曹則賢（中國科學院物理研究所）
Commute, permute, interchange, exchange都是與交換有關的重要數學物理概念。實數的加法、乘法也強調交換律，interchanging全同粒子變量得到的能量積分成了exchangeterm，隨處可見的交換作用機制，其背後皆有深意。
1 引子
Wiki 關於Lie Algebra 的詞條，讓人忍俊不禁。其開頭一句是這樣寫的：「In mathematics，Lie algebras (/'liː/，not/'laɪ/) are algebraic structures…(在數學中, 李代數是指這樣的代數結構……)」，注意看括號裡的音標多麼奇怪，這是提醒讀者別把北歐的Lie(李)姓當成英文給讀成「辣姨」了。且不說把所有看似英文字母寫成的字都當成英文是否合適，就是英文本身，其不靠譜就由來有之，不可不察。初學英文者常常對lie，light 的兩個不搭邊的意思感到迷惑不解。其實，lie 作為撒謊的意思來自德語的lügen，作為躺著、放置的意思來自德語的legen；light 作為光的意思來自德語的Licht，作為輕的、容易的意思來自德語的leicht。因為看起來差不多，引進過程中就給弄混了。這種語言變遷路徑，想來真讓人無語。英語這種不太精緻的語言後來成了世界的主導性語言，當然是借著熱力學帶來的船堅炮利，凸顯了粗暴才是硬道理的道理。英語如今是物理學的主要載體，理解、傳播物理時，尤其是如果依據的是英語翻譯成的漢語文本時，注意對一些字詞仔細加以辨析，還是非常必要的。
古希臘人早就有了萬物皆流(Πάντα ῥεῖ)的思想，這告訴我們這個宇宙的主題就是變化，因此自然科學的主題也必定是各種變化。變化的問題當然千變萬化，而各種語言可能會為不同的變化準備了不同的表達變化的詞彙。漢譯西語文獻中各種表達變化的詞彙該是怎樣的挑戰，當我對這個問題略加思考的時候就被嚇了一跳。變化出現的語境以及偽裝的形式太多了，而翻譯的時候我們似乎未對相關問題給予足夠的重視。比如，transformation,詞幹是拉丁語動詞formare, 雖然也有地方將之翻譯成變形(變型)，但是在數學物理中一般還是將之翻譯成變換。我覺得，如果我們是從trans+formare 來理解transformation所代表的數學變換的意思的話，我們可能早就會在潛意識裡植入代數與幾何統一的思想，而無需有人專門再告訴我們這一點。
Change 是個表示變化的日常英文詞，由change 衍生出的動詞，如interchange 和exchange， 都被譯成交換。不過，被漢譯成交換的還包括commute, permute 等詞。這幾個詞都聯繫著非常重要的數學物理概念。說漢語自然科學文獻中不加剖分的「交換」概念四處亂飛也不為過。
2 交換律
第一個含交換的科學概念可能就是交換律。上小學的時候，算術書上說加法和乘法滿足交換律，就是1+2=2+1，2×3=3×2。俺是真不明白了，這數學定律也太簡單了吧——不是說數學家是聰明人嗎2)？等到上大學了，知道這交換律的英文是commutative law。動詞commute，來自拉丁語mutare， 就是英文的change， 比如Jacob Bernoulli 的名言eadem mutata resurgo3)中的mutata就是這個詞。所謂的commutative，就是調換一下順序，結果不變。規範一些的定義是這麼說的：A binary operation is commutative if changing the order of the operands does not change the result (一個二元運算，如果改變運算對象的順序但結果不變，則稱該運算是可交換的)。
Commutative有案可查的首次使用是在1814 年，出現在François Servois 的一篇法文文章中( 圖1)。注意，引入ommutative一詞是在談論函數而非簡單的數的性質。在原文中，作者的用詞是commutatives entre elles，即commutative between them，似乎是強調這兩個函數的本性而不是把它們聯繫在一起的那個操作的性質。儘管整數乘法可能始於遠古時代，但談論關於數的乘法要滿足commutative law，則要等到1844 年。1843 年，偉大的哈密頓(Rowan Hamilton) 引入了四元數Q=a+bi+cj+dk 來描述電磁學4)，其中的(i，j，k)是對z=a+bi 中的「i」的推廣，i2=j2=k2=ijk=－1。哈密頓把這項發現告訴了他的朋友J.T.Graves，而Graves 很快就構造出了八元數(octonion)，但是卻無法引入16 元數。好了，我們有一元數(普通的實數)，二元數(複數)，四元數，八元數，怎麼不能進一步地引入十六元數呢？哈密頓仔細考慮了這個問題，由此注意到了加法和乘法的commutative law 和associative law(結合律)的問題。結合律是說(1+2)+3=1+(2+3)，(2×3)×4=2×(3×4)。哈密頓發現一元數滿足交換律和結合律，二元數還滿足交換律與結合律，四元數滿足結合律但是不滿足交換律，因為對於四元數Q=a+bi+cj+dk，有ij=－ji。而八元數連結合律也必須放棄，即一般地不存在A·BC=AB·C=ABC這樣的關係[1]。可見，數能滿足什麼樣的性質是和其結構相關的，談論數的時候會把交換律、結合律寫入這些數所應(能)遵從的規則裡面。注意，有趣的是，是在發展更複雜結構的數的過程中眼看著結合律和交換律逐步喪失，人們5)才認識到其存在的。仔細想一想，有多少事物是在失去的時候人們才注意到其存在的呢。
圖1 1814 年的一篇法文數學論文中首次出現commutative一詞
四元數中出現的非交換(non-commutative)性質不是普遍性的AB≠BA，而是特殊的ij=－ji。這種AB=－ BA 的非交換性被稱為anti-commutative( 反交換的)。具有反交換性的操作或者操作對象有很多， 前者有矢量的外積(exterior product 或者wedge product)， 滿足
後者有Grassmann數，滿足θ1θ2 = -θ2 θ1 。由反交換性顯然有
因此像矢量外積或者Grassmann 數乘積這樣的積表示都必然是alternating的，即同一對象只出現一次。比如三矢量的外積
注意變量指標1，2，3 在右側係數的每一項中都只出現一次。Alternating或者alternative 漢譯為交錯、交替。Alternative algebra，漢譯為交錯代數，指滿足一類弱結合律的代數。八元數運算就屬於交錯代數， 乘法滿足A(BB) =(AB)B，A(AB) =(AA)B。下文我們會看到，alternative 也是理解exchange interaction的關鍵。
3 對易與變換
在物理文獻中commutate 被譯成對易， 表述非對易性除了用non-commutative 外還有non-commuting。對易性和共軛(conjugation)有關，若存在對易關係pq=qp，顯然有p=qpq－1，這後者就是群論中提及的共軛關係。共軛和對易性在物理學中都佔據著舉足輕重的地位，弄懂這些概念會讓學習物理學多一點從容。
可交換的(對易的)與不可交換的(非對易的)操作或對象在自然界中應該都是很普遍的。早晨要起床時先睜左眼然後睜右眼與先睜右眼然後睜左眼，效果都一樣；評論人時說「長成這樣還穿成那樣」與「長成那樣還穿成這樣」，估計意思也差不多。這是可交換的事例。但是，起床後先穿襪子後穿鞋還是先穿鞋後穿襪子，或者救助飢餓者時先給稀飯後給饅頭還是先給饅頭後給稀飯，效果就大相逕庭。這是非對易的事例。筆者開始修習量子力學時總覺得書本中有強調非對易性是多麼不同尋常的印象，應該是知識準備不足造成的。當然，非對易性應該比可交換性包容更多的內涵， 量子力學強調非對易算符(non-commuting operators)或者算符的非對易性屬於應有之意。若兩個對象A，B，根據某種定義的乘法，是非對易的，即AB≠BA，那麼這個代數，或者針對這個代數我們能編的物理故事，應該藏在AB－BA中。AB－BA，也寫成[A，B]，英文名為commutator， 漢譯對易子或交換子。由算符的非對易性，量子力學敷演出了很多故事，如從[x,p] = iℏ得出了不確定性原理，並進一步地被編排為「量子力學原理表明不可能同時精確地測量一個粒子的動能和位置」，好像經典力學裡就能「同時、精確地測量一個粒子的動能和位置」似的。為什麼算符乘積對波函數的作用就等價於對一個量子系統接連進行的兩次測量？恐怕事情沒有這麼簡單。物理世界的真實規則，哪裡是物理學家隨口一說就能給定了的？注意，對易子(commutator)[A，B]=AB－BA是為了衡量一對非對易算符偏離對易有多遠，類似地可定義反對易子(anticommutator)， {A， B} =AB +BA，來衡量對反對易關係的偏離。Grassmann 數是對反對易算符的經典類比。
在前述三矢量的外積表示中，六個係數項裡的下標都是1，2，3的某種置換(permutation，有時也寫為cyclic permutation)。Permutation,per + mute, 意思是to change thoroughly(全變一遍)。對於組合(1，2，3)，如果對所有位置上的數字都變一遍，結果為(2，3，1)，(3，1，2)，(1，3，2)，(2，1，3)和(3，2，1)，即三對象的permutation 共有六種可能。顯然，permutation 滿足群的所有定義， 所以有permutationgroup( 置換群) 的概念。置換(permute)與對易/交換(commute) 同源，且兩者常常出現在一起，比如角動量的對易關係，
其中的Levi-Civita 符號εijk 就涉及i，j，k的permutation。
4 交換作用
交換作用在物理學中是一個至關重要的概念，不過它涉及兩個英文詞：interchange 和exchange。英語動詞change，來自法語的changer，本來就有換、交換的意思，如changer la place avec qqn( 和某人換個座)。所謂的interchange 和exchange，前者的前綴為inter(內)，後者的前綴為ex( 外， 朝外)， 兩者的英文用法本來就有些含混，漢語乾脆都給翻譯成了交換。於是， 在漢語物理文獻中交換滿天飛，至於怎麼個交換法則不甚了了。
先說interchange，其意思之一是換位。在interchange station(換乘站) 等日常詞語中就是這個意思。前述的加法、乘法交換律涉及的就是運算對象的互換(interchange)。所謂的permutation 可看成是多次interchange對象位置的結果。定義帶方向的面積為A(u，w) = u ∧ w ，則有A(u，w) = -A(w，u) ，因為矢量u 和w 角色互換導致平行四邊形的取向反轉(since interchanging the roles of u and w reverses the orientation of the parallelogram)。
Exchange，我總覺得涉及一個以上的外在對象，且外在對象或許才是主體。She exchanged a few sentences with the man，就涉及一個女人一個男人和幾句話。「投之以桃、報之以李」，除了兩個人之外，還有桃李。「我那麼卑微，我願意拿看到世界上頭號美女(這等好事)去交換一睹您的芳姿(I am so low that I would exchange the greatest sight of beauty in the world for the sight of your figure…)」[2], 這是文學裡的exchange。「如同參與電磁相互作用的粒子交換光子，參與強相互作用的粒子交換膠子。交換膠子導致夸克的色而不是味發生改變(Particles that interact through the strong force exchange gluons， much as particles involved in electromagnetic interactions exchange photons. Quark color，but not flavor，is changed by the exchange of gluons.)」，這是科學文獻裡的exchange。
用中文修習物理者可能耳朵裡裝滿了交換作用、交換能、交換積分等概念，估計不會注意到「交換(interchange) 兩個粒子位置」 與「交換積分(exchange integral)」裡交換對應的是不同英文詞。交換作用是一個從量子力學習題進而走入原子核物理和固體物理( 尤其是磁學)的重要概念，弄清這個思想過程中interchange 和exchange 的正確用法可能有助於把握背後的物理圖像。
在量子力學中，由單粒子的波函數φ 和ψ 構造兩體波函數時常採用φ ⊗ ψ + ψ ⊗ φ 與φ ⊗ ψ - ψ ⊗ φ這兩種形式。為什麼呢？因為互換(interchange)兩全同粒子7)坐標的操作P，其本徵值為+1 和－1(也可從置換群S2的表示的角度看待這個問題)。不可區分的粒子(對)的波函數應該是交換算符的本徵態。
由單粒子波函數出發，考慮到波函數的交換(interchange)對稱性去構造兩粒子的波函數，然後去計算體系的能量，其中有一項被稱為交換積分(exchange integral) Jex ( 細節略)。這個交換積分或者交換能的效應， Heisenberg[3] 和Dirac[4] 在1926年都注意到了。交換作用是量子力學效應，費米子和玻色子都有交換作用。交換作用可用來解釋鐵磁性和物質的體積。在Heisenberg 的鐵磁模型中， 儘管那個交換項(exchange term) 來自電子的軌道角動量，但是被看做是兩自旋之間的相互作用。這個作用項是個等價的概念，它比自旋之間的磁相互作用大得多。
細心的讀者會注意到，分明是interchange 波函數裡的位置或自旋變量得來的積分項為什麼會被稱為exchange term (integral，interaction)呢？筆者一直對這個問題感到困惑。仔細比較一些文獻，發現乾脆糊塗應付的也大有人在。比如這一段：「When there are two electrons，the wave function for which the sum of the two spins equals 1 does not change its value when the spin variables of the electrons are exchanged。The wave function for which the sum becomes 0 changes sign when the spin variables are interchanged」[5]，前一句說兩電子的自旋變量exchanged，後一句則用了interchanged。再看Wiki 的exchange interaction 詞條， 它寫到：「This means that the overall wave function of a system must be antisymmetric
when two electrons are exchanged，i.e. interchanged with respect to both spatial and spin coordinates( 若兩個電子的空間和自旋坐標被interchanged了， 即兩個電子are exchanged了……)」。這既不科學也不英語啊！
如果光是看Heisenberg 處理鐵磁性問題的工作，是不太好理解為什麼interchange the spin variables 得到的卻是exchange term。在相關的問題中，是否真有什麼被exchange了呢？讓我們考察量子力學處理氫分子離子H+2 的情形。把H+2 當成兩個固定的質子加一個電子的體系，在考慮到交換(interchange)質子位置時電子波函數應該表現的性質而得到的能量表示中，多出了一個交換(exchange)能量項Jex。在這個問題中可設想如下物理圖像： H+2 可以被看成是兩個質子在不斷交換(exchange)電子(shuttling of the electron)：在兩個質子的位置上交替地(alternatively)出現中性的氫原子構型。與此同時，兩端粒子的統計也在費米統計和玻色統計之間交替[5]。某個性質的交替才是交換作用的本質(This alternation is the essence of the exchange force)。當然，如果僅僅只是如同在H+2 中把那個本就知道其存在的電子當作兩個質子取悅對方互贈的桃李， 也看不出exchange interaction有什麼特殊價值來。
大家的水平總是超出常人的想像力。1932 年6 月，Heisenberg 向Zeitschrift für Physik 雜誌提交了他的原子核理論。此篇文章包含了原子核由質子和中子組成的思想，且提出中子—質子之間的作用力是exchange force 的概念；為了描述這個交換力，需要引入同位旋(isospin)的概念。注意到原子核的結合能與原子核質量數A 近似成正比，Heisenberg 由此推論核力必須是一種exchange force，因為如果是兩體勢的話，結合能應該與A2近似成正比。那麼，中子—質子之間交換什麼了呢？交換一個電子?不可能！質子和中子都是費米子，交換電子會造成兩端統計的alternation。Heisenberg 提議中子—質子之間交換的是玻色電子，後來又用電子—中微子對代替。進一步研究發現，如果核子之間交換的是電子—中微子對，又不足以解釋交換力之強，這個建議也被否決了。1934 年，湯川秀樹假設質子—中子交換的是約100 倍電子質量的介子。1936 年，第一個介子，μ-介子，被發現。強相互作用作為一種exchange interaction以及中介強相互作用之介子(meson)(圖2)的確立，將物理學推向一個更微妙的世界。Exchange interaction 被推廣到描述質子、中子內部夸克之間的相互作用，作為中介的膠子乾脆就被稱為exchange particle( 用來交換的粒子)。這個exchange interaction 概念的確立又反過來改進我們對電磁相互作用的認識。
圖2 兩個質子之間交換π-介子
Exchange interaction 後來被用到各種語境中。固體物理中一個著名的交換作用機制是所謂的KKY(Ruderman—Kittel—Kasuya—Yosida的縮寫)作用， 最早在上世紀五十年代被引入用來描述核磁矩8)藉助與傳導電子之間的相互作用所達成的一種耦合機制，後來被用於描述局域d-或者f 殼層的電子自旋之間通過傳導電子發生的耦合。這裡的exchange 不是說核自旋或者內層電子(localized)之間交換了那個傳導電子，而是說涉及的中間過程都是Heisenberg 意義下的交換作用(exchange interaction，由interchange 粒子變量而來的量子力學效應)。RKKY理論是二階微擾，要計算的是兩核自旋或者兩內層電子之間的關聯能(correlation energy)。RKKY理論一個最重要的結果是巨磁阻現象，它預言在由非磁性夾層分隔開的磁性材料薄層會隨夾層的厚度表現出鐵磁性—反鐵磁性之間的振蕩。
5 結語
囉嗦這麼多，到底為何interchange variables 得到的能量積分要被稱為exchange term 也還是沒說清楚。在Heisenberg 1926年的論文中[3]，只有tauschen (change) 和Vertauschung(interchange) 的字樣。Exchange energy， exchange term 這個概念是在哪裡第一次出現的，還有待考證。
文章結尾，比較一下中英德法關於交換的詞彙或許是有益的。中文就是交換而已。英文的interchange和exchange 雖然可以硬加以區別，但有時也可能混用，如在to interchange ideas 和to exchange somesentences 中就看不出兩者有什麼區別。有趣的是，如果查字典的話，英文的interchange 和exchange 在法語裡都是échanger。法語的量子力學課本裡會說「L』 interaction d』échange est le résultat de la symétrie d'échange(交換作用是全同粒子之間存在交換對稱性的結果)」，跟中文一樣含混。我手頭的法語字典裡就沒有interchanger 這個動詞，雖然有名詞interchangeabilité( 可互換性)。德語文獻大概不太會混淆：交換作用(Die ustauschwechselwirkung9))或者交換能(Austauschenergie)是因為全同粒子交換位置(ihre Plätze zu vertauschen) 而多出的能量項。交換能涉及的動詞是austauschen，而交換位置用的是動詞vertauschen，德國人習慣這種構詞法所帶來的細微差別。我覺得，這種文字表述上的差別應該會在相關國家造成物理文化的差別。為了明確交換作用相關的物理圖像，愚以為中文若是表述為「交換能是由全同粒子互換對稱性所帶來的量子效應」，也許能夠對讀者多一點提醒。當然了，糾纏於這些文字細節未見得就有助於對問題的深入理解。南嶽懷讓禪師所謂的「說似一物即不中」，實在地道出了物理學，尤其是量子物理，所遭遇的文字困境，也指明了「了悟」的境界該是什麼樣的。學物理者，弄清物理圖像才是正經。
參考文獻
[1] Conway J H，Smith D A. On Quaternions and Octonions：Their Geometry，Arithmetic，
and Symmetry. Massachusetts：A. K. Peters，2003
[2] Rand A. Atlas Shrugged. Random House，1957. p.194
[3] HeisenbergW. Zeitschrift für Physik，1926，38(6-7)：411
[4] Dirac P A M. On the Theory of Quantum Mechanics. Proceedings of the Royal Society of London，A，1926，112：661
[5] Tomonaga Sin-itiro. The Story of Spin. The University of Chicago Press，1997
本文選自《物理》2014年第7期
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