數學裡程碑 | 無限猴子定理:如何讓一隻猴子打出一本《哈姆雷特》

從今天起，SDSZ群論社公眾號將新開設「數學史上裡程碑」系列科普推送，每周不定期更新。從畢達哥拉斯到 57 度空間物體，帶你領略千萬年間數學的變遷。人類什麼時候在繩子上打下第一個結？為什麼第一位女科學家會死於非命？你閒暇間思考的數學問題我們會一一在此解答。

第一期推送，讓我們進入，不是最重要，但一定是最有趣的數學裡程碑--無限猴子定理的發現。

無限猴子定理指出，如果讓一隻猴子隨機在鍵盤上任意敲敲打打無限次的話，則我們幾乎可以肯定，它最終一定能完成一篇字數有限的特定文本。也就是說，猴子在無窮久的時間之後打出法國國家圖書館的每一本圖書的概率為 100%。

「這隻猴子還能完整打出《哈姆雷特》全書，以及莎士比亞扔到紙簍裡的每句話。」

--喬治·伽莫夫的《從一到無窮大》

發展簡史：無限猴子定理是來自E·波萊爾一本 1909 年出版概率的書籍，當中介紹了「打字的猴子」的概念。這個定理是概率論中的柯爾莫哥洛夫的零一律的其中一個命題的例子。不過，當波萊爾在書中提出零一律的這個特例時，柯爾莫哥洛夫的一般敘述並未給出（柯爾莫哥洛夫那本概率論的著作直到 1933 年才出版）。

聽到這裡，想必你大概還是一頭霧水，到底為什麼猴子能打出《哈姆雷特》全書？那麼請我們用事實說話，給出定理的數學證明方法。

假設一個打字機有 50 個鍵，想要打出的詞是「banana」。隨機的打字時，打出第一個字母「b」的概率是 1/50，打出第二個字母「a」的概率也是 1/50 ，因為事件是獨立的，所以一開始就打出單詞「banana」的概率是：   

這個概率小於 150 億分之 1。同理，接下來繼續打出"banana"的概率也是：           

所以，在給定的六個字母沒有打出"banana"的概率是

因為每一段（6個字母）文字都是獨立的，連續n段都沒有打出"banana"的概率Xn是：

隨著 n 變大，Xn 在變小。當 n = 1000000（100萬）時，Xn ≈ 0.9999（沒有打出"banana"的概率是99.99%）；但是當 n = 1000000000（100億）時，Xn ≈ 0.53（沒有打出"banana"的概率是 53%）；當 n = 1000000000000（1000億） 時，Xn ≈ 0.0017（沒有打出"banana"概率是 0.17%）；當 n 趨於無窮時， Xn 趨於零。這就是說，只要使 n 足夠大，Xn 可以變得足夠小。

其中 Xn 表示在前 n 個猴子中沒有一個一次打出"banana"的概率。當我們有 1000 億隻猴子時，這個概率降低到 0.17%，並且隨著猴子數量 n 趨於無窮大，沒有打出「banana」的概率 Xn 趨於 0。

 

但是，在只有有限的時間和有限只猴子時，結論就大不一樣了。如果我們的猴子數量和可觀測宇宙中的基本粒子數量一樣多，大約 10 的 80 次方只，每秒鐘打 1000 個字，持續打 100 倍於宇宙的生命長度的時間（大約 10 的 20 次方秒）有猴子能夠打出一本很薄的書的概率也接近於 0。

現在我們再來看喬治·伽莫夫的那句話。

不算標點符號、空格、大小寫，一個猴子隨機打字打出的第一個字母和哈姆雷特中相同的概率是 1/26，前兩個字母相同的概率是 1/676。因為概率發生了指數爆炸，前 20 個字母相同的概率是 1/26 的 20 次方，約等於 1.99×10 的 28 次方。而打出的字和哈姆雷特中的全部文本相同的概率降低到超出人們的想像。整部哈姆雷特大約有 130,000 個字母。雖然有

的概率一遍就正確地打出所有文本，在打出正確的文字之前平均需要輸入的字母數量也要 3.4×（10 的 183946 次方），或者包括標點符號，4.4×（ 10 的 360783 次方）。

 

即使可觀測宇宙中充滿了猴子一直不停地打字，能夠打出一部哈姆雷特的概率仍然少於

無限長的字符串

以下兩種情況可以擴展到所有的字符串：

1. 給定一個無限長的字符串，其中的每一個字符都是隨機產生的，那麼任意有限的字符串都會作為一個子字符串出現在其中（事實上要出現無限多次）。

2. 給定一個序列，其中有無限多個無限長的字符串，其中每一個字符串中的每一個字符都是隨機產生的，那麼任意有限的字符串都會出現在其中某些字符串的開頭（事實上是無限多個字符串的開頭）。

對於第二個定理，設 Ek 某給定字符串出現在第 k 個字符串開頭的事件。有固定的且不為零的概率 p 是這個事件發生，而且 Ek 是獨立的，所以：

如果你仔細看完以上證明就會發現，論證看起來複雜，其實非常簡單粗暴。這麼玄幻的定理為什麼能稱得上是數學史上的裡程碑呢？

物理學家愛丁頓說過：「組成一支猴子大軍隨意撥弄鍵盤，是可能把大英博物館的所有藏書再復刻一遍的；這件事情發生的概率，遠遠高於容器內所有氣體分子在一瞬間通通湧入其中一半空間的可能性。」

只可惜現實中，猴子打出一篇像樣的文章的機率幾乎是零，因為科學家經過反覆試驗後發現，猴子在使用鍵盤時通常會連按某一個鍵或拍擊鍵盤，最終打出的文字不可能成為一個完整的句子。由於英語字母有 26 個，加上字符等更是不止 30 個。因此，猴子輸出的字符幾乎全部是廢話，只能在浩如煙海的字母中，找到少許有意義的片段。

 這個定理本身在現實生活中是不可能重現的，但這並沒有阻止某些人的嘗試：2003 年，一家英國動物園的科學家們「試驗」了無限猴子定理，他們把一臺電腦和一個鍵盤放進靈長類園區。可惜的是，猴子們並沒有打出什麼十四行詩。根據研究者，它們只打出了 5 頁幾乎完全是字母"S"的紙。

  

「你不知道的數學」為什麼數學沒有諾貝爾獎

據說諾貝爾有一個比他小13歲的維也納女友叫Sophie Hess，後來女友和一位數學家私奔了，

這事讓諾貝爾耿耿於懷，另外他十分討厭一個名叫米泰萊弗勒的數學家，米泰萊弗勒是19世紀末20世紀初瑞典一位很有影響的數學家，諾貝爾與他水火不容，當諾貝爾決心把自己的遺產拿出來設立諾貝爾獎時，心裡突然想起了米泰萊弗勒，要是設置了數學獎項，第一個獲獎者一定會是米泰萊弗勒，他心想絕不能把自己辛辛苦苦設立的獎頒給那個傢伙，諾貝爾這麼一想，氣就不打一處來，於是就把數學獎從整個諾貝爾獎的獎項中刪去了.