在剛開始理解什麼是數學家和物理學家眼中抽象的對稱結構，我們得先從熟悉的形狀開始。
你得原諒數學家被魔群深深的勾住，一個如此巨大而神秘的代數對象吸引他們花費接近10年的時間去證明它存在。現在，三十年後，弦理論家們——也是正在研究所有的基本力和粒子如何通過在隱藏維度振動的微小的弦來解釋的物理學家——發現魔群與物理學中的深刻思想有聯繫（研究出來的主要定理可以解釋魔群的量子場論構造，事實上魔群是一種特殊弦論的對稱群）。
這個元素個數的數量級達到10的53次方，並且同時讓數學家和物理學家興奮的集合是什麼?在建立新的物理理論中搞清對稱性的數學結構以及隱藏的對稱性的過程中，像魔群這樣的代數群的研究提供了線索。
群論在很多方面集中體現了數學的抽象性，但是它構成了一些我們的大部分類似於數學經驗的基礎。現在讓我們研究對稱性的基礎以及闡明他們代數結構。
我們喜歡說一個事物具有對稱性，但是它真正的含義是什麼呢？直覺上講，對於像鏡像那樣的事物，我們有對稱的感覺。假設我們畫一條垂直的線穿過正方形的中間。
這條線將正方形分成兩個相等的部分，這兩部分互為對方的鏡像。這個熟悉的例子被稱為軸對稱。但是這兒還有其他與鏡像無關的對稱類型。
例如，正方形還具有旋轉對稱性。
從這個例子中我們可以看見正方形關於它中心點（對角線的交點）逆時針旋轉的過程。在旋轉了90度（四分之一的翻轉之後，它看起來和之前的一樣。
我們定義一個對象變換是對稱的，如果這個物體變換後與變換前的形狀一樣。上述旋轉是正方形對稱性的一種，而我們軸對稱的例子可以作為第二種對稱性。
讓我們花一點時間來定義一些的術語。我們將稱最初的對象為「原像」，而變換後的對象為「像」。我們將用術語「映射」去描述從一個對象（一個點，一個線段，一個正方形，等等）變換到另一個對象的過程。對稱性要求變換不改變對象的大小或者形狀。
一個變換如果滿足這樣的要求被稱為「等距」，或者稱作剛體運動。基本的等距變換是關於一條線反射，關於一個點旋轉，以及沿著一個向量平移。
現在我們繼續分析正方形的對稱性。我們知道有一種對稱性是「關於一條通過中心的垂線反射」；另外一種是「關於中心逆時針旋轉90度」那麼還有其他的嗎？他們是什麼？還有多少種？在數學中經常出現這樣的情況，提前規定好的記號將讓我們的分析更加容易。
首先，假設我告訴你我已經通過對稱性變換好了正方形，下圖是結果。
這樣的結果應用了那種對稱性？旋轉？反射？當然這不可能精確地看出來運用了哪種對稱的準則。為了幫助我們確認具體應用了哪對稱性，讓我們從標記原始正方形的頂點開始分析。
進一步，讓我們規定不論何時我們描述原始正方形都用這樣的標記：左上角為A，右上角為B，右下角為C，以及左下角為D。
好了，現在我們開始變換正方形，我們可以追蹤標記是怎樣移動的。例如，在關於一條過中心的垂線反射後，正方形變成了下面這樣的形式：
對比原始的標記，A現在在B的位置，而B在最初A的位置。類似的，C和D也交換了位置。將原始標籤作為ABCD，我們將經過變換後新的標籤記為BADC。
這樣就清晰地揭示了，在這樣的變換下，A被映射成了B，B被映射成了A，C被映射成了D，最後D被映射成了C。我們可以可視化記號是怎麼變換的：
我們將一直記原始位置為ABCD，因此列表中的相對位置描述了每個原始頂點在變換下映射的位置。在另一個例子中，我們繞中心逆時針旋轉90度可以標記為DABC,在這個變化中A被映射成D，B被映射成A，以此類推。
嚴格的來說，這僅僅描述了在一次變換中每一個頂點發生了什麼。但事實證明，這足以描述整個正方形變換的情況。這是因為對稱變換是等距的，因此維持了對象的大小和形狀相等。
等距不能讓尖角或頂點變平，因為那樣將會變對象的形狀。這意味著所有的角A,B,C,D都將映射成角。類似的，等距變換的性質保證了線段將映射成線段。
於是，一旦我們知道正方形的角往那邊走了，相應的邊也沿著相同的路線行走。換句話說，正方形邊的像決定於對應端點的像。
這就意味著我們能完整的通過排列四個字母A、B、C和D具體說明正方形的一個對稱。這本身是非常好的，但它同時也立即暗示著正方形對稱的形式的數量有一個上界。正方形對稱形式的種數不超過四個字母排列組合的種數。那麼有多少種排列呢？
考慮用這些字母創造一個排列，你可以從這四個字母中的任意一個字母開始，但是一旦你選擇了一個字母，那麼對於第二個字母你就僅僅只有三種選擇。一旦你選擇了第二個字母，在第三個字母上你就只有兩種選擇，最後，對於第四個字母將你只有一種選擇。一個基本的計數方式告訴我們有
4 × 3 × 2 × 1 (= 4!) = 24
4 ×3×2×1(=4!) = 24種可能的排列。因此，對於正方形這兒最多有24種對稱方式。
事實上，正方形的對稱形式遠少於24種，一個簡單的論據將告訴我們為什麼。讓我們回到原始圖形。假設我們知道正方形的一個對稱把A映射成B，那麼C又如何呢？
答案很明顯，C只能被映射到D上去。A和C是正方形對角線的端點。因為等距不改變長度，A和C的距離必須和映射前的距離相等。如果A映射成了B，那麼現在與A的距離等於對角線長度的唯一對應點D就是點C必須到達的地方。
這樣就極大的減少了正方形對稱性可能的數量。假定我們構造了一個對稱，那麼A點有多少種可能性？因為頂點必須對應到頂點上去，關於A的映射這兒僅有四種可能的情況。一旦我們選擇了一種方式，那麼A的對角線端點C的映射也只有一種方式。那麼對於B就只有兩種選擇了，類似的方法我們可以知道D也只有一種選擇。
notation:
最後，討論正方形的對稱性，我們真正需要考慮的只有兩種情況：A點的選擇方式（四種）以及B點的選擇方式（2種）。這就意味著這兒僅僅只有4 × 2 = 8 種可能性。這兒用我們的記號列出了完整的清單：
現在我們無法保證所有的八種可能性都是正方形實際對稱性。但是它是一個小的列表，所以我們可以逐一驗證它。實際上他們都是合法的對稱性：左邊的四種是旋轉對稱性（旋轉角度為0°，90°，180°，以及270°）右邊的四種是軸對稱（兩個關於過中心的垂線和水平線對稱，兩個關於對角線對稱）。
所以這八種變換都是對稱性，我們已經確定了正方形最多有八種對稱性，顯然我們已經把它們全面找到了。但這真的就是全部的情況嗎？
當我們發現一種自然的方式去組合對稱方式，一個新的關係產生了：我們可以簡單的應用他們在一系列變換在中（一種稱為「複合」變換運算）因為應用對稱性再次給了我們一個一樣的正方形，你可以應用另一個對稱性再次產生一個一樣的正方形。
這就意味著如果你連續應用多個對稱性，這些對稱性的複合本身是也是正方形的對稱性！我們可以通過上述八種的各種組合造成新的對稱性。
但當我們試圖這樣做時一些有趣的事情發生了。假設我們逆時針旋轉正方形90°然後讓沿過中心的垂線反射，那麼頂點會發生什麼變化呢？
旋轉讓A變成D，然後經過反射到C，所以最終是A到C。B旋轉到A，然後反射回到B，所以B映射到B。C旋轉到B，然後反射到A，然後D旋轉到C，然後反射回D。在我們採取的記號中，這些兩次變換的複合可以被描述為：
但是這個對稱都已經在我們的列表裡面了！逆時針旋轉90°後通過中心的垂線反射，實際上就是關於對角線BD做了一次反射。事實上，每一次上述八種對稱性的組合本身也就是上述八種對稱性之一。
現在我們已經在這些對稱性集合中揭示了基礎的代數內在結構。當我們通過組合兩種對稱性時，我們得到了另一種對稱性，用一樣的方式我們通過加法結合兩個數字得到另一個數字。而恆等對稱（旋轉0°）在我們數字系統中表現為數字0.
而每一個對稱性都可以被抵消，就像加三也可以加上-3來抵消：例如，正方形旋轉90°可以被再旋轉270°抵消。
這是群基本的代數屬性，他們賦予群，就像正方形對稱性的集合，具有類似於我們熟悉的數字系統的結構和規律性。但是對稱性的群也展現了他們自己的複雜以及微妙的特徵。
例如，我們關於正方形的對稱群僅僅包含八個元素，與我們無限的數字系統形成了鮮明的對比。當我們能組合對稱性在一定程度上相似於我們疊加數字，我們組合的順序導致不同的結果,例如：3+4=4+3但是在旋轉之後反射與在反射之後旋轉結果卻不同。
由簡單的正方形對稱性，我們已經對代數結構有了一種模糊的感覺，那麼你是不是想知道數學家和弦理論學家研究的魔群深處的是什麼了？
作者：Patrick Honner，美國傑出數學和科學教育總統獎得主
來源：哆嗒數學網