線性回歸擬合優度的度量:R平方

線性回歸 Y = ax + b 的擬合程度，都是用 R 平方來進行判定，所以本篇文章來梳理 R 平方的具體計算方式。

首先，根據這一回歸方程，可以依據自變量 x 的取值來預測因變量 Y 的取值。但預測的精度取決於回歸直線對觀測數據的擬合程度。各個觀測點（也就是訓練集的數據）越是緊密圍繞直線，說明直線對觀測數據的擬合程度越好，反之則越差。

兩個變量的相關分析中，我們用相關係數來衡量，Pearson 相關係數就是 R 值。這個在《相關係數之Pearson》有過介紹。

R 值的作用也很清楚。判斷自變量與因變量的關係，以確定該自變量有沒有納入回歸方程的必要。如果是一元回歸，就是有沒有做回歸分析的必要。一般情況下，如果 R 低於 ±0.5，則這個自變量不需要納入回歸方程。另外一個就是上面說的，衡量預測的精度。

再來介紹下 R 平方。 可以理解為 Pearson 係數的平方，但計算方法是通過類似方差分析的方法得到的。R 平方又叫決定係數，反應因變量 Y 的總變異中回歸關系所能解釋的百分比。如圖，如果 R 平方值 0.6326，代表的是總變異中回歸關係可解釋部分的佔比為 63%。

R 平方的公式如下：

image.png

每個觀測點的離差，比較直觀的是直接在坐標系上表現，其中：

是 SSR。也就是因為自變量 x 的變化，引起的 y 的變化，代表回歸關係中可被解釋的部分。

圖：統計學-賈俊平

SSR（回歸平方和）：樣本平均值與預測值的差的平方和，由 x 與 y 的線性關係引起的 y 變化，代表回歸關係中可被解釋的部分。

SSE（殘差平方和）：樣本觀測值與預測值的差的平方和，除 x 影響之外的其他因素引起的 y 變化，代表回歸關係中不可解釋的部分。

SST（總平方和）：樣本觀測值與樣本平均值的差的平方和，代表總的變異程度。

從圖中和公式可以看出，SST = SSR+ SSE ，總變異來自兩個方面的影響，一個是來自因變量 x 的影響（SSR），一個是來自無法預測的殘差幹擾（SST），想要回歸直線擬合的越好，就需要讓能被回歸可解釋的部分（SSR/SST）佔比越高，無法被回歸解釋的部分（SSE/SST）佔比越小。

總結下，平方值是取值範圍在 0 到 1 之間，當趨勢線的 R 平方值等於 1 或接近 1 時，意味著大部分 Y 的總變異可以被回歸方程式的 x 變化所解釋，模型擬合程度的越高，可靠性越高，反之則可靠性較低。