兩位概率論頂級專家獲得2020阿貝爾獎

2020-12-06 騰訊網

本文主要內容轉自阿貝爾獎官方網站。

根據阿貝爾獎官方網站公布消息，2020年度阿貝爾獎頒給以色列希伯來大學的希勒爾·弗斯滕伯格（Hillel Furstenberg）和美國耶魯大學的格雷戈裡·馬古利斯（Gregory Margulis），以表彰他們在群論、數論和組合數學中開創性地使用概率與動力學方法。

弗斯滕伯格介紹

當希勒爾·弗斯滕伯格(Hillel Furstenberg) 發表其早期的一篇論文時，有傳言說他並非一個人，而是一群數學家的化名。該論文涵蓋的思想覆蓋諸多領域，真的不可能是一個人的成果嗎？

雖然這件事可能是杜撰的，但它說明了在弗斯滕伯格整個學術生涯中存在的一個事實：弗斯滕伯格擁有不同領域深厚的技術知識，並且在這些知識之間建立了深刻而令人驚訝的聯繫。尤其是，他在遍歷理論領域做出了重要貢獻，該理論在數論、幾何學、組合論、群論和概率論中都有非常廣泛的應用。

弗斯滕伯格1935 年出生於柏林。他來自一個猶太家庭。二戰爆發的前幾個月，他們設法離開德國，逃往美國。弗斯滕伯格的父親死於途中，他則由母親和姐姐撫養長大，後來他們生活在紐約的一個東正教社區。當 弗斯滕伯格看到老師在解釋著名理論時陷入困境時,他開始對數學產生了濃厚的興趣.這位學生喜歡自己尋找證據。「有時候壞老師會教出好學生！」他說。他高中和大學就讀於葉史瓦大學，並於 1955 年獲得學士學位和理科碩士學位。大學期間他就已經發表論文。《關於一種不定式的說明》(Note on one type of indeterminate form )(1953) 和《關於素數的無窮性》(On the infinitude of primes)(1955) 均發表於《美國數學月刊》上，後者為歐幾裡德的著名定理提供了拓撲證明，即有無限多個素數。

後來弗斯滕伯格前往普林斯頓大學攻讀博士學位，他的導師是博赫納( Salomon Bochner)。他於 1958 年獲得博士學位，其論文為《預報理論》(Prediction Theory)。當這篇論文於 1960 年發表時，一位評論家曾說：「這是一篇一流的、高度原創的論文，論述了一個非常難的主題。」

分別在普林斯頓大學和麻省理工學院擔任了一年講師後，他於 1961 年在明尼蘇達大學獲得第一份助理教授的工作。在 1963 年開始發表的一系列文章中，他憑藉《半單李群的泊松公式》(A Poisson Formula for SemiSimple Lie Groups) 繼續確立了作為獨創性思考者的地位。他的研究表明，隨機遊走在一個群上的行為與該群的結構有著複雜的關係（現稱弗斯滕伯格邊界(Furstenberg Boundary)的來源），這對格及李群的研究產生了巨大影響。他被提升為明尼蘇達大學的正教授，但在 1965 年，他離開美國前往耶路撒冷的希伯萊大學，一直待在那裡直到 2003 年退休。在其 1967 年的論文《遍歷理論中的不交性、極小集以及丟番圖近似中的一個問題》(Disjointness in ergodic theory, minimal sets, and a problem in Diophantine approximation) 中，弗斯滕伯格介紹了「不交性」的概念，這是遍歷性系統中的一個概念，類似於整數的共素性。事實證明，該概念已應用於數論、分形學、信號處理和電氣工程等領域。在其 1977 年的論文《對角線測量的遍歷行為和關於算術級數的塞邁雷迪定理》(Ergodic behavior of diagonal measures and a theorem of Szemerédi on arithmetic progressions) 中，弗斯滕伯格使用遍歷理論中的方法證明了安德烈·塞邁雷迪（Andre Szemerédi， 2012 年阿貝爾獎獲得者）的著名結論，該結論指出，具有正上密度的整數的任何子集均包含任意大的算術級數。弗斯滕伯格的證明比塞邁雷迪更具概念性，並完全改變了這一領域。它的見解也變得富有成效，成為很多重要研究成果的依據，例如格林(Ben Green)和陶哲軒證明了素數的序列包括任意大的算術級數。

弗斯滕伯格決定在以色列度過自己幾乎所有的職業生涯，這使該國成為數學，尤其是遍歷理論的世界中心。在 1975-1976 學年，他與班傑明·韋斯(Benjamin Weiss)一起在以色列高等研究院進行了為期一年的遍歷理論研究，該研究被認為已改變了這一領域。在其眾多榮譽之中，弗斯滕伯格還獲得了以色列獎（被視為以色列最高榮譽）和沃爾夫數學獎。他還是以色列科學院和美國文理科學院的成員。

弗斯滕伯格於 1958 年與專攻藝術和文化的雜誌作家羅謝爾(Rochelle)結婚。他們有五位子女，十六位孫輩，以及越來越多的曾孫輩。

馬古利斯介紹

在輝煌的數學生涯中，格雷戈裡·馬古利斯（Gregory Margulis) 提出了很多頗具影響力的想法，解決了長期懸而未決的問題，並發現了不同數學領域之間的深層聯繫。他的標誌性方法是以出奇和新穎的方式應用遍歷理論，從而創造出一個全新的研究領域。

他 1946 年出生於莫斯科，16 歲時因贏得國際數學奧林匹克競賽銀牌而獲得了國際認可。他就讀於莫斯科國立大學，1970 年在雅科夫·西奈(Yakov Sinai 2014 年阿貝爾獎獲得者)的指導下獲得博士學位。他的論文提出了一個非常新穎的想法：他創立了一種測量方法（現稱為鮑文-馬古利斯測量法），使他能夠發現雙曲空間幾何的新特性。他的方法後來啟發了很多新的問題和熱門研究領域。

年僅 32 歲的 馬古利斯憑藉其對李群格子的研究，尤其是算術和超剛性定理，贏得了 1978 年的菲爾茲獎。該算術定理指出，秩大於 2 的任一半單李群的不可約格均是算術的，而超剛性定理指出，該格子的表示可擴張成周圍李群的表示。超剛性定理證明了遍歷理論新的應用，建立了強有力的新方法，在很多領域都頗具影響力。

1978 年雅克·蒂茨(Jacques Tits, 2008 年阿貝爾獎獲得者)談及馬古利斯時表示：「毫不誇張地說，他屢次解決了在當時看起來似乎完全無解的問題，讓專家們為之一驚。」然而，由於蘇聯當局拒絕為他提供籤證去參加在芬蘭赫爾辛基舉行的頒獎典禮，馬古利斯因此未能拿到菲爾茲獎。1979 年，當蘇聯學者擁有更多的人身自由時，他才獲準出國旅行。20 世紀 80 年代期間，他訪問了瑞士、法國和美國的多個研究機構，並於 1991 年定居耶魯大學，此後便一直待在那裡。

在其職業生涯早期，馬古利斯曾因猶太人出身遭到歧視。儘管他是該國最傑出的年輕數學家之一，卻無法在莫斯科大學找到工作。相反，他在不太知名的信息傳播問題研究所工作。然而，與該研究所同事們的接觸讓他有了一個舉世矚目的發現。他從同事那裡了解到一種被稱為「擴展圖」的連通網絡。馬古利斯在數日之內便使用表示論（一個抽象的、看似無關的領域）中的概念創立了擴展圖的第一個眾所周知的例子。他的發現是史無前例的，而且廣泛應用在計算機科學領域。

1978 年，當 馬古利斯公開現在稱之為正規子群定理（關於李群中的格子）時，他再次展現了自己以出人意料的方式證明定理的技巧。他的證據一方面是一種非常原始的順從群理論的組合，另一方面是表示論中的卡什但性質 (T)。

1984 年，他採用遍歷理論中的方法證明了奧本海姆猜想，這是一個於 1929 年首次提出的數論思想。比結果更重要的是以這種方式運用遍歷理論的整個想法，而這創造了一個新的領域，現稱同質動力學。最近三位菲爾茲獎獲得者林登施特勞斯(Lindenstrauss)、米爾扎哈妮、 (Mirzakhani)以及文卡特什(Venkatesh)的研究成果均基於Margulis 的早期思想。

Margulis 的研究成果不僅豐富，而且涉及多個領域。2008 年，《純數學與應用數學季刊》(Pure and Applied Mathematics Quarterly)刊登了一篇文章，列舉了 馬古利斯的主要成果，篇幅超過 50 頁。

2001 年，馬古利斯當選為美國國家科學院院士。他還是羅巴切夫斯基獎和沃爾夫獎獲得者。

馬古利斯與其夫人 賴莎(Raisa)育有一子，並有一個孫女。

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