我國數學家成功證明微分幾何學兩大核心猜想,歷時11年

近日，中國科學技術大學教授陳秀雄、王兵在微分幾何學領域取得重大突破。其發表在《微分幾何學雜誌》上的關於高維凱勒裡奇流收斂性的論文《Space of Ricci flows (II)—Part B: Weak compactness of the flows》，成功證明了「哈密爾頓 - 田」 和 「偏零階估計」這兩個國際數學界 20 多年懸而未決的核心猜想。

《微分幾何學雜誌》是幾何學領域的頂尖刊物，發表過多篇劃時代的數學論文，如哈密爾頓關於裡奇流的奠基性工作。

據了解，這篇論文從作者開始寫作到正式發表用了 11 年，論文篇幅超過 120 頁，從投稿到正式發表耗時 6 年。王兵說，就像在寫一篇小說，「不同之處在於，靠的是邏輯推導而不是故事情節推動。」

圖 | 論文《Space of Ricci flows (II)—Part B: Weak compactness of the flows》

論文以研究高維凱勒 「裡奇流」 的收斂性為主要內容，引進了眾多新思想和新方法，對幾何分析，尤其是裡奇流的研究已經產生了深遠的影響。

什麼是 「裡奇流」？

微分幾何學起源於 17 世紀，是數學的一個分支學科，它主要是以分析方法來研究空間（微分流形）的幾何性質。對物理學、天文學、工程學等產生巨大推動作用。歐拉、蒙日、拉格朗日以及柯西等數學家都曾為微分幾何學的發展作出過重要貢獻。

在微分幾何學領域，陳秀雄和王兵團隊的研究方向是 「裡奇流」 的收斂性。

「裡奇流」（Ricci Flow）誕生於 20 世紀 80 年代，是一種描述空間演化的微分幾何學研究工具。在微分幾何中，「裡奇流」 是一種固有的幾何學流動，它的主要思想是讓流形隨時間變形，即是讓度規張量隨時間變化，觀察在流形的變形下，裡奇曲率是如何變化的，以此來研究整體的拓撲性質。它的核心是哈密爾頓 - 裡奇流方程（Hamilton’s Ricci flow equation），是一個擬線性拋物型方程組。

圖 | 不同階段的裡奇流 2D 流形 （來源：Knowpia）

裡奇流以義大利數學家格雷戈裡奧 裡奇 - 庫爾巴斯託羅（Gregorio Ricci Curbastro）的名字命名，由美國數學家理察 哈密頓（Richard Hamilton）於 1981 年首次引入，也稱裡奇 - 哈密頓流。這個工具同時被俄羅斯數學家格裡戈裡 佩雷爾曼（Григорий Яковлевич Перельман）用於解決龐加萊猜想。

兩位大神，何許人也？

陳秀雄教授師從著名幾何學家卡拉比 (Calabi )，是中國科學技術大學講席教授，2018 年成為上海科技大學數學科學研究所的創始所長。他 1987 年畢業於中科大數學系，隨後就讀於中國科學院研究生院，獲碩士學位。1989 年由國家保送去美國賓夕法尼亞大學攻讀博士和博士後，並獲美國國家科學基金資助，榮獲 2019 年度西蒙斯學者獎。主要的研究領域是大範圍微分幾何及非線性偏微分方程。

圖 | 陳秀雄教授

2014 年，陳秀雄、 1986 年菲爾茲獎得主西蒙 唐納森和陳秀雄的弟子孫崧博士合作，成功解決了被譽為 「復幾何領域自卡拉比猜想解決後最重要的問題」 的 「丘成桐猜想」。《美國數學會雜誌》審稿人評價說：陳 - 唐納森 - 孫的證明是突破性的，它不僅解決了一個基本性的問題，同時還發展了許多新穎有力的工具，以揭示卡勒幾何、代數幾何和偏微分方程之間的深刻聯繫。

之後，憑藉他們在《美國數學會雜誌》上連續發表的三篇論文《Khler-Einstein metrics on Fano manifolds, I, II and III》，獲得了 2019 年奧斯瓦爾德 維布倫（Oswald Veblen）幾何獎。他們證明了前述穩定性猜想，即 K - 穩定 Fano 流形上 K hler-Einstein 度量的存在性。

圖 | 王兵教授

本次突破的另一位主要研究者是中科大數學科學學院的王兵教授。1998 年王兵入學中科大少年班學院，2003 年赴美，求學於威斯康星大學麥迪遜分校數學系，於 2008 年博士畢業。此後歷任普林斯頓大學講師、石溪大學西蒙斯幾何與物理中心研究助理教授以及威斯康星大學麥迪遜分校助理教授、副教授（終身教職）。2018 年王兵教授回到中科大數學科學學院工作。王兵教授的研究專長是幾何流，特別是凱勒裡奇流、裡奇流和平均曲率流等，主要研究方向包括微分幾何、代數幾何、偏微分方程。

「大到宇宙膨脹，小到熱脹冷縮，諸多自然現象都可以歸結到空間演化。」 王兵教授比喻說，比如說我們吹一個氣球，氣球不斷膨脹，可以用 「裡奇流」 來研究它空間的變化，最後得到一個 盡善盡美的理想結果。

「如果你吹一個肥皂泡，肥皂泡在天空中飄的時候，它會不會收縮？如果有一類生物，生活在肥皂泡膜上的話，你會感覺到周邊的空間是在變化的，它有一種演化的過程。空間的變化變到最後是一種穩定的狀態。如果把泡泡變化一下，你吹出來的如果一開始是啞鈴狀的，可能在空中飄一會之後，它就變成了一個球，它就演化成一個球了，它演化成一個球之後就不再演化了，所以它是一種穩定的狀態。」 王兵教授解釋道。

在王兵看來，做數學研究不僅不枯燥，還非常優美，如同王安石在《遊褒禪山記》所說的，「世之奇偉、瑰怪，非常之觀，常在於險遠，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也」。王兵說：「裡面王安石說跑到褒禪山去玩，打火把進洞裡，發現洞裡面景色非常好。越往裡走，他發現景色越好，越是匪夷所思，但旁邊就不斷有人開始打退堂鼓，說你再往裡面走，火把就燒完了。最後他們就出來了，出來之後發現火把還可以燒很久，他就開始後悔了。我感覺他講的道理就是做研究的道理，越是世間美好的東西，越在人跡罕至的地方。」

本次突破的意義

該論文的審稿人評論認為，「該文是幾何分析領域內的重大進展，毫無疑問將激發諸多相關工作」。

圖 | 西蒙 唐納森

菲爾茲獎得主西蒙 唐納森也多次在媒體和文章中稱讚此文為 「幾何領域近年來的重大突破」。

此外，論文的核心思想也被王兵和李皓昭推廣到平均曲率流的研究並成功解決了著名的延拓性猜想，該成果發表於數學四大期刊之一的《數學新進展》（Inventiones Mathematicae）。

這篇文章的概念和方法也被運用到了王兵及其合作者近兩年的其它一系列重要工作中。王兵和黃少賽、李宇（即將加入幾何與物理研究中心）合作的文章 「On the regular-convexity of Ricci shrinker limit spaces」，論證了非坍縮裡奇收縮孤立子的極限必然是陳、王定義下的錐形。該論文發表於著名綜合性期刊《純粹與應用數學雜誌》（Crelle's Journal）。

此外，王兵和李宇合作的文章 「Heat kernel on Ricci shrinkers」 給出裡奇孤立子上熱核的多項最佳估計，由此刻畫了孤立子上若干深刻的幾何與拓撲結構，為高維裡奇流奇點的研究奠定了基礎。此篇長文近日已發表在《變分法與偏微分方程》（Calculus of Variations and Partial Differential Equations）。

-End-