溫躍層理論簡史(I):通風溫躍層

封面說明：增暖引起的通風溫躍層的變化

Zonally averaged schematic view of the thermocline ventilation for the historical situation (blue) and under ocean warming (red). Ocean warming reduces surface densities: ρi, historical> ρi, warming; ventilated layers tend to shoal and thin. Equatorial upwelling under ocean warming is thus associated with reduced O2 undersaturation in the equatorial mixed layer. It results in reduced O2 uptake or anomalous O2 outgassing, which is superimposed on the ubiquitous O2 outgassing due to the warming of the ocean surface. Reduced mixing due to enhanced thermocline stratification under ocean warming might additionally contribute to reduce the O2 supply to the ocean interior. For schematic simplicity, the wind field and associated Ekman transport and Ekman pumping are assumed to be identical in both periods.

撰文：李洋@LaCOAS

以下主要內容來自Dijkstra的Dynamical Oceanography，但將壓強等物理量改寫成了更通用的寫法。本文可以視作一個讀書筆記，前兩個部分介紹了相關背景以及全文主要結論的物理意義，後面則全是方程的推導，有興趣的同學可以看Pedlosky的Thermocline Problem等更加深入的作品。

導語：溫躍層理論

大體上關於溫躍層的形成有兩種理論：通風理論和內邊界層理論。兩者都有自己的優勢與問題。通風理論因為只考慮平流所以有許多很好的性質，但只有在表面速度向下的區域才符合的很好。內邊界層理論對表面速度要求不高，但許多特徵都依賴於垂直擴散係數的大小，而且要使溫躍層深度與實際接近，垂直擴散係數要比觀測大得多。

通風溫躍層理論

通風理論的核心想法是，海水在表面獲得密度、位勢渦度等性質，然後通過平流過程流到更深層。這一理論只考慮平流，不考慮擴散過程，密度更高的水流到密度低的水的下面就形成了溫躍層。

利用位渦守恆與Sverdrup關係等，我們最後可以發現，在中緯度下沉的海水需要向西運動才能在次表層回流到赤道，而在東部則有一個幾乎不動的「陰影區」,下沉的水流不到這裡，這裡的水也流不出去。「陰影區」的形成主要是因為流體的厚度既影響位勢渦度有影響壓強梯度，因此在邊界可能存在邊界條件與位渦守恆不能同時滿足的情況。

由於中緯度下沉的水很大一部分會在赤道向上抽吸，因此陰影區的存在極大地影響了冷水上翻的位置，對ENSO有著重要的影響。

模型與方程

這裡採用最簡單的兩層半模型，結構如圖所示。其中最下面的第3層是不動的，第2層的水因為表面Ekman速度的關係在固定的緯度以北下沉，流到南側第1層的下面形成溫躍層。
邊界條件為：上表面給定緯向均一的Ekman垂直速度，下表面垂直速度為0.

模型，左側為北

層與層之間靠界面以及壓強梯度聯繫起來。以左下角第2、3層界面為例。

每層內部的方程則為（這裡水平兩個速度都用實際的速度除以地球半徑表示，同時壓強也是實際壓強除以許多常數）



此時層與層之間的關係可以寫為

下沉區域

在北邊的區域，

由於第3層不動，根據Sverdrup關係有

把徑向速度用壓強梯度表示並把厚度用深度表示可以得到

這樣從某經度向東邊界積分可以得到

在東邊界緯向速度為0，故應滿足

即東邊界第2層厚度均一。

非下沉區

第2層由於不再受表面通風的影響，位勢渦度守恆，即

證明附在最後。

利用在東邊界緯向速度為0以及交界處
可以得到
利用Sverdrup關係

帶入運動學方程可以得到

緯向積分並利用得到

同時在下沉區與非下沉區交界處

所以從這裡流到南邊的水滿足

即

因此

陰影區（shadow zone）

上一個方程左側係數恆正，因此當表面向上抽吸時，在某些區域方程右側可能小於0，此時方程無解。這就意味著從北面下沉區下沉的水不可能經過這裡，這裡的水也流不出去，因此叫做陰影區。

舉個例子，若非下沉區

可以得到方程有解的邊界為

陰影區如圖所示。

陰影區附：位渦守恆的證明

在第2層內，把水平運動方程消去壓強(即和Sverdrup關係推導一樣的方法)可以得到

積分得到

再利用（別忘了我們的速度是實際速度除以地球半徑）

帶入表達式即可得證。

（未完待續）

整理：楊海軍

（微信自動給所有的圖片打碼，有時候嚴重影響閱讀！）