往而不來，非禮也；來而不往，亦非禮也。
——《禮記·曲禮上》
光亮是黑暗的驅逐者，陰影是光線的阻礙者。
——達文西
凡是涉及實在的數學定律都是不確定的，凡是確定的定律都不涉及實在。
——愛因斯坦
日常生活中常見的詞才是數學物理中最基本的概念，比如，波和流。另一個常見的詞是reciprocity，這個詞及其變形reciprocal，reciprocating，reciprocative， reciprocate, reciprocation， reciprocalness，reciprocality 等充斥數學、物理以及其它各種文化語境。Principle of reciprocity 我願意說它甚至是一條大自然遵循的基本原則——至少在我們構造的物理學中顯得好象是這樣的。各種reciprocal relations 彰顯了it is a symmetry over symmetry ——一種對稱性之上的對稱性。
Reciprocal 一詞來自拉丁語reciprocus，動詞形式為reciprocare。其詞幹為reco-prokos， 本意就是backwards and forwards，漢語的有來有往、互反(返)、互逆、往復等詞彙大概能傳達其意思，常見表述如reciprocal respect(互相尊重，法語為réciprocité du respect)， a reciprocity treaty (互惠條約)都可以這樣理解。在進化生物學中，有reciprocal altruism (互返的利他主義)的概念，一個生命體會為了對方的好處肯犧牲自己，期待它時能從對方再得到補償(圖1)，這與狼狽為奸還是有區別的。在英文語法中， each other 傳統上被稱為reciprocal pronoun(互反介詞)。一般用法中，reciprocal強調的是一種相互依賴關係或者相互影響，比如「Minkowski and Hilbert would exercise a reciprocal influence over each other(閔可夫斯基和希爾伯特各自都影響了對方)」；少數時候reciprocal 強調的是一種反過來的情形， 如「He did prove indeed that wave mechanics is contained in matrix mechanics， but not the reciprocal(他(薛丁格)證明了波動力學存在於矩陣力學中，而不是反過來的情形)」，或者就是倒逆關係， 如「Mach points out that the Third Law really amounts to a definition of mass. Mass comes out as『reciprocal acceleratability』(馬赫指出第三定律等同於質量的定義。由其得到的質量是可加速性的倒數)」。
圖1 Reciprocal altruism，一種聰明而心酸的生存智慧
Reciprocal 有時也就是opposite 的意思，如「Wheeler’s theory proposes a connection between the inner realm of consciousness (mind) and its reciprocal， the external world of the senses (Universe)。(惠勒的理論提議了一種在意識的內在王國(思維)與其對立面，即感覺的外在世界(宇宙)，之間的聯繫)」。動詞reciprocate較少見，大意為返還、回報的意思，如「His feeling was never reciprocated.」 Reciprocal (reciprocity)，法語為réciproque(réciprocité)，德語為reziprok (Reziprozität)，用法相同。
文學表達會採用一些結構定式。比如「卑鄙是卑鄙者的通行證，高尚是高尚者的墓志銘(北島《回答》)」——這種定式中，一對反義詞各自平行展開。如果將一對反義詞各自映射到對方，這樣的定式，就是reciprocal 表達方式，請原諒我不知道它的語法或者修辭學命名。這樣的句子俯拾皆是，比如「豬是否快樂得象人，我們不知道；但是人會容易滿足得象豬，我們是常看見的。—— 錢鍾書《論快樂》」，「宇宙內事即己分內事，己分內事即宇宙內事——(陸九淵)」。有些現象就是有這樣的倒易關係：有一種豆，在荷蘭叫中國豆，在中國則叫荷蘭豆；河邊會飛過幾隻海鷗，海邊也會飛過幾隻河鷗。中國的詩詞中也常見這種reciprocal 關係的句子，如[[宋]盧梅坡《雪梅》中的「梅須遜雪三分白，雪卻輸梅一段香」，[元]劉時中《山坡羊·侍牧庵先生西湖夜飲》中的「碧天夜涼秋月冷。天，湖外影；湖，天上景」，不一而足。
西方語文也深諳此道。A cat at its best is a young girl；a young girl at her best is a cat (貓兒可愛至極點就是少女，少女可愛到極點就是只貓兒)，這是日常表述中的俏皮。至於奧維德(Publius Ovidius Naso) 的「逃避追逐我者，追逐逃避我者」，卡薩諾瓦(Giacomo Casanova)的「我反覆發現我的個性中鮮有智慧，智慧中鮮有個性(…with too little intelligence for my character and too little character for my intelligence)」，尼採(Friedrich Nietzsche) 的「 健康作為疾病的值判斷，疾病作為健康的值判斷」和「對思想家來說太安分的生存，對生存者是太瘋狂的思想」，布考斯基(Charles Bukowski)的「這個世界的最大問題就是愚蠢的人總對自己的想法抱有自信而聰明人總是滿懷疑慮」，顯然智者們也把這reciprocal 表述當作一種有效的智慧釋放方式。筆者印象最深的是拉丁語的「Vomunt ut edant, edunt ut vomant(吐了吃，吃了吐)」(圖2)，這俏皮又智慧的表達似乎能激起人們對古羅馬荒淫生活的厭惡。簡單的六個字，勝過史書的千言萬語。
圖2 羅馬人的聚會：吐了吃，吃了吐
Reciprocal relation 也是曹雪芹安排紅樓夢情節的手法。尤氏代王熙鳳處理賈璉的姦情，結果是鮑二家的上吊自盡了。若是用reciprocal relation 的角度去看，賈珍與秦可卿之死有關，秦可卿判詞上有一幅美女上吊的插圖也就可以理解了。王熙鳳把秦可卿的喪事辦得滴水不漏，尤氏乾淨利落地處理了賈璉的姦情乃尤氏回報王熙鳳的恩情，也就是了。這些故事情節間遵循reciprocity原則的鋪排，也虧曹雪芹有這個本事。
在數學中，y=1/x is the reciprocal of x，漢語稱y=1/x 是x 的倒數。倒數的翻譯未能反映reciprocal 中「相互的」的意思，x 也是1/x 的倒數。簡單的倒數關係就可以給出很有趣的數學，比如極坐標下的倒數關係r=k/θ，其圖像被稱為雙曲螺線(hyperbolic spiral)， 其實也稱為reciprocal spiral，因為它就是阿基米德螺線，方程為r=k·θ，的逆曲線(函數互為倒數)。
Reciprocal， 愚以為和共軛有關。如果我們願意把x，y 看作是有量綱的物理量，則如果x 的量綱為L，那y 的量綱就是L-1，關係x·y=1表明x，y 是關於一個無量綱量共軛的。在群論中，有關係式gi gj=e，也可寫成gi = gj-1 ，此關係和x·y=1類似。群同時包含元素gj和gi = gj-1反映群的結構。筆者曾在不同場合強調過，力學體系是以關於作用量共軛的變量對加以組織的，而熱力學是以關於能量共軛的變量對加以組織的，這是熱力學與力學不同的地方。
對於兩項乘積，其倒數或者逆一般地為(xy)-1 = y-1x-1 。對於群元素的積有(gigj)-1 = gj-1gi-1，矩陣積有(AB)-1 = B-1A-1 ，以及相繼執行的兩個算符有(αβ)-1 = β-1α-1 ，逆關係都因為它們本質上的相同而形式上相同。
複數z 是二元數，其reciprocal比實數的倒數有更多的信息，f (z)=1/z 被稱為the reciprocal map，是處處保角的變換。對於內積空間中的矢量q 來說，the reciprocal of q 定義為q-1= q*/ |q|2 ，其中|q| 是矢量q 的模，而q* 是其對偶矢量(此處reciprocal與dual 有關)。顯然，倒數(reciprocal)的複雜性依賴於數的形式。
對於由級數定義的函數，比如黎曼zeta-函數
，
其中變量s是複數，該函數的倒數也可以表示為級數形式：
其中的μ(n) =(1， - 1，0) 為莫比烏斯函數，分別對應n 是有偶數個質數因子但不含平方數因子；有奇數個質數因子但不含平方數因子；有平方數因子這三種情形。看到有人能發現這樣的函數，實在佩服。
在實驗和物理理論使得有必要引入洛倫茲變換(屬於球幾何的內容)之前，就有關於球到球變換的變換群和球幾何的研究了，那裡就有reciprocal 的內容，比如Möbius 幾何中的transformation by reciprocal radii 和Laguerre 幾何中的transformation by reciprocal directions。這些都是Lie 球幾何的特例。Transformation(mapping) by reciprocal radii，半徑倒數變換( 映射)， 是inverse geometry 裡的對象，顯然這裡的reciprocal 會和inversion(反演)相聯繫。關於半徑為r0之圓的反演是這樣的：圓外某點P，距離圓心O為r；連線OP上有點P'，距離圓心O為r'；若r′= r02/r ，則說點P 反演到點P'(圖3)。關係r′= r02/r 寫成笛卡爾坐標， 為x′=r0x/(x2 + y2) ， y′=r0y/(x2 + y2) 。電磁學裡的鏡像法就用到了半徑倒數變換(映射)。
圖3 關於球面的半徑倒數變換，r′= r02/r
鏡像法(method of mirror image)，電磁學上會具體為鏡像電荷法(method of image charges)， 是解微分方程的一個工具，此方法中解函數的定義域被擴展了，添加了原定義域關於一個超平面的鏡像。其要求是，這樣做使得因為鏡像的存在邊界條件自動得到滿足。考慮導體球外一電荷q 所產生的電勢，假設該電荷對導體球的感應作用(球上有感應電荷)等價於某個q'(有時是某些個電荷)，要求電荷和鏡像電荷產生的電勢滿足特定的邊界條件。比如，若導體球接地， Φsphere ≡ 0 ，此時假設有一鏡像電荷q'在球內，且在電荷q 和球心連線上， r′= r02/r ，q′= -r0q/r ，就能滿足球面上Φsphere ≡ 0的條件。又，若導體球為懸浮的，Φsphere ≡ const . ，其上感應電荷應為零。由上個問題的解，再加一個在球心處的正電荷q''(加在球心可確保整體效果是球面上再加上一個對稱分布的電勢)， q″ = -q′= r0q/r ，就能滿足球面上感應電荷為零且電勢為恆定值的條件。
Reciprocal 有opposite 的意思，這在談論複數和可相抵消的物理量時會遇到。「Magnitudes which are opposed to each other in this way reciprocally cancel an equal amount in each other(這種互為對立面的特徵抵消對方同樣的量)」，這讓人想起同樣數量的兩種極性電荷間的中和以及同等數量的正反物質之間的湮滅。在談論負的物理量時，記得reciprocal一詞對於正確理解相關內容是有益的。物理量的抵消伴隨一些可逆過程， 因此reciprocity 和reversibility有關。克拉貝隆定義的卡諾循環中的可逆過程，其關鍵處是「逆過程進展reciprocally，且遵循同樣的規律；其把原過程中產生的作用給reciprocally 吸收了，且是以同樣的數值」。原過程消耗高溫熱源的熱量Q1，向低溫熱源注入熱量Q2，並做功Q1－Q2，可逆的反過程則消耗低溫熱源的熱量Q2，向高溫熱源注入熱量Q1，並要求外界做功Q1－Q2。這是對可逆過程的宏觀描述，而可逆循環中的可逆過程，其每一個微小步驟都是可逆的，是可用微分描述的。
數學中， reciprocal 或者reciprocity常指向一種互反關係，比如quadratic reciprocity( 二次互反律)。考察恆等式x2 ≡ p(mod q) ， x2 ≡q(mod p) ， p， q 是奇素數， 這裡q，p 調換了角色，此乃reciprocity的本意。二次互反律指出除了p，q都是除以4餘3的數以外，這兩個恆等式要麼同時有解要麼同時無解。二次互反律由歐拉1783 年第一次提出，高斯1796 年第一次給出正確證明。高斯一人就給出過關於二次互反律的7、8 種證明。據說二次互反律目前有200 種不同的證明，有興趣的讀者可以研究研究。類似quadratic reciprocity， 關於恆等式x3 ≡ p(mod q) ， x2 ≡ q(mod p) 解之間的關係就是cubic reciprocity(三次互反律)。
貝葉斯(Thomas Bayes，1701—1761)定理反映的也是一種互反關係。貝葉斯定理是統計中一條關於條件概率的重要定理， P(A|B) =P(B|A) · P(A)/P(B) ， 它也能寫成P(B|A) = P(A|B) · P(B)/P(A) 的形式，這兩個表述之間的reciprocity 可以說是一目了然。這兩個條件概率成立是因為P(A|B) · P(B) = P(B|A) ·P(A) = P(A，B)的原因。這裡，P(A)，是事件發生的概率， P(A，B) 是兩事件同時發生的概率， P(A|B) 是條件概率。
機械運動包括四種：rotary motion(轉動)， linear motion( 線性運動)，reciprocating motion 和oscillating motion(擺動，振蕩)。Oscillating motion 是如掛鍾鍾錘那樣從一邊到另一邊的來回擺動。Reciprocating motion，漢譯往復運動，一般是指在一條線上的來回運動但有時又不限於如此。往復運動見於reciprocating engine(往復式引擎)，其中活塞的前後運動導致了曲柄的轉動進而帶動輪子的轉動。當然了， reciprocally，轉動也可以轉化為reciprocating motion(圖4)。這個圓周運動和往復運動間的互相轉化是熱機驅動世界的基礎。第二次工業革命的基礎發電機和電動機之間也是reciprocal關係。在如下這句「At microscopic length scales and therefore at low Reynolds numbers, reciprocal motion is absent as a potential means of locomotion(在微觀尺度上，因此是在小雷諾數條件下，缺乏作為驅動方式的reciprocal motion)」 中， reciprocal motion似應譯為反衝運動。
圖4 若CP 是硬連接，C 點在圓上的轉動造成P點在水平軸上的往復運動
物理學中最重要的函數就是eiωt(所謂的振蕩)和ei(k·x-ωt) (波)了，其中k 稱為波矢，it has dimension of reciprocal length( 量綱為長度的倒數)。The space of wave vectors is called reciprocal space( 波矢所在的空間稱為倒空間)。物理學研究物理量隨時空的變化，將任意的函數f ( r，t) 作變換G( k；ω) = ∫Vdr∫0∞ f (r；t)ei2π(k·r - ωt)dt ， 得到函數G(k，ω)， ω 反映的是時間周期，所謂的波矢k 反映的是空間周期。在空間任意一點上測量波動現象，得到的只是振動信號，表現為一個時間序列(time-series)。如何從測量到的時間序列構造出遠處波源的信息，需要很多的理論、假設和計算，其可信度令人生疑。
法國人傅立葉(Joseph Fourier，1768-1830)在研究熱傳導時發現函數可以寫成三角函數無窮級數和的形式，從而引出了傅立葉分析這門數學分支。函數f(x)的傅立葉變換的形式為g(k)=∫Ω f (r)e-2πik·rdnr ，其逆變換為f (r) = ∫Ω′g(k)e2πik·rdnk ，n是空間的維度。傅立葉分析是知識的寶藏，包含太多的內容。比如，函數f (r) 的support，即不為零的區域，同函數g(k) 的support 之間存在互逆關係，這個互逆關係在物理中被演繹成了不確定性原理(uncertainty principle)，而高斯分布被拿來舉例說明不確定性原理的正確性不過是因為高斯分布具有在傅立葉變換下形式不變的性質。物理學拿著個簡單的數學內容反覆刺激自己的想像力，想來也是可憐。
如果函數f (r) 是周期性分布的狄拉克δ - 函數，這可以用來理想化對晶體中原子分布的描述，則函數g(k) 也是周期性分布的狄拉克δ - 函數，也即構成一個晶格，稱為倒格子(reciprocal lattice)，此乃對偶空間中的點陣。在物理學中，晶體對一束粒子的散射作為一級近似被當作傅立葉變換處理，透射電鏡中獲得的晶體電子衍射花樣證明了這種近似的合理性。對於三維情形，設晶格結構的基矢為( a1，a2，a3) ，即若在位置r0 上有晶體基元(motif)的話， 則
的位置上也必有基元。倒格子的基矢由下式給出：
。面心立方結構的倒格子是體心立方結構，而體心立方結構的倒格子是面心立方結構，簡單立方或方格子的倒格子還是簡單立方或方格子，這也是一種reciprocal relation。注意，一些教科書上把格子及其倒格子畫到一起(圖5)，是會引起誤解的。倒格子和格子，它們不在一個空間裡——倒格子定義在格子所在空間的對偶空間(dual space) 裡。雖然有a1·a2 = 0 和a1·b2 = 0 ，但其中涉及的算法不是一回事——一般的固體物理教科書弄不清這一點，所以常造成誤解。Duality(對偶)，又是一個和reciprocity 相關的概念。
圖5 方格子和它的倒格子
Reciprocity 關係在電磁學中表現最多、最震撼，那裡充斥著耦合(coupling)， 互感(mutual inductance)，交換(exchange)等容易聯想到reciprocity 的詞。奧斯特發現電能產生磁。法拉第，中了牛頓的「作用等於反作用」的魔咒，堅信磁也能產生電，而且還真產生了電。
電磁學中很多形式的reciprocity基於角色互換而關係不變的意義上。比如，在靜電學中有Green's reciprocity： 設有電荷分布ρ1 和ρ2，其產生的電勢分布分別為ϕ1 和ϕ2 ，分別滿足方程
,
， 則有互反關係∫ρ1ϕ2dv =∫ρ2ϕ1dV 。此互反關係成立，是因為算符是厄密算符，
。對於內積空間，算符厄密性由關係定義。
在電路層面，reciprocity 存在於某處的振蕩電流和另一處測量到的電場之間。一個天線既可以用於發射，也可以用作接收電磁波，其輻射和接收樣式(radiation and receiving patterns)是相同的，這也是很酷的reciprocity。赫茲實現電磁波發射和驗證的實驗裝置中，發射部分是和電路連起來的兩個鋅球，接收器則是簡單地用一根導線連起來的兩個鋅球。在光學層面，最容易理解的reciprocity 是對於光學系統的Helmholtz reciprocity：「你能看到我(的眼睛)，我也能看到你(的眼睛)」。
麥克斯韋方程組中的reciprocality，即變換的電場產生磁場，變換的磁場產生電場，意味著電磁波的存在。有人認為「Maxwell equation does not possess the symmetry expected of the reciprocity between magnetism and electricity(麥克斯韋方程不具有從電磁之間的reciprocity所期望的那種對稱性)」，從而引入了磁荷(磁單極)的概念去把方程組弄成視覺效果上的對稱，實在不是好物理。麥克斯韋方程組中方程所含項數不同(第四個方程多了位移電流一項)並不妨礙電磁之間的reciprocity，就像輻射場中電子躍遷的速率方程，項數不同不妨礙受激輻射和光吸收之間的reciprocity。Reciprocity is symmetry over symmetry，此為一例。
研究麥克斯韋波動方程的變換不變性， 會得到洛倫茲變換。「This remarkable reciprocity of Lorentz transformation」， 是感嘆其逆變換也是洛倫茲變換。這是相對性的本意，也正是(變換)群的特徵之一。洛倫茲變換構成群，群元素的乘法就能得到所謂的速度相加公式，進一步可得出光速c 是(洛倫茲變換中)速度v 的上限的結論。其實，光速c 是這個變換裡的一個標量常數，速度是表示相對運動的一個矢量，雖然(作為矢量的)速度之值的上限是光速c，但把標量的光速c 同相對運動速度放在一起討論可能真有不合適的地方。
在狹義相對論的語境中，reciprocal出現的頻率很高。如討論孿生子佯謬時，兩參照系間的時間比較應該是互逆的，「this situation is reciprocal for two frames」。又，在B點的鐘與在A 點的鐘調同時了，則在A 點的鐘與在B 點的鐘也就同時了。This is reciprocality。
考察諧振子的哈密頓量H=q2+p2， 其在q→p， p→－ q 變換或者q→p，p→－q 變換下形式均不變。但是，在q→p，p→－q 變換下哈密頓運動方程q̇= ∂H/∂p ， ṗ= -∂H/∂q形式也不變(這變換同時讓泊松括號不變)。對稱變換就是一類特殊的保守運動方程的變換：它不只保守運動方程的形式，它還保守哈密頓量本身的形式。自這一個性質可得出一個引人注目的結果：一個對稱變換的生成元，可稱其為S，是一個守恆量。這是期待已久的對稱性和守恆律之間的聯繫，這個聯繫是由女數學家Emmy Noether(1882—1935)證明的。這個對稱性與守恆律聯繫的根源是一個漂亮的互反定理(theorem of reciprocity)：哈密頓量H是在生成元S 產生的變換下的不變量，此一事實意味著生成元S 是在哈密頓量H 產生的變換下的不變量：兩個性質有同樣的數學表述。但是哈密頓量H產生的變換是系統的時間演化，因此生成元S 是一個不隨時間變化的運動常數。
在量子力學中，還有個簡單的互反關係也被稱為theorem of reciprocity，關係式| <ξ′1… |η′1…>|2= | <η′1…|ξ′1…> |2被詮釋為：(一組)力學量ξ 在(一組)力學量η 具有本徵值η′的狀態中，其具有本徵值ξ′ 的機率與(一組)力學量η 在(一組)力學量ξ 具有本徵值ξ′ 的狀態中具有本徵值η′ 的機率相同。這其實是內積空間的基本性質。
玻恩也試圖基於reciprocity 發展物理學，故有Born reciprocity 的說法。上節中提及，對於經典的哈密頓方程ẋ= ∂H/∂p ， ṗ= -∂H/∂x ，其在變換x→p； p→－ x 下是不變的。玻恩在上世紀四十年代注意到對自由粒子波函數的表述在變換x→p；p→－x 下也是不變的。玻恩假設這樣的對稱性對於狹義相對論的四矢量也是成立的，即在變換t→－E；E→t 下也是不變的。玻恩還參照狹義相對論的不變度規算符xkxk 構造了八維「相空間」中的不變度規算符xkxk + pkpk。度規xkxk + pkpk 在group of quaplectic transformations 是不變的。玻恩的這套principle of reciprocity 在經典力學和量子力學中並不總是成立，且由於數學層面上的困難，所以並沒能走多遠。在量子力學的視角下，還有這八個坐標中只有七個為算符的尷尬。
在AB(Aharonov—Bohm) 效應中，繞通電線圈運動的帶電粒子，其波函數獲得一個與磁通量成正比的額外相位； 在AC(Aharonov—Casher)效應中，帶磁偶極矩的粒子繞帶電粒子運動，其波函數獲得一個正比於電荷的相位。這兩種效應正好反著，表現出某種意義上的reciprocity。
昂薩格(Lars Onsager， 1903—1976)1931 年因為發現了reciprocal relations 而獲得1968 年的諾貝爾化學獎。昂薩格的互反關係式乃是不可逆過程熱力學的基礎，被譽為「熱力學第四定律」。在偏離平衡態的系統中，考察同時出現的多種流與驅動力之間的比例關係。以熱流和質量流為例，內能和粒子數各自關於熵的共軛強度量是1/T和－μ/T，即
。熱流和質量流單獨出現時，或者說按定義，有
當兩種驅動力同時出現時，形式上有
方程右側的係數是positive semi-definite and symmetric，即矩陣元不為負且矩陣是對稱的，有等式Lun = Lnu 。這就是所謂的昂薩格倒易關係。昂薩格倒易關係是微觀動力學可逆性的結果：平衡時任何類型的微觀運動，其逆過程都有同樣機會發生。昂薩格倒易關係的前驅包括開爾文爵士1854 年得到的公式Π = Tσ ， 其中σ 是Seebeck 係數，Π 是Peltier 係數。Seebeck 效應是溫差引起電流的現象，而Peltier是電壓差引起熱流的現象。
人們早就注意到， 物體的彈性、電、磁和熱性質之間可以是耦合的。除了我們熟知的熱電效應以外，還有比如磁電效應，指外加磁場引起電極化或者電場引起磁化。此效應是居裡於1894 年在對稱性這裡特指(reciprocity)基礎上提出的，而磁電是德拜1926 年造的詞。一種外場引起非共軛的其它物性變化是一種普遍的現象，可以一般地加以考察。在一階近似下，關於物性與驅動力之間有線性的本構關係J = σE ，若是多種驅動力同時作用激勵多種流，則流與力之間由一個線性的輸運係數矩陣相聯繫。一般地，此矩陣是對稱的，此即前述的Onsager reciprocal relations。
可以作如下推導。從熱力學主方程(cardinal equation)出發，把熵S也歸入一般的力學廣延量，則主方程的形式為dU=XidYi。力學廣延量如電偶極矩對電場、壓力和溫度等刺激因素的線性響應可記為Yi = Kij Xj，係數Kij 反映物質的性質。由Legendre 變換得到新的熱力學勢函數Φ =U- XiYi ，可得dΦ =-YidXi，由全微分的性質，有∂Yi/∂Xj =∂Yj/∂Xi = -∂2Φ/∂Xi∂Xj ，故此有Kij =Kji ，這是熱力學層面的內在對稱性，與具體物質本身的對稱性無關( 物質自身的對稱性表現在諸如J = σE 這樣的關係中)。它是reciprocal relation 的基礎。舉例來說，考察恆溫條件下電位移(矢量)、磁感應(贋矢量)和形變(二階張量)對電場、磁場和應力的耦合響應，應有方程Di = kijEj + λijHj + dijk σjk ； Bi =λ′ijEj + μijHj +Qijkσjk，εij = d′ijkEk +Q′ijkHk + sijklσkl ，由此可得兩個reciprocal relations： λ′ji = λij ； d′pqr = drpq 。
另外，線性響應的關係中還有一類anti-reciprocal 關係， 即x = gy ，y = -hx 。
1853 年Anders Jonas Ångström指出炙熱氣體發射的光線與其吸收的光線具有同樣的折射度(refangibility)，即有相同的頻率。也就是說，如果一個元素能發射某些特定波長的光，也就一定會吸收那些特定波長的光；此論斷反過來也成立。斯託克斯和開爾文爵士也注意到此現象。據信基爾霍夫是基於熱力學考慮得出了吸收譜線在發射譜線處的結論的。
白熾燈泡選擇炭作為燈絲材料是因為低溫下越黑的材料在高溫下越亮。這個reciprocity 反應了光的吸收和發射是兩個能級之間的事情，它和巴爾莫公式的形式(兩項差)是吻合的。玻爾據此給出躍遷的概念，原子的光吸收或者發射是同帶電子的兩個狀態而非一個狀態相聯繫的。既然是兩個狀態，就有reciprocity，光的吸收是光發射的逆過程，存在某些reciprocal relation，也就可以理解了。
Reciprocality作為一種對稱性之上的對稱性指導物理學的研究，體現在受激輻射此一概念的提出上。愛因斯坦研究原子中電子躍遷與發光和光吸收之間的關係，如同麥克斯韋研究電磁定律一樣，發現少了點什麼。一個光子能被吸收，應該也影響發射過程，於是就有了輻射定律中的受激輻射這項。光吸收和受激輻射是相反的過程。這個吸收和發射的本領只和這兩個能級的性質有關。考察兩能級體系，對光的吸收機率∝B12ρ(v)N1 ，而受激發射的機率∝ B21ρ(v)N2 。Reciprocity 就反映在關係B12 = B21 上。此關係得到的方式，人謂之「deduce by reciprocation(從reciprocation導出)」。在受激輻射概念的基礎上，人類才有了雷射。
與愛因斯坦研究光場與原子作用時同時考慮光被吸收和誘發輻射類似，印度人薩哈(Meghnad Saha，1893—1956)在處理分子離解和原子離化過程時同時考慮分離和複合過程，從而得到了Saha 公式，很好地理解了氣體密度對電離度的影響，而這是理解恆星光譜強度分布的關鍵。此也可看作是deduce by reciprocation之一例。
Reciprocity 的表現形式是多樣的。本文介紹了許多在數學、物理領域中常見的reciprocal relations，但只能討論少數的例子。具有reciprocity的現象比比皆是，比如水與乙二醇可互為溶質—溶劑，也是一種reciprocity，這在這兩種物質混合物之玻璃化行為隨組分的變化中會表現出來。加速器物理的出現也是基於reciprocity：原子核反應事件伴隨有高能粒子的發射，反過來高能粒子可以進入到原子核的內部。
Reciprocity 是一種強的聯繫，reciprocity is a symmetry over symmetry 。principle of reciprocity 如同熱力學的原則，其可靠到足以用來檢驗實驗是否正確，而非通常情形下的是用實驗來驗證某些定律。基於reciprocity的考慮還可極大地減少計算量，比如關於固體響應行為的計算就是這樣。考慮reciprocity 的存在不妨成為研究自然現象的一種自覺。康德的哲學三要素包括substance(本體，物質，存在)，cause(原因)，和reciprocity，其中的reciprocity 是被理解為relation of being 的，其重要性可見一般。哲學可以指導科學，這話就principle of reciprocity 來說，確實沒錯。這句話之所以在此地廣受懷疑，是因為那些本地產的趾高氣昂的所謂哲學家既沒有掌握任何可指導科學的哲學，也未曾掌握任何可供哲學指導的待發展的科學。
退一步說，reciprocity 作為習慣性的帶哲學味的表述方式，也是很有表現力的。東方的哲學家莊子，他弄不清是他夢到自己是蝴蝶。還是醒來的他只不過是一隻在做夢的蝴蝶。西方的哲學家蒙田(Michel de Montaigne，1533—1592)，他弄不清當他跟小貓一起玩耍的時候，是他在玩小貓還是小貓在玩他。王國維論詩人的自由，雲「詩人必有輕視外物之意，故能以奴僕命風月。又能重視外物之意，故能與花鳥共憂樂」，物理學家對於實際和理論的態度，亦當如此！如果從理論深處著手，必須從實驗研究中著眼；而如果從實驗研究中著手時，又必須從理論深處著眼。只執一端，都遠離物理真趣味。物理學家也喜歡用reciprocal 的句式，比如有一本科普書就叫《不可能性：科學的極限與極限的科學》。赫茲在其《力學原理》第一頁上寫道：「We form for ourselves (internal) images or symbols of external objects; and the form which we give them is such that the necessary consequents of the images in thought are always the images of the necessary consequents in nature of the things pictured(關於外在事物我們形成了(內在的)圖像或者符號；我們賦予外在事物的形式應該是這樣的：我們思想中之圖像的必然後果總是我們所圖形之事物之必然後果的圖像)。」莫說他證實了電磁波的存在，僅憑這一句，我就願意相信赫茲是一位了不起的有思想的物理學家。
一直想說說自然與物理學之間的關係，苦於不知如何reciprocally 去表達。木心有句云：「美術是宿命地不勝任再現自然的。自然是宿命地不讓美術再現它的。」仿此，我要說「物理學是宿命地不勝任再現自然的。自然是宿命地不讓物理學再現它的。」這reciprocal impossibility 讓真正試圖理解自然的物理學家們不愁沒活幹，想來好不令人感到欣慰。