光子晶體中隱藏對稱性與高階簡併

01導讀

作為拓撲材料的一個重要研究分支，拓撲能帶簡併的研究起源於在周期性材料中尋找外爾和狄拉克準粒子。由於周期系統的晶體空間群比均勻時空支持更豐富的能帶簡併結構，因此在周期系統中存在著超越高能物理所研究的準粒子態。通常人們認為光子晶體中整數自旋空間群可完整描述電磁波的能帶簡併和拓撲結構。

近日，華中科技大學陳雲天副教授團隊，香港科技大學陳子亭教授團隊等課題組共同合作，揭示了一種隱藏於麥克斯韋方程組中光學系統特有的對稱性，發現了一種由隱藏對稱性保護的全新的三重簡併點（稱為拓撲節線連結點），及該頻點出新奇的光學現象。相關成果以「Hidden-symmetry-enforced nexus points of nodal lines in layer-stacked dielectric photonic crystals」為題發表在Light: Science & Applications。

圖源：論文作者

該文作者發現如果各向異性介電張量的不同元素具有比晶格元胞更小的分數周期，則麥克斯韋方程可展現出超越空間群的隱藏對稱性，此對稱性保證了多條能帶之間的拓撲節線始終會相交於一對三重簡併點。

這種被稱為拓撲節線連結點的新型三重簡併準粒子是動量空間中有別於狄拉克磁單極的一類新型磁單極子。利用三重簡併點附近的特殊各向異性色散特徵，研究發現該點處具有奇特的自旋1圓錐衍射效應，可實現最大拓撲荷為2的光渦旋態。

02研究背景

對稱性原理是現代物理學發展的基石，在人們揭示自然規律和建立物理定律的過程中起到了關鍵作用。假如沒有對稱性原理的應用，很難想像物理學近兩百年有如此巨大的發展。對稱性原理的一個重要應用是揭示了每一個守恆量的背後都有一種相應的對稱性存在，比如動量守恆本質上是空間平移對稱性的結果。另一方面，以規範變換對稱為代表的隱藏對稱性對於揭示基本粒子間的相互作用起到了關鍵的作用。如2004諾貝爾物理學獎獲得者David Gross所說，現代物理前沿中的研究重點就是探尋極小尺度下新的隱藏對稱性。 在拓撲物理研究中，對稱性同樣發揮著極其重要的作用。物理系統的對稱性不僅決定了拓撲絕緣相和拓撲簡併的分類，對於基於拓撲效應的新型光電器件的設計和探索也有指導意義。

在拓撲光子學早期的開拓性研究工作中，研究人員通常是尋找與電子拓撲態相對應的電磁效應。光子作為玻色子，與電子有本質的區別，近年探索光學系統自身獨有的對稱性導致的拓撲效應逐漸受到人們的重視。

例如利用電磁對偶對稱性，可實現類似於電子系統的Kramers簡併。由於電磁對偶對稱性對材料介電常數和磁導率的關係有極嚴格的限制，這對拓撲光學器件的實用化造成了障礙。

在普通的電介質材料中是否也蘊涵著可導致非平凡拓撲性質的隱藏對稱性呢？這正是本文要回答的問題。

03創新研究

該工作揭示了一種隱藏於麥克斯韋方程組中光學系統特有的對稱性，發現了一種由隱藏對稱性保護的全新的三重簡併點（稱為拓撲節線連結點），及該頻點出新奇的光學現象。

定態麥克斯韋方程組可以簡單表示為一個廣義本徵值問題N^(r)ψ=ωM^(r)ψ，由於所有空間群操作都不改變旋度矩陣N^，所以空間群的對稱性只要求本構張量M^(r)在空間群變換下不變。如果把麥克斯韋方程改寫為哈密頓量形式H^(r)ψ=ωψ，H^(r)=M^(r)-1N^(r)，不難發現，麥克斯韋方程所滿足的對稱性A^只要求H^(r)在對稱操作下不變，而不需要N^和M^各自滿足對稱條件。

這意味傳統的空間群可能只涵蓋了光學系統對稱性的冰山一角，也意味光學系統中可能存在大量未被發現的對稱性值得研究和利用。

本文設計了一個由各向異性電介質板堆疊而成的光子晶體結構來展示這種隱藏對稱性及其對能帶的影響，光子晶體周期性來源於同種各向異性電介質的光軸周期性旋轉（圖1）。

圖1 各向異性層堆疊式的光子晶體及其能帶

本文的研究發現由於介電張量的各個分量可以具有比光子晶體元胞更小的周期（原胞周期的分數），導致該系統具有一個超出空間群的廣義的分數螺旋對稱性。這個隱藏對稱性與時間反演對稱性一起保證了除最低兩條能帶之外的所有能帶都沿著kz軸（ΓZ）方向具有二重簡併，進而構成一類橫貫kz軸的新型拓撲節線（稱之為「類Kramers」拓撲節線）。

由於隱藏對稱性的存在，可證明了光子晶體具有比空間群對稱條件約束下更高的能帶連通性。考慮到電介質光子晶體的最低一對能帶必定經過光錐原點（ω=|k|=0），可證明最低階的類Kramers拓撲節線一定和另外兩條受鏡面對稱保護的拓撲節線環相交於一對三重簡併點（圖2），稱為拓撲節線連結點（nexus point）。

圖2 隱藏的1/4螺旋對稱性對能帶連通性的影響

類比實空間中的電磁場，貝裡曲率通量（Berry flux）可看作動量空間中的磁通量，而外爾點作為貝裡磁通量的輻射源對應於實空間中的狄拉克磁單極子。在本文研究的系統中，所有的貝裡曲率磁通量都被束縛在拓撲節線上，所以拓撲節線可認為是動量空間中的「宇宙弦」，而節線連結點作為「宇宙弦」的交匯點構成了動量空間中一類有別於外爾點的新型磁單極子。 如圖3所示，能帶在三重簡併連結點附近呈現出不同尋常的各向異性色散特徵。在ky=0截面上三個能帶沿著拓撲節線線性交叉，在kx=0截面上能帶結構類似於II型三重簡併點。而在kz固定的截面上能帶由一對圓錐和一條平帶相交形成由二維自旋1哈密頓量描述的二維各向異性類狄拉克錐，在等頻率面內也表現出相似的類狄拉克錐色散特徵。打破隱藏對稱性會導致沿著類Kramers拓撲節線的二重簡併打開，節線連結點隨之消失，而原先相交的一對拓撲節線環分離為一上一下兩條獨立的節線環，根據節線附近不同的能帶色散，上面一條稱為第二類拓撲節線環，下面一條為第三類拓撲節線環。

圖3 三重簡併連結點附近的能帶結構

當光束入射到普通二重簡併拓撲節線上時，如光線沿雙軸晶體光軸方向入射，會發生經典的圓錐衍射現象，這種衍射效應可由二維的自旋1/2狄拉克方程解釋。相比之下，三重簡併節線連結點對光的衍射效應呈現出明顯不同，由於該頻點附近的等頻率面形成一個自旋為1的類狄拉克錐，單色光在該點上的動力學可由二維自旋1哈密頓量描述，其中z軸可等效為時間軸，這導致此處入射的光波會經歷特殊的自旋1圓錐衍射（圖4）。該頻點的色散特徵導致衍射光束會分成圓錐狀衍射環和一束沿z方向筆直傳播的兩部分光束。

更有趣的是，如果入射光的初始狀態是一個spin-1角動量本徵態，光束在衍射過程中會發生自旋量子數躍遷，而躍遷前後的自旋角動量之差會轉化為衍射環的軌道角動量。當將出射波投影到不同的自旋1本徵態上時，會觀察到環繞衍射環的光渦旋，光渦旋的拓撲荷由初末態自旋量子數之差決定，因此可取值0，±1和±2。這個效應表明了該三重節線連結點為研究二維自旋1動力學提供了一個新途徑。

圖4 三重簡併連結點處的自旋1圓錐衍射效應

04應用與展望

本文研究了一種受麥克斯韋方程隱藏對稱性保護的新型光學三重簡併態，也為拓撲能帶簡併方面的研究帶來一些思考和啟發。

一方面，文中所揭示的隱藏對稱性源於介電張量中不同分量的分數周期性，該性質反映了光子晶體的幾何屬性，不被傳統的空間群所涵蓋。因此發展包含這種隱藏對稱性的廣義空間群理論對研究光子系統具有重要意義。

另一方面，該工作使用的光子晶體結構由單一的各向異性介電材料組成，但其能帶特性完全來自於材料內部光軸的非平凡周期旋轉。雖然最近的研究表明，通過控制介電極化的方向可以實現人工規範場、Pancharatnam-Berry 幾何相位和人工自旋軌道相互作用，但目前對各向異性介質光子晶體的能帶拓撲性質的研究還很少。

該研究結果表明，材料的內稟各向異性具有結構各向異性不可替代的特徵，因此各向異性介質，如液晶等，為實現電磁場特有拓撲效應提供了新的平臺。

文章信息

Xiong, Z., Zhang, R., Yu, R. et al. Hidden-symmetry-enforced nexus points of nodal lines in layer-stacked dielectric photonic crystals. Light Sci Appl 9, 176 (2020).

本文共同第一作者為華中科技大學光學與電子信息學院博士生熊仲非和香港科技大學物理學院張若洋博士，通訊作者為華中科技大學陳雲天副教授和香港科技大學陳子亭教授。合作者包括武漢大學餘睿教授。