三幅圖形幫你記住施密特正交化公式

2021-01-14 大哉數學之為用

▲


| 歐 式 空 間 | 第 1 篇 文 章 |

作者： Daniel



施密特正交化公式在用正交矩陣化二次型為標準形中有重要的應用。學過的同學都反映這個公式不太好記。本文用三幅圖形教你記憶這個公式。

施密特正交化的定義

在n為歐式空間中，利用一組線性無關的向量, 構造一組兩兩正交的單位向量組的過程叫做施密特正交化，它包括正交化和單位化兩個步驟。

由於將一個向量化為單位向量很容易，只要除以它的長度即可，所以本文只談正交化步驟。

三幅圖形

一般的n維歐式空間中的施密特正交化公式與中的公式有相同的形式，所以，可以用中公式的幾何意義來幫助記憶此公式。

如圖1，將向量投影到向量上的投影向量 ，記為, 其公式在「投影向量計算公式的推導」一文中有詳細介紹，請參閱。請大家先記住下面這個投影向量公式：

 這裡表示這兩個向量的內積，在中就是點乘。

如圖2，
第一步：令
第二步：計算,使得
如圖2， 取, 將它投影到得到投影向量,即圖中紅色的水平向量，由圖中的三角形法則知，，就是與垂直的向量。於是,

第三步：現在來求, 如圖3， 將剛才求出的放在水平平面上，現在添加向量，它必不在水平平面上。圖3告訴我們，用減去它分別向投影的投影向量得到 所以，


類比這個結構，當我們得到兩兩正交的向量組後，要求，使得它與前面的各正交，只要添加向量, 並用它減去它分別向投影的投影向量  即得到，所以，



本文公式採用【upub編輯器】,請關注【編輯之談】公眾號！



 投影向量計算公式的推導

矩陣特徵多項式的係數公式

用正交變換將二次型化為標準形

複數集合作為複數域和實數域上的線性空間

生成子空間的交空間與和空間的求法

計算二次型的標準形的三種方法


▼


相關焦點

  • 施密特正交化公式居然還可以這樣用?
    的一個方向向量為有的同學可能會問：這不是正交化的公式嘛，所以就想到了施密特正交化的公式
  • 量化投資--因子正交化
    因子正交化統一框架對於因子多重共線性的問題，可以通過因子正交化的方法來解決。因子正交化有多種方式。目前應用最多的有四種：回歸取殘差、施密特正交化、規範正交化、對稱正交化。其中，後三種都是通過因子旋轉的方式來消除因子間的相關性，而第一種，後文會給出證明，實質上跟施密特正交化是一致的。因此，首先對後三種正交化方式給出統一說明（這部分參考了報告[1][2]，覺得描述不清楚的可以再去看看報告）：
  • 正交矩陣和Gram-Schmidt正交化
    格拉姆-施密特正交化法這個方法聽著挺牛的，其實非常簡單，直接看個例題就明白了。在此之前呢，我們先複習一個知識點——有關投影的。看上圖，假設有a和b兩個向量，b往a上投影的p是多少呢？好，有了這個就好辦了，下面我們看格拉姆-施密特正交化法是個啥東西。隨便給出三個向量，或者說是空間的三個基：
  • 為什麼要進行因子正交化處理?
    這個算法叫作多元回歸的 Gram-Schmidt（格拉姆-施密特）正交化過程。本小節開始的 simple regression model 已經驗證了上述結論。讓我們來好好審視一下這個結論，即：上式說明，解釋變量 x_p 的回歸係數 b_p 和正交化後的 z_p 的大小（z_p 自己的內積為分母）有關。
  • 1至6年級數學公式大全,各種圖形計算公式,單位換算等
    數學這門課程，不像語文那樣，需要背誦很多的課文內容，只需要記住一些公式大全，解題就難不倒同學們。在學習數學這門課程時，我們會遇到各種各樣的計算公式，套用這些計算公式能讓我們快速計算出問題的答案。同學們在做數學題時經常不知道怎麼解答，特別是一些應用題做不出來。
  • 試試初中數學知識口訣,幫你記住難學的公式定理
    12、因式分解兩式平方符號異，因式分解你別怕。兩底和乘兩底差，分解結果就是它。兩式平方符號同，底積2倍坐中央。因式分解能與否，符號上面有文章。同和異差先平方，還要加上正負號。同正則正負就負，異則需添冪符號。
  • 小學1——6年級必背數學公式大全!快看你孩子記住了幾個?
    如同語文中的拼音詞語一樣，數學中的基礎公式也需要死記硬背。各種圖形的面積/表面積求法公式，分數的加減乘除公式等等，都需要通過記憶來運用到答題當中。但是小學1-6年級的數學學習當中，這些公式的學習時段都比較零散，容易出現猴子掰玉米那樣，學會後一個，忘記前一個，到最後什麼都沒記住。所以今天小編為家長們整理了小學數學1-6年級常用的公式大全，快看看你的孩子記住了多少！
  • 施密特觸發器電路及工作原理詳解_施密特觸發器特點_施密特觸發器...
    打開APP 施密特觸發器電路及工作原理詳解_施密特觸發器特點_施密特觸發器的作用 發表於 2018-01-16 11:50:23
  • 初中數學知識點:幾何圖形公式
    這是最簡單，最基礎的一種方法，當所求圖形是我們常規的幾何圖形，例如三角形、正方形等。此時直接運用公式即可。例如：     　　和差法   　　和差法比公式法略微複雜，需要學生進行簡單的判斷，不過一般難度不大，只需學生用兩個或多個常見的幾何圖形面積進行加減。
  • 小學奧數:記公式數圖形,再不用一個個硬數到眼花,這個真可以學
    小學奧數：記好公式數圖形，再不用一個個硬數到眼花，這個你不一定會，真的可以學哦。大家好，昨天講了計算正方形個數的公式，讓我們不用再一個個去硬算，對於複雜的題目我們減少了計算量也確保了正確率。很多同學提出：數長方形和三角形的公式是不是也一樣的呢？答案是不完全一樣的哦，但有點相似，公式可以去記牢，但同時也需要自己去理解為什麼是這樣的公式。請大家多練習這一類數圖形的題目，幫助自己理解公式的含義。
  • 買車不懂砍價,記住這個公式!
    今天我們來講一下如何砍價，幫你避免踩坑，關注我記得收藏哦！其實砍價非常簡單，你只需要知道大概裸車優惠多少以及哪些費用合理哪些費用不合理就可以了。當然了解之前你還要知道三件事情，第一所有的網絡報價以及電話報價他都存在很大的水分，因為網絡報價低他主要是想吸引你到店，而真正有效的方法我還是建議大家先去到4S店，然後加一個銷售的私人微信，在慢慢的聊，但你要切記不管他怎麼誘惑你，不管他怎麼把你架得沒面子，你千萬不要輕易的下定金，你多對比幾家在去做決定，反正你記住一句話優惠大的，他們店裡搞活動銷售自然會聯繫你。
  • 小學數學:平面圖形的複習,圖形特點,計算公式
    小學數學裡學過的平面圖形主要有長方形、正方形、平行四邊形、梯形、三角形、圓形、圓環、扇形等。下面我就對這些平面圖形進行分析、歸納。並製作了相應的導圖，便於複習、記憶。平面圖形1、長方形（1）特點：長方形的對邊相等，4個角都是直角的四邊形
  • 常見的平面圖形常用公式
    如直線、射線、角、三角形、平行四邊形、長方形(正方形)、梯形和圓也都是幾何圖形，這些圖形所表示的各個部分都在同一平面內,稱為平面圖形。 常見平面圖形常用公式： 長方形 S=ab C=(a b) 　　 歡迎使用手機、平板等行動裝置訪問中考網，2020中考一路陪伴同行！
  • 2020初三數學複習:記住一張表解決所有確定幾何圖形的三視圖問題
    熟悉一張轉化表，可以順利地完成幾何圖形的三視圖轉化問題。在初中有一個知識板塊，講的是確定幾何圖形的三種視圖。這個單元有很多容易出錯的地方，主要是學生容易混淆主視圖、左視圖或俯視圖。為了研究的方便，數學中規定：主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看，所得到的圖形，特別要注意三視圖均是平面圖形。也就是說，通過三視圖可以把立體圖形轉化成平面圖形。那麼在學習的過程中，我們應該如何才能比較準確地把握本單元的知識要點呢？一是要注意交匯點在三視圖中形成的點，二是要注意看不到的稜在三視圖中要用虛線表示也容易忽視。
  • 幾首順口溜瞬間幫你記住數學重點公式和法則
    6.平方差公式 　　兩數和乘兩數差，等於兩數平方差； 　　積化和差變兩項，完全平方不是它。 　　7.完全平方公式 　　首平方又末平方，二倍首末在中央； 　　和的平方加再加，先減後加差平方。
  • 小學1-6年級數學公式大全:圖形計算公式
    小學1-6年級數學公式大全：圖形計算公式 　　小學數學圖形計算公式 　　正方形    公式 　　正方形的周長=邊長×4    C=4a 　　正方形的面積=邊長×邊長    S=a×a > 　　正方體的體積=邊長×邊長×邊長    V=a×a×a 　　長方形    公式 　　長方形的周長=（長+寬）×2    C=（a+b）×2 　　長方形的面積=長×寬    S=a×b 　　長方體的體積=長×寬×高    V=a×b×h 　　三角形    公式
  • 德國Simita施密特人工智慧物聯網保溫杯,開啟智能飲水新體驗
    其中，今天將帶來評測的是身邊為數十分罕見的智能保溫杯——德國Simita施密特人工智慧物聯網保溫杯。不知道這款首款首款的智能保溫杯將會帶來什麼樣的「智能」驚喜體驗呢？德國Simita施密特人工智慧物聯網保溫杯作為首款的智能保溫杯，但整體在外包裝上並沒有帶來十分突出的表現。
  • 小學數學圖形計算公式大全
    (3)體積=底面積×高 　　(4)體積=側面積÷2×半徑 　　10、圓錐體 　　v：體積 h：高 s：底面積 r：底面半徑 　　體積=底面積×高÷3 　　總數÷總份數=平均數   　　編輯推薦： 　　小升初數學各類圖形面體積計算公式
  • 高中數學記住這些公式與方法你就可以考到130+
    當我們步入高三時，我們會感覺到數理化的重要性，對我們來說是致命的，450分足以讓你一命嗚呼，所以我們必須學好數理化，才能贏在高考，到大學後才會有更好的發展。正所謂學好數理化走遍天下都不怕。學好數理化說難也難，你要記很多公式，做很多很多的習題，記很多很多的知識點，因為高考考的就是你對知識點的熟悉程度，所以難。