我們在小學階段就開始接觸方程了，很多的難題一旦使用方程，就會輕而易舉的解決。
當然，我們中小學遇到的方程的難度還不是最大的。
16 世紀，數學家們成功地用「根式」解決了二次、三次與四次方程的求解問題之後，接著對方程進行了更加深入的研究。
當數學家們試圖求解「一元五次方程」的時候，忽然發現無法用「根式」求解了。
在之後的近三百年裡，無數的數學家沉迷於「五次方程」的破解，成了數學界最迷人的挑戰之一，但一直沒有人獲得成功。
1770 年，拉格朗日發表了《關於代數方程解的思考》，他討論了人們所熟知的解二、三、四次方程的一切方法，並且指出「這些成功解法」無法解出五次以及更高次的方程。
「拉格朗日」試圖對自己的猜測給出有力的證明，然而，經過艱辛的努力之後，還是失敗了，他稱一元五次方程「好像是在向人類的智慧挑戰」。
不久之後，數學家「魯菲尼」和「阿貝爾」分別獨立證明了一般高於4次以上的方程不能用「根式法」求解，被稱為「阿貝爾一魯菲尼定理」。
接下來，「阿貝爾」和「伽羅瓦」進一步證明了「一般一元五次方程沒有根式解」。這裡值得注意的是「一般」這兩個字，說明某些「特殊的」一元五次方程有可能用「根式」求解。
但是到底是哪些「特殊的方程」可以求解呢？可惜的是，年輕的數學天才阿貝爾還來不及找到答案就因病去世了，年僅26歲。
後來，另一位更加年輕的天才數學家「伽羅瓦」所得出了「判別式」。
可惜的是這位與阿貝爾同樣才華橫溢卻屢不得志的年輕數學家，在研究成果尚未得到承認之前就去逝了，年僅21歲。
伽羅瓦去逝之後，法國數學家劉維爾一次偶然的機會閱讀了「伽羅瓦」的論文，驚訝地發現「伽羅瓦」早就在論文中給出了「代數方程可解性的最終判定」，而且獨創了一個嶄新的數學分支——「群」。
伽羅瓦的「置換群」是數學史上最先提出來的「群」概念。
某個數域上「一元n次多項式方程」的「根」之間的「某些置換」所構成的「置換群」被定義為該方程的「伽羅瓦群」。
1832年，伽羅瓦得出了這樣一個重要的結論：一個「一元 n次多項式方程」能用「根式求解」的一個「充分必要條件」是：該方程的「伽羅瓦群」一定為「可解群」。
至此，這個近300年懸而未決的重大難題，用「群論」的方法徹底解決了，將數學的發展又推向了一個嶄新的高度！
然而遺憾的是，兩位為此難題的解決付出了艱辛努力的年輕數學家「阿貝爾」和「伽羅瓦」，卻沒有親眼看到自己的成果被肯定的那一天。
斯人已逝，唯有他們的名字，深深地篆刻在了人類文明進程的豐碑上，閃爍著璀璨的光輝，激勵著一代又一代的數學家前僕後繼地繼續勇敢前行。
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