，連點得線，線交於點；深入地想，屏幕是如何呈現圖像的？計算機是怎樣畫圖的？……這些歸根結底是基於「點」的顯示。
德國著名工業設計家、卡塞爾大學的德靈格教授認為：少數幾條折線並不能給人以特別的感覺，然而，一旦折線的條數多而密集、雜亂、隨機，將產生強烈的視覺衝擊。他創造性地繪製的線畫藝術作品曾在歐美巡迴展出，在設計界引起巨大的轟動。
德靈格的線畫藝術作品從20世紀90年代開始，德靈格獨創的線畫藝術作品巡展於世界各地，他還與數學家合作，為他的線畫藝術建立了用微分方程描述的數學模型。
螺線(Spiral)，也稱定傾曲線，指任何一種圍繞一個中心點或一條軸旋轉，同時又逐漸遠離動點的軌跡。螺線既是一種迷人的數學現象，又是一種與生命相關的極為普遍的數學形態。
螺線可以說大自然的鬼斧神共，這就正像法布爾總結的那樣：「幾何，以及面積的和諧支配著一切。」螺線背後精準優雅的規律，無疑讓一代又一代的人為之痴迷。
瑞士數學家伯努利曾深入研究對數螺線的性質，他的墓碑上刻著一句一語雙關的美妙頌詞：「雖然改變了，但我還是和原來一樣。」正如著名哲學家羅素說過：數學，不僅擁有真理，也擁有至高的美。
例1．（1）平面上的100個點最多能畫出多少條直線？
（2）平面上的100條直線最多有多少個交點？
（3）平面上的100條直線最多可以把此平面分成多少個部分？
分析：要求數量「最多」，需無三點共線或無三線交於一點。作出100個點、
100條直線情形下的圖形是困難的，不妨從簡單情形切入，觀察、歸納、發現規律。
解：（1）當n=2，3，4時，畫出最多直線的條數分別是：
因為2=1+1，4=1+3=1+1+2，7=1+6=1+1+2+3，所以100條直線最多可把平面分成的部分為：1+（1+2+3+…+100）=5051.
對於例1，你能用字母表示一般性的規律嗎？
變式1．平面上有10條直線，無任何3條交於一點，要使它們出現31個交點，怎樣安排才能得到？（吉林省競賽題）
解析：設10條直線交點的個數為n，則0≤n≤45（為什麼）。
按題設要求只出現31個交點，需減少14個交點，有下列兩種方法：
（1）多線共點，這與題設矛盾。
（2）出現平行線。
若有6條直線互相平行，則可減少15個交點，故在這一方向上最多可取5條平行線，這時還有4個交點需要減去，換一個方向取3條平行線，即可減少3個交點，這時還剩下2條直線和1個需要減去的點，只需使這兩條直線在第三個方向上互相平行即可。
如圖，下列方案供參考：
變式2. （「希望杯」邀請賽試題）①已知平面內有4條直線a，b，c和d，直線a，b和c相交於一點，直線b，c和d也相交於一點。試確定這4條直線共有多少個交點？並說明你的理由。
②作第5條直線e與①中的直線d平行，請問：以這5條直線的交點為端點的線段有多少條？
解析：①直線a，b，c和d共有1個交點，理由如下：
設直線a，b，c的交點為P，直線b，c，d的交點為Q，這意味著點P和Q都是直線b和c的交點，由於兩條不同的直線至多有一個交點，因此點P和2必是同一個點，即4條直線a，b，c和d相交於同一個點。因此這4條直線a，b，c和d只有1個交點（不妨記為點O）。
②因為作的第5條直線e與①中的直線d平行，所以直線e與直線d沒有公共點，因此，直線e不過點O，而直線a，b，c都與直線d相交於點O，所以，直線a，b，c與直線e都相交（與兩條平行線中一條相交的直線必與另一條相交）。
設直線e與直線a，b，c分別相交於點A，B和C，這時如圖有A，B，C，O四個不同的點，可以連出OA，OB，OC，AB，AC，BC共6條不同的線段。
變式3.（1）一條直線可以把平面分成兩個部分（或區域），如圖，兩條直線可以把平面分成幾個部分？三條直線可以把平面分成幾個部分？試畫圖說明．
（2）四條直線最多可以把平面分成幾個部分？試畫出示意圖，並說明這四條直線的位置關係．
（3）平面上有n條直線．每兩條直線都恰好相交，且沒有三條直線交於一點，
【解答】：（1）如圖①，兩條直線可以把平面分成3或4個部分；如圖②，三條直線可以把平面分成4或6或7個部分；
（2）如圖③，四條直線最多可以把平面分成11部分；四條直線的位置關係：四條直線兩兩相交；
（3）一條直線可以把平面分成兩部分，兩條直線最多可以把平面分成4部分，三條直線最多可以把平面分成7部分，四條直線最多可以把平面分成11部分，則n條最多可以把平面分成：
例2．傑克遜是一位數學科普作家，在他《冬天傍晚的推理娛樂》一書中給出下列這道名題：9棵樹栽9行，每行栽3棵，如何栽？
解析：把樹看作點，行抽象成線，問題的實質是探討點與線的關係。我們需要畫圖、試驗、再調整。
有不同栽法，如圖①：
圖②表示：9棵樹每行栽了3棵，可栽行數的最大值是10。
從點線出發，可以組成千變萬化的圖形，可得到更有趣的問題。
對於例3，更一般的問題是：n棵樹每行栽k棵（0<k≤n），最多能兼多少行？
人們希望能找到與n，k有關的、所栽最多行數的表達式，但竟是如此的艱難。
變式. 英國數學家、邏輯學家道奇森在其童話名著《愛麗絲夢遊仙境》中也提出過下面這個植樹問題：10棵樹栽成5行，每行栽4棵，如何栽？
解析：下列栽法僅供參考。
1687年，牛頓的代表作《自然哲學之數學原理》出版，書中系統闡述了三大運動定律、萬有引力定律，解決了行星運動、自由落體運動、聲音、波、潮汐等各種問題。牛頓是第一個大量運用數學方法來系統研究物理理論的大科學家。
例3．線段圖
（1）A，B，C，D，E，F六個足球隊進行單循環比賽，當比賽到某一天時，統計出A，B，C，D，E五個隊已分別比賽了5，4，3，2，1場球，問還沒有與B隊比賽的球隊是哪個隊？
（2）某攝製組從A市到B市有一天的路程，計劃上午比下午多走100千米到C市吃午飯，但由於堵車，中午才趕到一個小鎮，只行駛了原計劃的三分之一，過了小鎮，汽車行駛了400千米，傍晚才停下來休息，司機說，再走從C市到這裡的路程的二分之一就到達目的地了，問A，B兩市相距多少千米？（「華杯賽」試題）
解析：（1）用算術或代數方法解，易陷入困境，用6個點分別表示A，B，C，D，E，F這六個足球隊，若兩隊已經賽過一場，就在相應的兩個點之間連一條線段，如圖，易知未與B隊比賽的球隊是E隊。
（2）條件中只有路程，而沒有給出時間與速度，故應集中注意各段路程之間的關係，借線段圖分析。
義大利著名科學家伽利略曾說：「宇審是用數學語言寫成的，其字母是正三角形、圓形及其他圖形，缺乏對這一知識的了解，人類便無法讀懂其中的奧秘。」
從六角星形的雪花到螺旋形DNA，從放射狀的對稱水晶到一片樹葉的分形，我們不禁會問：為什麼氣泡呈現出完美球形？宇宙是什麼形狀？……，要理解自然界為何創造出如此豐富的圖形世界，幾何是關鍵。
兩千多年前的古希臘數學以幾何學為中心，歐幾裡得的《幾何原本》集古希臘幾何學之大成。1606年，徐光啟與義大利傳教士利瑪竇合作，翻譯出版了《幾何原本》前六篇，對中國科學史產生了巨大影響。利瑪竇盛讚《幾何原本》之精，又陳述此書漢譯之難，徐光啟說：「鳴呼，吾避難，難自長大；吾迎難，難自消微，必成之」，強烈的使命感、過人的勇氣、堅定的決心，溢於言表。
美國漢學家史景遷說過，「即使我們不能確定，正是歐幾裡得的幾何學最先在1600年將上海學者徐光啟帶入利瑪竇的圈子，但可以肯定的是，……歐幾裡得的幾何學使他們的友誼變得更為牢固了。」