乾貨| 秒懂「史密斯圓圖」,從此不再懵圈

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不管多麼經典的射頻教程，為什麼都做成黑白的呢？讓想理解史密斯原圖的同學一臉懵逼。

這是什麼東東？

今天解答三個問題：

1、是什麼？

2、為什麼？

3、幹什麼？

1、是什麼？

該圖表是由菲利普·史密斯(Phillip Smith)於1939年發明的，當時他在美國的RCA公司工作。史密斯曾說過，「在我能夠使用計算尺的時候，我對以圖表方式來表達數學上的關聯很有興趣」。

史密斯圖表的基本在於以下的算式。

當中的Γ代表其線路的反射係數(reflection coefficient)

即S參數（S-parameter）裡的S11，ZL是歸一負載值，即ZL / Z0。當中，ZL是線路本身的負載值，Z0是傳輸線的特徵阻抗（本徵阻抗）值，通常會使用50Ω。

簡單的說：就是類似於數學用表一樣，通過查找，知道反射係數的數值。

2、為什麼？

我們現在也不知道，史密斯先生是怎麼想到「史密斯圓圖」表示方法的靈感，是怎麼來的。

很多同學看史密斯原圖，屎記硬背，不得要領，其實沒有揣摩，史密斯老先生的創作意圖。

我個人揣測：是不是受到黎曼幾何的啟發，把一個平面的坐標系，給「掰彎」了。

我在表述這個「掰彎」的過程，你就理解，這個圖的含義了。（坐標系可以掰彎、人儘量不要「彎」；如果已經彎了，本人表示祝福）

現在，我就掰彎給你看。

世界地圖，其實是一個用平面表示球體的過程，這個過程是一個「掰直」。

史密斯原圖，巧妙之處，在於用一個圓形表示一個無窮大的平面。

2.1、首先，我們先理解「無窮大」的平面。

首先的首先，我們複習一下理想的電阻、電容、電感的阻抗。

在具有電阻、電感和電容的電路裡，對電路中的電流所起的阻礙作用叫做阻抗。阻抗常用Z表示，是一個複數，實際稱為電阻，虛稱為電抗，其中電容在電路中對交流電所起的阻礙作用稱為容抗 ,電感在電路中對交流電所起的阻礙作用稱為感抗，電容和電感在電路中對交流電引起的阻礙作用總稱為電抗。 阻抗的單位是歐姆。

R，電阻：在同一電路中，通過某一導體的電流跟這段導體兩端的電壓成正比，跟這段導體的電阻成反比,這就是歐姆定律。

標準式： 。（理想的電阻就是 實數，不涉及複數的概念）。

如果引入數學中複數的概念，就可以將電阻、電感、電容用相同的形式復阻抗來表示。既：電阻仍然是實數R（復阻抗的實部），電容、電感用虛數表示，分別為：

Z= R+i( ωL–1/（ωC）)

說明：負載是電阻、電感的感抗、電容的容抗三種類型的復物，複合後統稱「阻抗」，寫成數學公式即是：阻抗Z= R+i(ωL–1/（ωC）)。其中R為電阻，ωL為感抗，1/（ωC）為容抗。

（1）如果(ωL–1/ωC) > 0，稱為「感性負載」；

（2）反之，如果(ωL–1/ωC) < 0稱為「容性負載」。

我們仔細看阻抗公式，它不再是一個實數。它因為電容、電感的存在，它變成了一個複數。

電路中如果只有電阻，只影響幅度變化。

我們通過上圖，我們知道，正弦波的幅度發生了變化，同時，相位也發生了變化，同時頻率特性也會變化。所以我們在計算的過程中，即需要考慮實部，也需要考慮虛部。

我們可以在一個複平面裡面，以實部為x軸、以虛部為y軸，表示任意一個複數。我們的阻抗，不管多少電阻、電容、電感串聯、並聯，之後，都可以表示在一個複平面裡面。

 在 RLC 串聯電路中，交流電源電壓 U = 220 V，頻率 f = 50 Hz，R = 30 Ω，L =445 mH，C =32 mF。

在上圖中，我們看到通過幾個矢量的疊加，最終阻抗在複平面中，落在了藍色的圓點位置。

所以，任意一個阻抗的計算結果，我們都可以放在這個複平面的對應位置。

各種阻抗的情況，組成了這個無窮大的平面。

2.2、反射公式

信號沿傳輸線向前傳播時，每時每刻都會感受到一個瞬態阻抗，這個阻抗可能是傳輸線本身的，也可能是中途或末端其他元件的。對於信號來說，它不會區分到底是什麼，信號所感受到的只有阻抗。如果信號感受到的阻抗是恆定的，那麼他就會正常向前傳播，只要感受到的阻抗發生變化，不論是什麼引起的（可能是中途遇到的電阻，電容，電感，過孔，PCB轉角，接插件），信號都會發生反射。 

錢塘江大潮，就是河道的寬度變化引起了反射，這跟電路中阻抗不連續，導致信號反射，可以類比。反射聚集的能量疊加在一起，引起的過衝。也許這個比喻不恰當，但是挺形象。

那麼有多少被反射回傳輸線的起點？衡量信號反射量的重要指標是反射係數，表示反射電壓和原傳輸信號電壓的比值。

反射係數定義為：

其中：Z0為變化前的阻抗，ZIN為變化後的阻抗。假設PCB線條的特性阻抗為50歐姆，傳輸過程中遇到一個100歐姆的貼片電阻，暫時不考慮寄生電容電感的影響，把電阻看成理想的純電阻，那麼反射係數為：

信號有1/3被反射回源端。

如果傳輸信號的電壓是3.3V電壓，反射電壓就是1.1V。 純電阻性負載的反射是研究反射現象的基礎，阻性負載的變化無非是以下四種情況：阻抗增加有限值、減小有限值、開路（阻抗變為無窮大）、短路（阻抗突然變為0）。 

初始電壓，是源電壓Vs（2V）經過Zs（25歐姆）和傳輸線阻抗（50歐姆）分壓。

Vinitial=1.33V

後續的反射率按照反射係數公式進行計算

源端的反射率，是根據源端阻抗（25歐姆）和傳輸線阻抗（50歐姆）根據反射係數公式計算為-0.33；

終端的反射率，是根據終端阻抗（無窮大）和傳輸線阻抗（50歐姆）根據反射係數公式計算為1；

我們按照每次反射的幅度和延時，在最初的脈衝波形上進行疊加就得到了這個波形，這也就是為什麼，阻抗不匹配造成信號完整性不好的原因。

那麼我們做一個重要的假設！

為了減少未知參數的數量，可以固化一個經常出現並且在應用中經常使用的參數。這裡Z0 (特性阻抗)通常為常數並且是實數，是常用的歸一化標準值，如50Ω、75Ω、100Ω和600Ω。

假設Z0一定，為50歐姆。（為什麼是50歐姆，此處暫時不表；當然也可以做其他假設，便於理解，我們先定死為50Ω）。

那麼，根據反射公式，我們得到一個重要的結論：

每一個Zin對應唯一的 「Γ」，反射係數。

我們把對應關係描繪到剛剛我們說的「複平面」。

於是我們可以定義歸一化的負載阻抗：


據此，將反射係數的公式重新寫為：

好了，我們在複平面裡面，忘記Zin，只記得z（小寫）和反射係數「Γ」。

準備工作都做好了，下面我們準備「彎了」

2.3 掰彎

在複平面中，有三個點，反射係數都為1，就是橫坐標的無窮大，縱坐標的正負無窮大。歷史上的某天，史密斯老先生，如有神助，把黑色線掰彎了，把上圖中，三個紅色圈標註的點，捏到一起。

彎了，彎了

圓了，圓了。

完美的圓：

雖然，無窮大的平面變成了一個圓，但是，紅線還是紅線，黑線還是黑線。

同時我們在，原來的複平面中增加三根線，它們也隨著平面閉合而彎曲。

黑色的線上的阻抗，有個特點：實部為0；（電阻為0）

紅色的線上的阻抗，有個特點：虛部為0；（電感、電容為0）

綠色的線上的阻抗，有個特點：實部為1；（電阻為50歐姆）

紫色的線上的阻抗，有個特點：虛部為-1；

藍色的線上的阻抗，有個特點：虛部為1；

線上的阻抗特性，我們是從複平面，平移到史密斯原圖的，所以特性跟著顏色走，特性不變。

下半圓與上班圓是一樣的劃分。

因為史密斯圓圖是一種基於圖形的解法，所得結果的精確度直接依賴於圖形的精度。下面是一個用史密斯圓圖表示的RF應用實例：

例： 已知特性阻抗為50Ω，負載阻抗如下：

Z1 = 100 + j50Ω	Z2 = 75 - j100Ω	Z3 = j200Ω	Z4 = 150Ω
Z5 = ∞ (an open circuit)	Z6 = 0 (a short circuit)	Z7 = 50Ω	Z8 = 184 - j900Ω

對上面的值進行歸一化並標示在圓圖中(見圖5)：

z1 = 2 + j	z2 = 1.5 - j2	z3 = j4	z4 = 3
z5 = 8	z6 = 0	z7 = 1	z8 = 3.68 - j18

我們看不清上圖。

如果是「串聯」，我們可以在清晰的史密斯原圖上，先確定實部（紅線上查找，原來複平面的橫坐標），再根據虛部的正負，順著圓弧滑動，找到我們對應的阻抗。（先忽略下圖中的綠色線）

現在可以通過圓圖直接解出反射係數Γ。

我們既可以通過直角坐標，去直接讀取反射係數的值，也可以通過極坐標，讀取反射係數的值。

直角坐標

畫出阻抗點(等阻抗圓和等電抗圓的交點)，只要讀出它們在直角坐標水平軸和垂直軸上的投影，就得到了反射係數的實部Γr和虛部Γi (見圖6)。

該範例中可能存在八種情況，在圖6所示史密斯圓圖上可以直接得到對應的反射係數Γ：

Γ1 = 0.4 + 0.2j	Γ2 = 0.51 - 0.4j	Γ3 = 0.875 + 0.48j	Γ4 = 0.5
Γ5 = 1	Γ6 = -1	Γ7 = 0	Γ8 = 0.96 - 0.1j

 

從X-Y軸直接讀出反射係數Γ的實部和虛部

極坐標

極坐標表示，有什麼用？非常有用，這其實也是史密斯原圖的目的。

2.4  紅色陣營VS綠色陣營

剛剛我們已經注意到，史密斯原圖，除了有紅色的曲線，是從阻抗複平面掰彎，過來的紅色世界。同時，在圖中，還有綠色的曲線，他們是從導納複平面，掰彎產生的。過程跟剛剛的過程是一樣的。

那麼這個導納的綠色，有什麼用呢？

並聯電路，用導納計算，我們會很便利。同時在史密斯原圖中，我們用導納的綠色曲線進行查詢，也會很方便。

如圖，這樣並聯一個電容，通過綠色的曲線很快就可以查詢到對應的歸一化阻抗和反射係數。

3、幹什麼？

解釋和介紹了史密斯圓圖這麼長的段落，別忘了，我們想幹什麼。我們實際是希望，我們設計的電路反射係數越接近0越好。

但是，什麼樣的電路是合格的電路呢？反射係數不可能理想的為0，那麼我們對反射係數，有什麼樣的要求呢？

我們希望反射係數的絕對值小於1/3，即反射係數落入史密斯圓圖的藍色區域中（如下圖）。

這個藍色的球，有什麼特色呢？其實我們通過史密斯原圖的數值已經清楚的發現。在中軸線，也就是之前說的紅線上，分別是25歐姆，和100歐姆兩個位置。即：Zin在1/2 Zo和2倍Zo之間的區域。

也就是，我們打靶打在藍色區域，即認為反射係數是可以接受的。

關於史密斯圓圖還有很多有趣和有用的現象。歡迎大家留言探討。

來源：網絡整理。