作者：曹則賢 (中國科學院物理研究所)
君子引而不發，躍如也。
——《孟子·盡心上》
In the beginning, God said that the four dimensional divergence of an antisymmetric second rank tensor equals zero and there was light.
——Michio Kaku1)
上世紀八十年代在中學、大學學物理那會兒，筆者遇到的一個特別有挫折感的問題是滑輪的受力問題。一根繩子搭在滑輪上，繩子一端掛個重物，受重力 F 向下，重物還受上邊繩子給的一個張力 T(很久以後我知道了 T 是 tension 的首字母)。這張力 T可怪異了，在繩子的任一點上都有，還一對一對的方向相反。而且吧，有的書上會讓計算滑輪如果有摩擦時，滑輪兩端張力T1和 T2 (方向都畫的是順著繩子向外)之間的關係，答案是 T2 = T1eμθ ，其中θ是繩子在滑輪上的纏繞角度。2) 我就納悶了，這繩子上的張力是個咋回事呢，它咋一對一對的方向相反跟歪曲版的牛頓第三定律描述的情形似的？人家重力就不這樣！這納悶兒，因為我在我能有的書裡找不到，又因為怕顯得自己蠢也不敢問老師，就一直憋在我心裡。張力，唉，張力。
初等物理裡面有很多令人困惑處。先說壓力，不，壓強，吧。用手按壓一個有些剛性的表面，比如木桌面，能看到按壓的效果，手也會有費力、不能隨心所欲的感覺。壓 力 ， 或 者 壓 強 ， pressure( 德 語Druck，法語 pression)，就是來自動詞 press(drücken，presser)的抽象名詞，英法語的詞源都是拉丁語的premere，to press。壓強的量綱是單位體積的能量，這在熱力學主方程dU=TdS－pdV+…中明顯可見，或單位面積上的受力。壓強的國際單位為 Pascal(漢譯帕斯卡)，符號為Pa，源自研究大氣壓的法國哲學家Blaise Pascal。 標 準 大 氣 壓 就 是101325 Pa。物理上的壓力不是力，但我們日常生活中會把壓力、壓強混著說，西語科學文獻也有這種混淆，不足為奇。但今天，尤其是明白了物理學無須力的概念之後，壓力、壓強應該不會再帶給我們困擾了。
初等物理課本裡常會有這樣的描述，對桌面施加一個壓力 F(確實指的是力)，受力面積為 S，則壓強為 F/S，好麻利、好簡單的物理，當年我也以為我學得會。我們會看到，事情比這個要複雜。面積是個有方向的量，力也是有方向的量，那除法 F/S 得到的壓強有什麼樣的性質呢？沒有方向？你用手按壓一個光滑的剛性球，或者按壓一塊豆腐，估計會注意到一些讓你深思的現象，下面我們會詳細討論。若是兩手緊握一個物體，那是 compress，to press together，壓縮的意思(動詞精簡，名詞止血繃帶、打包機，都是其引申義)。 一個物體如果被compressed，它的體積會減小，即物質有可壓縮性 (compressibility)。如果處理流體問題時，可不考慮其受力狀態下的體積變化，則稱其為不可壓縮流體，incompressible fluid。衡量物體compressibility的物理量既可以稱為 compressibility，也可以進一步具體一點稱為 the coefficient ofcompressibility(壓縮率)。壓縮率的定義為 β = - 1/V·∂V/∂p 。對於描述物質的抗壓能力，人們還是習慣用壓縮率的倒數，稱為體彈性模量(bulk modulus)。
提到彈性，就會想到彈 簧(spring)3)上掛一質量m的體系。將彈簧拉長一段長度，放鬆，若彈簧能恢復其原狀，它就是彈性的。彈簧振動的物理，從簡單的胡克定律 F=－kx，到簡諧振動及其能量二次型 E = 1/2 mẋ2 + 1/2 kx2 ，到量子化的 諧 振 子 模 型 H = (â+â + 1/2)ℏω ，[â，â+] = 1，再到以其為基礎的量子場論，據說這足已構成物理 75%的內容了。我納悶的是關於彈簧的行為。彈簧就算能回復原狀，它在平衡狀態兩側的行為也不一樣。一根金屬絲，微小拉伸和微小壓縮，就算是彈性近似，應該也是不一樣的。
一個物體被拉、壓、擰，外觀上會變形(deformed)，內裡面也會非常擰巴、不自在(strained)。這就引入了兩個非常重要的關於材料的概念， strain 和 stress。 Strain 作為動詞，來自拉丁語動詞 stringere，拉緊、絞擰的意思，比如to strain everynerve(繃緊每一根神經)。Stress作為動 詞 來 自 strictiare， 其 形 容 詞 為strictus， 但 strictus 就 是 來 自 動 詞stringere，也是緊繃的意思。動詞strictiare 應該有施壓的意思，可參校由其而來的名詞 constriction 來理解，見於 a constriction in the chest(胸部壓迫感)。Stress作為一般英文動詞，有加作用力、強調的意思。Stress 和 strain 在材料力學、連續介質力學(continuum mechanics)中分別被譯為應力和應變(形變)，形變是無量綱量，應力和壓強的量綱相同，且它們之間有千絲萬縷的關係。考慮一個三維物體，其中的應力是由一個 3×3 的對稱矩陣表示的，被稱為 Cauchy stress tensor(柯西應力張量)，
最後一種表述中另引入了字母 τij ，是強調非對角項是剪切應力(shear stress)。在靜水壓情形下， σij = pδij 。應力和壓強的關係由此可見一斑。
一個物體被 strained 了，各處都會錯位，描述這錯位的物理量叫strain。定義如下：考察任一點 x=(x1，x2，x3) ，位移到 x+ u ，則 εij =1/2 (∂ui/∂xj+∂uj/∂xi)即 是 strain tensor，wij =1/2(∂ui/∂xj-∂uj/∂xi)是 rotation tensor。應力張量和應變張量之間的關係由廣義胡克定律給出， σij = -Cijklεkl 或者 εij = -Sijklσkl ，其中 Cijkl 是 elastic constant，elastic stiffness，彈性剛度(勁度)， Sijkl 是elastic compliance tensor(柔度、順度)4)。以後我們會看到，剛度張量和順度張量的當前寫法是不太恰當的，它們都是(2，2)-type 的張量。Strain 和 stress 之間的關係，是一個共軛的關係。常見有apply a stress(施加一個應力)的說法，恐不易實現。恰當的說法也許應該是subject to an action or external stimulus(置之於一個作用或者外部刺激)。三維情形下應力—形變關係不好理解，那看一維情形下拉伸一個物體(tensile test)所獲得的普適性的應力—應變關係：開始時應力和應變成正比，將載荷去除後材料會恢復到原來狀態；當形變超過一定程度，材料不再能恢復原狀，這時對 應 的 應 力 為 屈 服 應 力 (yield stress)；過了這個點材料進入塑性狀態，應力在隨形變增加而增加到 一 個 最 大 值 (ultimate tensile strength，極限強度)後會變小；材料形變再繼續增大到某個值時就會發生斷裂，斷裂時材料的應力為 rupture stress(斷裂應力)，見圖1。
圖1 延展性材料的普適應變—應力關係
補充一句。Strain 有用盡某種資源的意思，a strain on the imagination，那是耗盡了想像力。此外，strain 可能還可表示緊繃狀態的後果，故 muscle strain 是肌肉緊張，也可譯為肌肉勞損。筋肉勞損加繼發性感染炎症，這大概是網球肘一類疾 病 的 機 理 了 。 Strained state，難免會遭遇放鬆過程。放鬆過程，relaxation process，物理學給譯成了弛豫過程。弛豫過程是動力學的過程，涉及一大類物理現象，對它的研究也是物理學的一個重點。此處不論。一個strained體系，讓其放鬆後，一般不會恢復到整體均勻、平衡狀態。一個經歷過 straining 過程的塑料板，弛豫後也會留下損傷或者不均性，會在某個物理性質上，比如對光的散射，表現出來(圖2)。
圖 2 一塊抻過或者扭過的塑料板表現出光學性質的不均勻
拉伸，英文為 to stretch，從對應的拉丁語動詞 tendere，引申出了一批科學概念，其中一些甚至是數學和物理學靈魂級的概念。法語是拉丁語系的語言，tendere 以動詞tendre 的形式出現，如 tendre un arc(拉一張弓)，tendre le esprit(打起精神)，等。動詞的過去分詞作形容詞，有style tendue(僵硬、不自然的文筆)的說法。 Tendre un arc，拉弓，那難怪用 tension(英法語，張力)來描述 a tense rope(一條繃緊的繩子)的狀態了(圖3)。
圖 3 張弓
英語中 tense 作動詞和形容詞用，詞組 tense up 有繃緊、警覺的意思。Tense作為形容詞的意思是繃緊的、拉緊的、緊張的。語音學上，發音時要求舌頭和上下顎緊張的元音是 tense vowel，口腔鬆弛的是lax vowel。語法書裡還會出現另一個意思的 tense，漢譯時態。注意，此處的名詞 tense 來自拉丁語 tempus，就是時間的意思，請勿混淆。
英文中詞幹為 tendere的詞彙很多，如 pretend， before + to stretch，假裝，在人前端著；subtend，under+to stretch，撐開，見於 subtends anangle(張開一個角)，the space subtended by the eigenfunctions of aself-adjoint operator(自伴隨算符的本徵 函 數 張 成 的 空 間)； contend, tostretch together， 競 爭 ； attend, tostretch forward，注意、警覺；extend,to stretch out，延展、擴展；intend，to stretch for，打算、為……做準備，等等。Tendere的其它形容詞形式有tensile(tensible)和tensive，前者見於 tensile test(拉伸試驗)、tensileproperty， 後 者 見 於 tensive rivalry(緊張的競爭)，似乎前者更多體現的是其本義。Tensile用於stress，是tensile stress(張應力)，老年人表皮比其下的真皮面積大很多，其皮膚上積聚的應力就是張應力。與此相反，嬰幼兒表皮比真皮面積甚至會顯不足，其皮膚上積聚的應力就是compressive stress，壓應力。不管是tensile stress 還 是 compressive stress，stress 太大了就能把體系給stress out，讓體系發生變形甚至斷裂。當然，變形或者斷裂不是無規的。圖 4 是南極的方糖冰山，重力在浮在水面的積雪中造成的應力使得積雪體發生斷裂，斷裂幾乎呈二維正方格子的花樣，俗稱方糖冰山。這說明積雪在與大地垂直的二維平面內是各項同性的。巧妙、仔細地引入恰到好處的應力，可以得到自組織的圖案，這就是所謂的stress engineering(應力工程)。圖 5為通過應力工程在微米大小的核—殼體系上獲得的應力點陣，精確地再現了相應的湯姆森問題的數學解。
圖 4 南極的方糖冰山
圖 5 核—殼體系上的應力點陣與相應的湯姆森問題的數學解(李超榮、曹則賢，2005)
Intend 和 extend 的形容詞分別為 intensive 和 extensive。熱力學把其關切的物理量分成 intensive quantity(強度量)和 extensive quantity(廣延量)。設想有一個處於平衡態的體系，將之數學地分成兩個子體系 1和 2，則滿足關係 Q1+Q2=Q 的量是廣延量，而滿足關係 q1 = q2 = q 的量是強度量。熱力學中的強度量和廣延量是以成對的方式出現的，是共軛的。具體地說，在熱力學主方程dU = TdS - pdV + σdA + μidNi + E∙dP+H:dM + ⋯ 中，熵 S，體積 V，表面積 A，粒子數N，電極矩P和磁矩M 是廣延量，而相應共軛的溫度T，壓強 p，表面能σ，化學勢μ，電場強度 E 和磁場 H 則是強度量。
在描述一個 strained物體時引入了 stress tensor 的概念。Tensor，張量，可以說是物理學的一個靈魂級概念。在普通物理課上，另一個我們熟悉的張量是轉動慣量，momentof inertia，它還有一個名字叫 inertia binor，愚以為可譯成慣性二階矩，這與其字面意義和定義都符合。這個轉動慣量是個二階張量，因為它的任意一個分量都是構建在兩個基矢量上的， I = Iijei⊗ej ， Iij = ∫Ωrirjdm 。由於這個張量是對稱的，所以作為其表示的 3×3 矩陣是可對角化的，故有所謂三個慣量主軸和主轉動慣量的說法(就是線性代數語境中的本徵矢量和本徵值的具象)。
張量T關於它的所有元素都是線性的，一個張量就是一個多線性的映射(a tensor is amultilinear map)。表示張量所需的指標的數目稱為張量的階 (degree or rank)5)，標量是 0-階張量，矢量是 1-階張量，象前述的轉動慣量是2-階張量。考察一個曲線坐標系，將某點的坐標表示為xμ，臨近的一點為 xμ+dxμ；在另一個曲線坐標系下，這兩點可分別表示為 xμ'和 xμ'+dxμ'，則有 dx μ′ = ∂x μ′/∂xvdxv = x μ′,vdxv 。則若一個量在坐標變換時按照如下方式變換，
那就是一個(p，q)-張量，其中 p 是上標數目(指示逆變部分)，q是下標數目(協變部分)。對於一個矢量空間 ， 兩 個 矢 量 的 內 積 定 義 為<v，w> = gijviwj，其中的 2-階逆變張量 gij 就是著名的度規張量(metric tensor)，空間彎曲的性質都著落在它身上了。用張量的好處是，它在不同曲線坐標下形式是一樣的。若一個守恆定律的形式是一個張量表達式等於零，則在坐標變換下其形式不變，仍能被一眼認出來。與張量對應的是 nontensor。Tensor 的形容詞形式是 tensorial，關於 tensor的數學是 tensorial calculus 或者 tensor analysis(張量分析)。
電磁學有張量表示形式。電磁學的協變張量形式，依然是 Euler—Lagrangian 形式。 保持麥克斯韋波動 方 程 形 式 不 變 的 時 空 變 換 為xμ′= Λ μ′v xv，其中 Λαβ 就是洛倫茲變換張量，是個(1，1)-張量。把相對論從電磁學推廣到能包括引力，最後會著落到一個二階協變張量形式的方程上，主角是那個度規張量和(電磁學已有的)能量—動量張量 Tμv上。1915年底，愛因斯坦得到了如下形式的引力場方程
其中， Rμv 是可由度規張量 gμv 導出的裡奇曲率張量，描述空間的彎曲。這個方程告訴我們能量—動量張量決定空間如何彎曲。引力場中的測地線方程為 dvσ/ds + Γσμvvμvv = 0 ，這個方程告訴我們粒子在彎曲的引力場中如何自由下落。有趣的是，這個方程中的量Γσμv，第二類 Christoffel symbol，是個 nontensor。經典電磁學和它的協變形式，才是狹義、廣義相對論的基礎！
仔細地回顧了 stress—strain 關係，tension的概念，以及如何藉助張量的概念從協變的經典電磁學形式走到廣義相對論，似乎正應了筆者的一個觀點，量子力學和相對論之所以難學，那只是因為我們沒學會經典物理的緣故。
1) 加來道雄：「起初，上帝說反對稱二階張量的四維散度為零，於是就有了光。」不明白？學學協變形式的電磁學，一切都會明亮起來的，連廣義相對論也算上。
2) 懂了這一題，那麼只要見到一根樁子，你就能勒住一頭牛。
3) Spring，來自德語動詞spingen，突然冒出來、跳躍。Plants begin to spring from the seeds，植物從種子中萌發，所以在英語中 spring作名詞還是春天的意思。不過，德語的春天是 Frühling，對應中文早春二月的「早」字。
4) 偏偏用S代表compliance，用C代表stiffness，奇了怪了。
5) 關於張量的order or degree or rank or type or valence，西文文獻也是很亂的。