克萊因（FelixChristianKlein1849－1925），克萊因在杜塞道夫讀的中學，畢業後，他考入了波恩大學學習數學和物理。他本來是想成為一位物理學家，但是數學教授普律克改變了他的主意。1868年克萊因在普律克教授的指導下完成了博士論文。
在這一年裡，普律克教授去世了，留下了未完成的幾何基礎課題。克萊因是完成這一任務的最佳人選。後來克萊因又去服了兵役。1871年，克萊因接受哥廷根大學的邀請擔任數學講師。1872年他又被埃爾朗根大學聘任為數學教授，這時他只有23歲。1875年他在慕尼黑高等技術學院取得了一個教席。在這裡，他的學生包括胡爾維茨、馮戴克、洛恩、普朗克、畢安奇和裡奇。五年之後，克萊因應邀去萊比錫大學講授幾何學。在這裡他和他過去的出色的學生馮戴克、洛恩、司徒迪和恩格爾等成為了同事。
1886年，克萊因接受了哥廷根大學的邀請來到哥廷根，開始了他的數學家的生涯。他講授的課程非常廣泛，主要是在數學和物理之間的交叉課題，如力學和勢論。他在這裡直到1913年退休。他實現了要重建哥廷根大學作為世界數學研究的重要中心的願望。
著名的數學雜誌《數學年刊》就是在克萊因的主持管理下才能在重要性上達到和超過了《克萊爾雜誌》的。這本雜誌在複分析、代數幾何和不變量理論方面很有特色。在實分析和群論新領域也很出色。
要了解克萊因對在幾何學上所作的貢獻的特點是有點難的，因為即使用我們今天數學思想的大部分來理解他的結果的新奇之處也是很困難的。
克萊因在數學上做出的第一個貢獻是在1870年與李合作發現的。他們發現了庫默爾面上曲線的漸近線的基本性質。他進一步地與李合作研究W－曲線。1871年克萊因出版了兩篇有關非歐幾何的論文，論文中證明了如果歐氏幾何是相容的，那麼非歐幾何也是相容的。這就把非歐幾何置於與歐氏幾何同樣堅實的基礎之上。
克萊因在他的著名的埃爾朗根綱領中，以變換群的觀點綜合了各種幾何的不變量及其空間特性，以此為標準來分類，從而統一了幾何學。今天這些觀點已經成為大家的標準。變換在現代數學中扮演者主要角色。克萊因指明了如何用變換群來表達幾何的基本特性的方法。
而克萊因自己認為他對數學的貢獻主要在函數理論上。1882年他在一篇論文中用幾何方法來處理函數理論並把勢論與保形映射聯繫起來。他也經常把物理概念用在函數理論上，特別是流體力學。
克萊因對大於四次的方程特別是用超越方法來解五次的一般方程感興趣。在厄爾米特和克隆耐克爾建立了與布裡奧斯奇類似的方法之後，克萊因立刻就用二十面體群去試圖完全解決這個問題。這個工作導致他在一系列論文中對橢圓模函數的研究。
1884年，克萊因在他的一本關於二十面體的重要著作中，得到了一種連接代數與幾何的重要關係，他發展了自守函數論。他和一位來自萊比錫的數學家羅伯特·弗裡克合作出版了一套四卷本的關於自守函數和橢圓模函數的著作，這本著作影響以後20年。另一個計劃是出版一套數學百科全書。他積極地參與到這個工作中，與K，穆勒一起編輯力學部分的四卷。我們還要提到克萊因發現的克萊因瓶，一種只有一個面的曲面。
1885年克萊因被英國皇家學會選為國外會員並被授予科普勒獎金。
1908年克萊因被國際數學會選為在羅馬召開的數學家大會主席。