光的折射，到底折射出了什麼深奧的道理？

為什麼彩虹在天上掛？

為什麼要往魚的下面插？

為什麼透鏡下的紙會生火花？

為什麼筆被水面「斷」了不會「咔嚓」？

谷歌百度搜狗維基逐個上網查

你會發現都是光的折射在「玩耍」

為什麼不探究一下折射是個啥？

原來折射就是光的最優化方法！

光的折射

一光，一折，一界面，光的折射不就是如此滴簡單嗎？對於學生黨而言，sin(θr)=n*sin(θi)的折射公式早就背膩了，做光折射的題也做得夠煩的了。再說，就算你不知道這個公式，只要看看上面那張圖，那就連你奶奶也都知道光的折射是什麼了吧！既然如此，為什麼我還要專門寫一篇推送，介紹這如此無聊的光的折射呢？

本來嘛，我也對光的折射沒什麼興趣。不過，就在一年前，我和我家的狗子去海灘玩耍了。玩得盡興時，我一不小心將手裡的呼啦圈丟到了海面上。見事不妙，我和汪星人一同出發，開始了撿呼啦圈大賽。畢竟兩點之間直線最短，我便直衝著呼啦圈的方向而去；而汪星人則向著一個斜的方向繞開，到了沙灘和海面的交界時，才朝著呼啦圈遊去。結果我離呼啦圈還有幾米距離的時候，狗子居然搶在我之前先到了，並叼走了呼啦圈！

納尼？我竟然連狗都不如？

不甘心的我，決定親自上陣，動手算一算這是咋淝泗。假設海水與沙灘的交界是一條理想直線，我和狗子在沙灘上的奔跑速度都是4m/s，在海裡的遊泳速度都是1m/s。我直衝呼啦圈而去，狗子在我入水點前方的4米的地方才入水。下圖說明了這場「賽跑」的全過程。

那麼我和狗子，誰的用時最短呢？

算出答案後，我發現狗子會比我早1.7秒的時候到達！這和實驗結果基本相符。看來天若有情天亦老，狗子才是真巨佬，到海邊上跑一跑，我就只能摸不著頭腦~

那汪汪的路是不是耗時最短的那一條呢？我又對此做了進一步計算。一通計算後發現，汪汪也沒有做到極致，因為在x=16m時(狗子的x=14m)，拿呼啦圈的耗時才是最短的。出於好奇心，我在算出x=16m的基礎下，又設定了入射角θr和折射角θi，並發現跑步速度和遊泳速度的比值為n=4(這和折射率的定義是一樣的)。把sinθr和sinθi算出來後，猜猜我發現了什麼？

sin(θr)=n*sin(θi)，這兒居然出現了光的折射公式！現在發揮一下你的想像力，把沙水交界當成空氣和物質(其折射率n=4)之間的界面。光經過我和狗子的奔跑起點，沿著上述這條耗時最短的路徑，來到呼啦圈的位置。那麼，光所走的路徑，便和實際上光發生折射時的路徑完全一樣了，因為耗時最短的路徑和折射路徑都滿足這同一條公式！

當然，我的汪星人只能算是個「菜雞」，汪星上真正的「王者」可都已經大搖大擺地走進封面論文裡了。2001年，一名叫做蒂姆·彭寧斯的數學老師，帶著他的愛犬到湖灘上做實驗。他站在湖邊，將沙灘球以沿與湖岸成斜線的方向扔進湖裡。原本站在他身邊的狗撿球時，並不是跳到微波蕩漾的湖水中然後直衝球而去，而是在「跳水」之前，先沿著水邊跑一段距離。這讓彭寧斯想到一個問題：愛犬選擇的路徑，是不是耗時最短的呢？於是他帶著一堆工具，測量了球的方位、愛犬跑步和遊泳的速度，以及它「跳水」的位置。在35次實驗的努力下，他終於發現，愛犬的路徑的確是耗時最短的那一條。

彭寧斯將他的發現刊登在了《大學數學雜誌》的封面論文上，他的愛犬也因此定格在了這期雜誌的封面上，成為了汪星中的Special One。（狗：「我的數學比你強的事實，你現在才知道嘛？」）

如果再考古一下當年彭寧斯的計算過程（如上圖所示），你會發現，x的大小只是球的離岸距離b以及跑-遊速度比n的函數，和a並沒有半毛錢關係。也就是說，狗命由b不由a，在哪跳水耗時最短，只有球的位置(C點)說的算。現在我們再設置一個角θ，就可以算出sinθ=1/n了。

咦？這不就是光的全反射角的臨界公式嗎？

全反射

當光從介質射向空氣時，隨著光的入射角不斷增大，出射角也在增大。當入射角θ與介質折射率n滿足sinθ=1/n時，出射角正好是90°。而90°的出射角則是一個臨界的狀態：出射角小於90°時，才能有一部分光穩定地射出水面；出射角大於90°時，由於電磁波表達式裡存在e^(-κz)項，射出水面的光會快速衰減成0，穩定的光只能反射回水裡，故稱「全反射」。

全反射

你和狗賽一賽跑，光的折射就會暗藏其中；你讓狗撿一撿球，光的全反射就會躍然紙上。簡單的生活現象，往往能在光學領域找到答案和本質。遇事不決，找找光學，也許下一篇封面論文的作者就是你啦。因此，我強烈建議各位想搞科研的童鞋，多多考慮走光——光學這條路哦~

有人看了這篇文章，也許會說：「狗和光都比人『聰明』，那我們人類又何用之有？」不過換個角度來想一想，你也許會發現人類真正的意義。遠古的光射到地球後，孕育了無數的生命；生命在漫長的歲月中進化出了狗，然後進化出了人。然而，人類在不斷的探索中，又從狗的身上找到了解決問題的優化方法，再從光的身上找到了優化方法的真諦。人類不能創造規律，但人類的本質和意義就在於探索規律、發現規律，找到大自然的各類鑰匙。大自然進化出人類的目的，也許就是藉助人類的力量，來探索大自然自身的奧秘吧。

參考文獻：

[1]Hecht, Eugene, Interference, Optics (Addison Wesley), 2002