寧詩哲 屈福政 張春光
0 引言止推圓柱滾動軸承因其承載能力強的特點，在旋轉類機械中得到了廣泛應用，而其承載能力、變形與剛度等問題又與軸承的受力狀態密切相關，因此, 軸承受力分析成為軸承研究的基礎[1]，尤其是接觸情況、接觸半寬、彈性趨近量等參數是研究並設計滾動軸承的關鍵。 早在100 多年前，Hertz 即對點接觸和線接觸的彈性接觸問題給出了理論解[2]。20 世紀60 年代後，隨著計算機的普及，出現了更多的研究方法。Harris[3] 曾採用切片法對載荷作用下接觸應力的分布進行研究。王大力等[4] 採用有限元法對球軸承接觸問題進行分析。本文對現有幾種計算圓柱滾子軸承分析接觸情況的方法進行描述，並通過實例計算，得到不同方法的各自優缺點及適用範圍。
1 接觸應力計算方法1.1 Hertz 接觸理論對於彈性體的接觸問題令人滿意的分析，最早是由Hertz 得到的。分析中Hertz 採用了如下假設：1）接觸物體只產生彈性變形，並服從虎克定律；2）負載垂直於接觸表面，即不計及接觸物體之間的摩擦力；3）接觸面的尺寸與接觸物體表面相比很小。通過分析得到了線接觸下的接觸半寬和最大接觸應力的公式，而且接觸應力在接觸半寬上呈橢圓形分布，見圖1。
圖 1 Hertz 接觸模型示意圖
式中：a Ω 為接觸半寬， F 為軸向載荷， lt 為有效接觸長度， R 為滾動體半徑，E ＇為材料參數，v 1、E 1 為滾動體的泊松比和彈性模量， v 2、E 2 為支撐架的泊松比和彈性模量。 在滿足Hertz 接觸的假定下，計算出接觸半寬和最大接觸應力。隨著載荷的增大、接觸長度的減小，接觸半寬和最大接觸應力都會增大。而滾動體的半徑越大，接觸半寬越大，最大接觸應力越小。
1.2 基於彈性力學和影響係數法的數值計算方法根據彈性力學可以得到滾動體與滾道之間的力平衡方程和變形協調方程。式（1）可以很好地表達接觸模型，但在應用到滾動軸承情況時，該式並沒有解析解。因此，要用數值方法進行求解。目前關於滾動體接觸計算方法包括切片法和影響係數法，相比於切片法，影響係數法考慮了接觸邊緣效應的影響，因此，更接近實際的接觸情況，也更加精確，文中採用影響係數法。
式中：P （x,y ）為接觸應力分布，z （x,y ）為2 接觸表面間的初始距離， F 為軸向載荷， δ 為彈性趨近量；S 為載荷作用下的接觸區域，E ＇為材料參數。
式（3）進行數值求解計算時，很少事先知道接觸區域的具體尺寸。因此，首先可以用Hertz 接觸理論來預估接觸區域大小。而且，應選得足夠大初始接觸區域，以便包含整個實際的接觸區域。考慮到接觸邊界是關於接觸線對稱的，因此將半接觸區域劃分為M×N 個小的矩形單元，而其邊長為a m 和b n，假定每個單元內的接觸應力是均勻的，則式（4）可以離散為式（5）。
式中：Pj 為第j 塊單元的平均接觸應力； xk ,yk 為第k 單元的中心橫、縱坐標，δ (xk , yk ) 為第k 塊單元的彈性趨近量， z (xk , yk ) 為第k 塊單元的初始距離，Kkj為影響係數矩陣元素，其物理意義是Pj 所引起的第k（1 ≤k ≤M×N）塊單元中心處的變形，其表達式為
其中：
通過求解不同單元上的接觸應力，即可確定整個接觸區域的接觸情況。在計算中，在靠近邊緣處可能會有負的接觸應力，需要將這些網格去掉，並重新劃分，重新計算，直到最終接觸區域和應力收斂。最後還要驗算接觸應力與外載荷的平衡是否滿足精度要求。計算流程圖見圖2。
圖 2 數值計算流程圖
用Matlab 計算了實驗模型，接觸應力和接觸區域見圖3。從結果發現：1）沿接觸寬度方向，應力分布為橢圓型，中間接觸應力最大；2）沿接觸長度方向，應力分布呈馬鞍狀，中間基本持平，靠近邊緣升高，有邊緣效應。
圖 3 Matlab 計算結果三維圖
1.3 光彈實驗法在眾多的實驗方法中，光彈實驗法是迄今為止能測量三維物體內部任一點應力的唯一方法。光彈實驗的基本原理是利用某些高分子材料的暫時雙折射效應。用實驗材料製成與實物相似的模型，並施加相似的載荷，在特定的光場中進行觀察，分析模型出現的幹涉條紋，即可得到模型內各點的應力大小和方向。光彈實驗一般要與相似原理共同配合使用，對於結構複雜的滾動軸承，進行等尺寸的光彈實驗很不方便，且重點在進行理論的計算與驗證，所以用近似的圓盤來進行實驗。實驗中使用PG20 型偏光彈性儀。使用砝碼，並通過1:10 的槓桿放大進行加載。實驗中從10 ～ 80 kg做了8 組，載荷越大，應力越大，分布就越明顯，越便於觀察與分析。見圖4。光彈材料的光力學性質見表1。
圖 4 實驗所用模型及實驗裝置
光彈條紋圖中包含等差線（又稱等色線）和等傾線2 個重要的物理量。等差線表達主應力差大小的信息；而等傾線表達主應力的方向。如何通過實驗中得到的光彈性條紋來計算應力的具體數值，一直是整個光彈實驗的重點。本實驗通過數字光彈法來進行實驗數據的採集和處理，就是通過適當地旋轉偏振光儀系統的某些光學元件來達到引入已知相位差的目的，補充足夠的方程來求解未知的相位信息。 隨著載荷的增加模型等色線條紋逐漸增加，在加載位置最為明顯，見圖5、圖6。此處條紋過於密集，無法準確的去包裹，因此，光彈實驗無法得到接觸區域的應力信息，但可以得到平面內3 個應力（2 個方向的正應力，平面內的切應力）分布。但是數值對比不夠直觀，因此在實驗模型範圍內，選擇了4 條水平特徵線（D/8、D/4、3D/4、7D/8），取得在特徵線上的點的3 個應力。見圖7。
圖5 典型等色線條紋圖（70 kg，80 kg）
圖 6 典型等傾線條紋圖（0°,45°）
圖 7 應力沿特徵線（D /4、D /8）的分布
在水平特徵線上，應力分布連續，正應力（σx、σy）沿著加載軸線左右對稱分布，剪應（τxy）沿著加載軸線左右反對稱分布。而且隨著載荷的不斷增大，應力數值也在不斷增大。其中σy 增加最快，曲線變化最明顯。越靠近接觸位置，接觸應力越大。1.4 有限元仿真隨著計算機技術的發展，有限元方法可以很好地解決傳統方法和數值計算法所解決不了的問題。而且隨著相關軟體的不斷發展，其所模擬的情況以及計算的結果也越來越精確。它對於接觸問題的模擬並不是基於Hertz 接觸公式，而是通過將整個模型劃分為有限個足夠小的單元，並通過剛度矩陣以及邊界條件，構建方程組，這些方程組的解即是單元上節點的位移，而通過這些基本解可以得到接觸邊緣的應力以及模型內部的應力分布。對於接觸問題，一方面接觸區域的大小、相互位置和接觸狀態不僅事先是未知的，而且隨著求解過程是不斷變化的；另一方面，接觸過程要滿足3 個條件：接觸物體不可相互侵入、接觸力的法向分量只能是壓力以及切向接觸的摩擦條件具有強烈的非線性。ANSYS 通過對不同的關鍵選項和實常數進行控制，可以很好模擬接觸狀況。即通過Ansys 軟體來模擬實驗模型的接觸情況。接觸區域要進行網格細化，網格尺寸要小於接觸半寬的一半，其他部分可適當放大網格，以減小計算量，提高計算效率。上蓋板加豎直向下的載荷，下蓋板固定，軸承豎直方向對稱面的節點要加約束，限制其向兩側移動。模型剛性面選為目標面，而軸承表面選為接觸面。經驗明，本例中罰剛度FKN 選為1.5 比較合適。為方便與光彈實驗法做比較，得到模型中與光彈實驗特徵線位置取得節點3 個應力數值。見圖8。
圖 8 有限元法應力沿特徵線（D /4、D /8）的分布
同一位置3 個應力數值在趨勢上與實驗結果完全相同。而數值上，實驗結果在x 方向正應力和xoy 面的剪切應力偏大，y 向正應力偏小，但是誤差很小。提取接觸位置的最大接觸應力，數值方法為44 ～ 52 MPa（考慮到邊緣效應），有限元法為51 ～ 64 MPa。根據最小勢能原理，同一模型在同一種工況下，應力分布應該只有一種。由此可以間接驗證基於Hertz 公式的數值解法的正確性。它可以模擬各種工程實際中遇到的複雜結構和不同載荷下的接觸情況。
2 不同方法對比Heatz 理論公式比較簡單，但是因為假定在實際中很難實現，而且在較複雜的情況下，比如偏載就無法應用。但在較簡單的工況下，計算精確度很高。數值方法基於彈性力學和影響係數法，相關的研究已有很多。通過變換網格可以提高精度，通過變化部分參數還可以計算偏載，研究修型。但是影響係數法是基於良好支撐以及支撐不變形的基礎上，即只有滾動體發生彈性變形，這在一定程度上影響了精度。有限元法是目前最好的方法，而且隨著軟體的不斷進步，通過不同參數的設置，模擬越來越準確。但是軟體本身需要操作人員有一定的理論基礎與軟體操作能力。通過計算發現Hertz 理論解、基於影響係數法的數值方法和有限元法得到的最大接觸應力不同。Hertz 理論是48 MPa，數值方法是44 MPa，有限元法為51 MPa。這是因為3 種方法提取的應力位置有差別，數值方法計算出的結果是單元的平均接觸應力，有限元法得到的是節點接觸應力。因為實際情況中，越接近對稱中心，接觸應力越大，所以有限元法會比數值法偏大。光彈實驗法是最準確還原工況的，但是實驗本身成本較高。而且光學實驗環境也比較苛刻，後期的圖像處理也比較高的專業水平。所以，一般會為關鍵部分或代表性的結構進行實驗驗證。實驗加載無法做到真正的點接觸，會小部分的線接觸，而且模型本身的殘餘應力也無法完全消除。這會導致實驗結果比正常的理論值略大。
3 結論1）Hertz 理論比較簡單，可以用於初值的估算，但是不能用於較複雜的情況（比如偏載）。2）基於影響係數法的數值方法可以得到較精確的解，還可以分析偏載的工況，也可以用於修形，但是必須假定變形只發生在滾動體上，這顯然會帶來誤差。3）光彈實驗法可以最直觀的得到滾動軸承接觸的內部應力信息，而且配合相似原理，可以得到原模型的應力信息，但是實驗費用較高，要求的實驗條件也較高。4）有限元法可以模擬各種接觸情況，而且精度也很高，是目前為止最好的方法。但是，需要操作人員一定的理論能力以及軟體操作水平，還有對複雜的接觸問題，會消耗較大的計算資源。