一、命題1
在一個已知有限直線上作一個等邊三角形。
已知給定線段為AB。在線段AB上作等邊三角形。
以A為圓心，並以AB為半徑作圓BCD[公設3]，再以B為圓心，並以BA作為半徑作圓ACE[公設3]；從兩圓的交點C分別到A和B，連接CA和CB[公設1]。
圖1，幾何是邏輯最嚴密的學科因為點A是圓CDB的圓心，所以AC＝AB[定義15]。又因為，點B是圓CAE的圓心，所以BC＝BA[定義15]。又知道CA＝AB，CB＝AB。由[公理1]等於同量的量彼此相等。所以，CA＝CB。因此，三條線段CA、AB和BC彼此相等。
因此，三角形ABC是等邊的，且在給定線段AB上作出了這個三角形。
二、命題2
由一個已知點作一條線段等於已知線段。
設A為已知點，BC為已知線段。要求以A為端點，作長度與BC相等的線段。
圖2，幾何不會在中間出現邏輯斷層連接AB，得到直線AB[公設1]，在AB上作等邊三角形DAB[命題1]。分別延長DA，DB成直線AE，BF[公設2]。以B為圓心，以BC為半徑，作圓CGH[公設3]，在以D為圓心，DG為半徑，作圓GKL[公設3]。
因為B是圓CGH的圓心，所以BC＝BG[定義15]。同理，因為D是圓GKL的圓心，所以DL＝DG[定義15]。又DA＝DB。所以餘量AL＝餘量BG[公理3]。已證明BC＝BG，所以AL和BC都等於BG。又由等於同量的量彼此相等[公理1]。所以，AL＝BC。
因此，以A為端點作出線段AL等於已知線段BC。這就是命題2的決論。
三、命題3
兩條不相等的線段，在長的線段上可以截取一條線段使它等於另一條線段。
圖3，幾何裡，0.999···≠1設線段AB和C是兩條不相等的線段，且AB長於C。要求從AB上截取一條線段，使其等於線段C。
由A作AD等於線段C[命題2]，以A為圓心，以AD為半徑畫圓DEF[公設3]。
因為A是圓DEF的圓心，所以AE＝AD[定義15]。又因為線段C＝AD，所以AE和C都等於AD。所以AE＝C[公理1]
因此，兩條已知不相等的線段AB和C，從AB上截取的線段AE等於線段C。這就是命題3的決論。