當三角函數遇上單位圓:原來可以這麼直觀!

2021-03-01 VOA數學


三角函數

原來可以這麼直觀


單位圓(Unit circle)是指坐標為原點, 半徑為長度為 1 的圓. 單位圓對於三角函數和複數的坐標化表示有著重要意義. 如果給定一個角度  則為逆時針轉動, 比如轉到單位圓上的點 .


▌角度與弧度
在三角學中, 角度除了可以用度(°)來表示, 為了方便起見, 常使以弧度(Radian)為單位, 通常不寫出弧度單位, 或就簡寫為 rad. 單位弧度定義為圓弧長度等於半徑時的圓心角. (下圖自維基)


一個完整的圓的弧度是2π. 下面是單位圓圓周滾動一周  的動畫(下圖自維基):


弧度和度數之間的轉換有下面等式:

也請觀察下面動畫:



下面圖中是在度和弧度之間轉換的動畫, 注意  角均用弧度制和角度制表示.  角所對應的單位圓上的點的坐標為 .



在微積分和大多數數學科目中, 角度通常用弧度來衡量. 因為弧度單位會帶來很多計算上的簡便, 以及可以推導出很多漂亮的等式. (推薦閱讀《角的疑惑——為什麼使用弧度？》).



▌擁有不同長度的單位圓

數學家也用其他距離測量來定義更一般化的"單位圓", 關於這個有趣的話題請觀看 [遇見數學] 翻譯小組的這個視頻《當 π 不等於 3.14》.




▌單位圓與三角函數
三角函數可以由單位圓來定義. 如果點  位於單位圓上, 那麼斜邊的長度即為單位圓半徑 1. 根據勾股定理, 和  滿足等式:

又因為 , , 得到下面恆等式:

單位圓上一點到  軸的距離是這個角的正弦  , 到  軸的距離則是這個角的餘弦 cosine(  ). 觀察下圖很好地解釋了正弦和餘弦是怎麼回事.


不僅是正弦與餘弦, 其餘四個標準三角函數: 正切(), 餘切(), 正割(), 餘割() 都可以在單位圓表示出來.
一個角的正切 tangent() 是  除以  , 餘切 cotangent ( )則是  除以 sin.

而對  和  在單位圓上有一種漂亮的幾何解釋, 如果過  角單位圓上的點, 畫出圓的切線, 那麼切線和  軸交點之間的距離, 就是這個角度的  , 這個點與切線和  軸的交點的距離, 就是這個角度的 . 這種解釋能讓人直觀感受這兩個值的意義. 觀察下面動圖, 看看餘切何時變小, 正切何時變大.



類似地, 正割 secant() 的定義是 , 而餘割 cosecant ()的定義是 , . 在可以根據下圖所示的兩個相似三角形來證明(感興趣的可以動手做下).



並且  和  也有類似的幾何解釋, 當切線與  軸的交點到原點的距離就是這個角度的  , 而切線與  軸的交點到原點的距離則是這個角度的 .


還有一點值得注意的地方, ,  和  對應線段的長度都與  軸有關係.




而 ,  和  對應的線段長度都與  軸有關係, 這裡不再重複繪製. 我們只將這  個三角函數它們一併繪製出來.




▌複平面上的單位圓
複平面上的單位圓, 也就是複數  的形式:

 函數又稱純虛數指數函數, 是複變函數的一種, 和三角函數類似，其可以使用正弦、餘弦函數來定義.
觀察下圖不同的  值對應的 , 請留意動畫停頓之處(特別是在複平面中等於  的地方).

對於不在單位圓上的點, 你只需乘以  , 也就是如果  和  為相同的點, 則 
從上圖中可以得知  關於  是周期的, 且周期為  . 這意味著  .

*本文轉自公眾號【遇見數學】，ID:meetmath

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