之前提到了群的定義
A,B,C...這些elements組成群的條件是
封閉性(Closure)，任何兩個element的乘積得到新的element仍屬於這個群，AB=C
滿足結合律，(AB)C=A(BC)
存在一個unit element, 使得AE = EA = A.
對任何一個element，存在一個inverse，A^-1A = AA^-1 = E.
這裡討論如何將這些簡單封閉的性質轉化為數學的語言，即群的表示論。
以一個六階的任意的有限群為例，根據群的性質可以列這麼一個乘法表 (multiplication table)
具體比如C3v的群，其對稱性操作和multiplication table如下
一個自然的想法就是把群裡面的每一個element用矩陣去表示(matrix representation), 可以證明這種表示不是唯一的，做一個similarity transformation 就可以得到一個等價的表示
但矩陣的trace是不變的(under similarity transformation), 即character。如果這個矩陣表示是不可約的(irreducible), 由此構造出來的表格就是通常見到的character table。
關於如何得到character table，這就是群表示論的內容了。
首先這個矩陣具有很多性質，其中最重要的一個就是GOT (game of thrones) (great orthogonality theorem)
其中R是群的element，g是order，d是dimension，alpha是representation的記號，特徵值為
可以簡單證明
一、Burnside’s method
這個方法基於對class的展開，
然後將其變為矩陣特徵值問題
已C3v為例，對第二個class作乘積有
易得H矩陣和對應的特徵值(Dirac character)
再利用
可以得到該群的character table
二、Dixon’s method
對於一些小的group，Burnside’s method已經足夠處理，更general且適用於程序計算的還是Dixon’s method。其思路也很直接，把Burnside的方法作取模計算(modulo p), 用到一些數論的知識 (細節略，感興趣的參考Ref. 1)
以更複雜的C4v為例，用mathematica去自動求解
三、projection operator
這是更為general的方法，化學裡面的symmetry adapted linear combinations (SALCs)就是用projection operator去構造的，同樣可以推廣到固體體系，這裡足夠以後單獨討論一下。注意到上面的character table裡面右邊多了很多函數(basis functions), 可以通過projection operator得到。
四、character table 有何用
最簡單而又直接應用且和實驗密切相關的便是IR和Raman mode的判斷，以單層的CrI3為例，其點群為D3d
可以很快通過basis function判斷A1g, Eg (二次項) 是Raman active的而A2u, Eu (一次項)是IR active的，這是用群論得到的直接結論，其推導很簡單，之前也應該提過，關於群論具體是如何用到這種實際的問題中的，以後再說。
Ref:
1. El-Batanouny, Michael, and Frederick Wooten. Symmetry and condensed matter physics: a computational approach. Cambridge University Press, 2008.