宇稱時間對稱性聲學

作者：祝雪豐 彭玉桂 沈亞西 (華中科技大學物理學院)

自然界中各種各樣的物理現象都存在一些內在的不變性或對稱性。例如，物理過程在空間反演和時間反演下能夠回到初始狀態，對應於物理學中兩個基本對稱性：宇稱和時間對稱。對於人眼看不見的微觀過程，宇稱和時間對稱依然扮演著十分重要的角色，確保了物理可觀測量為實數和機率守恆。具體而言，微觀過程中波函數分布為ψ(r，t)的粒子時空演化規律可由薛丁格方程來描述：

其中ψ為粒子波函數時空分布，H為哈密頓算符，r為粒子空間位置坐標矢量，t為時間，i為虛數單位。宇稱作用算符P 和時間作用算符T 分別定義為Pψ( r，t) = ψ(-r，t) 和Tψ(r，t) =ψ*(r， - t) 。若H=PTHPT，我們稱該哈密頓算符為宇稱時間對稱算符。經典量子力學中，哈密頓算符一般要求為厄米算符，其滿足宇稱時間對稱性且本徵值為實數(可觀測量)。1998年，Bender 和Boettcher 研究了非厄米哈密頓算符宇稱時間對稱性和本徵譜之間的關係，指出非厄米—算符本徵值在宇稱時間對稱性下亦可為實數，並進一步發現非厄米—哈密頓算符宇稱時間對稱性破缺會導致本徵值由實數變為複數。而後，宇稱時間對稱量子體系相關研究如火如荼地開展。然而由於滿足宇稱時間對稱性的勢場在現實中難以構建，相關實驗證實仍然缺乏，因此關於宇稱時間對稱在量子體系中的重要性仍在爭論之中。近些年來，研究人員發現通過時變薛丁格方程和近軸衍射方程形式相似性可在經典波體系中構建滿足宇稱時間對稱性的系統，如圖1 所示。對於宇稱時間對稱經典波系統， 其材料折射率滿足實部對稱分布nR(x) = nR(-x) 和虛部反對稱分布nI(x) = -nI(-x) ，例如， n = exp(ikx) ，i 為虛數單位。那為什麼研究人員對經典波體系中宇稱時間對稱性很感興趣呢？主要原因有三：第一，由於經典波體系實驗技術較為成熟，我們可以在經典波體系中構建宇稱時間對稱系統，從而具體研究其相關性質；第二，宇稱時間對稱系統是開放系統，其散射矩陣本徵值一般為複數且存在多重簡併點。簡併點在物理上對應於奇點。在簡併點附近，系統會呈現出一些有趣的特性，例如，非零幾何相位、單向衍射、激射和完美吸收共存體等。另外，滿足宇稱時間對稱性的開放系統會展現出封閉系統的一些性質；第三，在很多物理過程中，損耗一般被視為是一種有害因素，應當儘量抑制，而宇稱時間對稱系統卻將損耗利用起來實現一些有用的功能，這在物理和應用上非常具有啟發性。

圖1 時變薛丁格方程和近軸衍射方程

鑑於時變薛丁格方程和近軸衍射方程形式相似性，我們很自然地會考慮在聲學領域構建宇稱時間對稱系統。我們發現當材料彈性模量滿足κ(r) = κ*(-r) 和密度滿足ρ(r) = ρ(-r) 時，整個系統滿足宇稱時間對稱性。為了更為直觀地闡述聲學宇稱時間對稱系統的相關性質，我們設計了一個簡單的一維聲學宇稱時間對稱系統，如圖2所示。然而，我們發現材料彈性模量須為一個複數，且虛部空間分布有正有負。一般而言，自然界中聲學材料彈性模量虛部為正，表明材料存在由彈性粘滯導致的聲損耗。若彈性模量虛部為負，則意味著該材料是一種聲學增益媒質，目前人們還未發現天然的聲學增益媒質。對於簡單的一維雙埠系統，我們可通過設計精巧的電路反饋系統，結合麥克風和揚聲器等輔助設備，構建出一種等效的聲學增益系統(其散射矩陣與特定長度聲學增益媒質完全相同)。圖2 中，一維聲學宇稱時間對稱系統由3 個損耗(增益)區域和5 個無損區域構成。其中，損耗(增益)媒質的材料參數為： κl(g) = 1.75 × 105 ± 1.72 × 104i Pa (i 為虛數單位)和ρl(g) = 1.49 kg/m3 ，無損媒質的材料參數為：κp = 1.42 × 105 Pa 和ρp = 1.2 kg/m3 。

對於滿足宇稱時間對稱性的一維雙埠系統(圖2)，其左右反射係數rL(R) 和透射係數t 滿足下式：

進一步我們可以推導出左右反射率RL(R) ≡ |rL(R)|2和透射率T ≡ |t|2 滿足下式：

公式(3)是無損封閉系統中能量守恆公式的一種推廣。當T<1 且RL=RR=R 時，我們可以得到更為熟悉的能量守恆關係式T+R=1。在一維宇稱時間對稱系統中，由於材料參數虛部的不對稱性，左反射率RL與右反射率RR一般不相同。一個很有趣的效應會發生在完全透射情況。根據公式(3)，當T=1，我們可以得到左右反射率乘積為0，即RLRR=0。這時，宇稱時間對稱系統可能處於三種狀態。狀態一，系統的左右反射率一個為零，一個為非零有限值， 例如RL=0 和RR≠0； 狀態二，系統的左右反射率一個為零，一個為無限大，例如RL=0 和RR=∞ ； 狀態三，系統的左右反射率均為零，即RL=RR=0。

圖2 一維聲學宇稱時間對稱系統示意圖。該系統在散射矩陣本徵譜簡併點處呈現單向透明。L區域填充損耗媒質，其長度為0.148 m。G區域填充增益媒質，其長度為0.148 m。其餘區域填充無損媒質，其長度為0.015 m

基於聲學傳遞矩陣法，我們可以計算出圖(2)所示一維宇稱時間對稱系統的聲散射矩陣S = {t，rR；rL，t} ，從而得到系統的散射特性(圖3)。根據圖3(a)和(b)的結果，我們得到當透射率小於1 時(頻率大於6000 Hz)，左右反射係數位相相等；當透射率大於1 時( 頻率小於6000 Hz)，左右反射係數位相相差π。另外，系統透射係數位相與左右反射係數位相相差±π/2。當透射率等於1 時(頻率等於6000 Hz)，我們發現左反射係數位相發生π 躍變，此時左反射率嚴格為0 (RL=0)；右反射係數位相連續變化，此時右反射率不為零(RR≈0.39)。這裡需要說明的是，系統全透射情況下，單向反射效應並不對應於系統單向隱形，這是因為聲波經過宇稱時間對稱系統和相同長度均勻背景媒質所產生的相位延遲並不相同。因此，對於左入射情況，即使透射率為1，反射率為0，我們依然可以通過測量相位信息來判斷該宇稱時間對稱系統是否在聲傳播路徑上。

圖3 (a)一維宇稱時間對稱系統中左右反射和透射分量的相位；(b)一維宇稱時間對稱系統中左右反射和透射分量的幅度；(c)一維宇稱時間對稱系統散射矩陣本徵值的絕對值譜圖；(d)一維宇稱時間對稱系統散射矩陣本徵向量第二個分量的實部和虛部頻譜圖(第一個分量歸一化)

一維宇稱時間對稱聲學系統中，透射率從小於1 變為大於1 可與宇稱時間對稱性破缺相關聯。對於雙埠聲學系統，散射矩陣的本徵值可表示為λ1，2 = t ±√rLrR ，本徵向量轉置可表示為(1± √(rL/rR ))。利用公式(2)，散射矩陣的本徵值可進一步寫成λ1，2 = t(1 ± i √((1 - T )/T) )，i 為虛數單位。本徵值絕對值譜圖如圖3(c)所示。當透射率小於1時(頻率大於6000 Hz)，兩個本徵值共軛且絕對值為1( | λ1| = | λ2|= 1 )，這時系統處於宇稱時間對稱狀態；當透射率大於1時(頻率小於6000 Hz)，兩個本徵值絕對值一個大於1， 一個小於1( | λ1| ≠ | λ2|)，這時系統處於宇稱時間對稱破缺狀態。我們可以進一步考察本徵向量第二個分量±√ (rL /rR) 的譜圖，如圖3(d)所示。藍色曲線對應於宇稱時間對稱狀態，此時本徵向量分量均為實數；紅色曲線對應於宇稱時間對稱破缺狀態，此時本徵向量分量均為虛數。值得一提的是，這些宇稱時間對稱系統的相關性質在光學和電子學等領域被理論和實驗所證實。

鑑於聲波方程在坐標變換下形式保持不變，我們可以將宇稱時間對稱聲學和變換聲學結合起來，從而設計各種單向響應聲學器件。這一節中，我們介紹一種單向隱形聲學鬥篷。我們首先在虛空間(r，θ) 構建一種特殊的宇稱時間對稱聲學媒質，其材料參數復調製滿足δeiβ ⋅ r ，如圖4(a)和(b)所示。其中， δ 和2π/| β | 分別為復調製的強度和周期。圖4(a)和(b)中，宇稱時間對稱聲學媒質材料密度和模量為： ρ0 = 1.2 kg/m3和κ0 =1.42 × 105{1 + 0.1 exp[i 219.7r cos(θ)]} Pa(r < 0.1 m)，i 為虛數單位。空氣的密度和模量分別為：ρ0 = 1.2 kg/m3 和κ0 = 1.42 × 105 Pa 。然後，我們建立一個虛空間(r，θ) 和實空間(r′，θ′) 的映射關係式： r = f (r′) 和θ = θ′ ， 其中f (r′) =0.1(r′- 0.05)/(0.1 - 0.05) (0.05 < r′< 0.1 m) 。根據變換聲學理論，我們可以得到在實空間中宇稱時間對稱聲學隱身衣的材料參數分布：

事實上，材料參數復調製δeiβ ⋅ r 可以等效為一個復聲柵，其可提供一個單向波矢β。波矢為k1 的入射平面波與復聲柵相互作用，可產生一個波矢為k1 + β 的衍射模式。入射平面波與衍射模式之間的模式躍遷只有當位相匹配大致滿足時才會發生，即δ = k1 + β - k2 ≈ 0 ，其中k2 是衍射模式的波矢且|k1| = |k2| 。如果入射平面波與衍射模式之間位相失配δ ≠ 0 ，模式躍遷則被有效抑制。宇稱時間對稱聲學隱身衣的工作原理如圖4 所示。當平面波從左側入射時， 由於位相匹配大致滿足k2 ≈ k1 + β (如圖4(a)中波矢關系所示)，我們可以觀察到明顯的布拉格反射分量，從而能夠感知被隱身物體的存在。當平面波從右側入射時，由於位相失配， k2 ≪ k1 + β (如圖4(b)中波矢關系所示)，散射分量為倏失波，物體被完美隱身。圖4(c)和(d)展示了實空間宇稱時間對稱聲學隱身衣的單向隱身效果。這裡需要說明的是，在圖4(c)中，位於宇稱時間對稱聲學隱身衣右側的觀測者依然看不見被隱形的物體，這是因為滿足位相匹配的衍射分量為反向傳輸，無法傳至右側的觀測者。事實上，我們可以通過設計讓滿足位相匹配的衍射分量前向傳輸。然而，由於Lorenz(洛倫茲)互易的約束，滿足位相匹配衍射分量的傳輸方向不能為正前方，即不能和入射波傳播方向一致。

圖4 (a)和(b)分別為虛空間中聲波左右入射單向隱形聲學鬥篷對應的聲壓場圖；(c)和(d)分別為實空間中聲波左右入射單向隱形聲學鬥篷對應的聲壓場圖。當平面波從左側入射時，由于波矢 k匹配，我們可觀測到一個強反射分量，從而能夠感知隱形鬥篷的存在。當平面波從右側入射時，由于波矢 k失配，系統無反射分量從而完美隱形。入射聲波波長為0.0572 m，坐標單位為m

宇稱時間對稱聲學鬥篷單向隱身並非一個窄帶效應。圖5(a)表明在入射聲波頻率為5 kHz 到8 kHz 範圍內都能觀測到單向隱身效應。然而需要說明的是，宇稱時間對稱聲學鬥篷的單向隱身頻段也極大地受限於超常材料自身的強色散性質。圖5(b)表明在入射角偏離水平線正負30 度範圍內都能觀測到單向隱身效應。我們也可以基於相同的原理設計一個單向隱形地毯鬥篷。虛空間中，如圖6(a)和(b)所示，媒質材料密度和模量分別為： ρ0 = 1.2 kg/m3 和κ0 = 1.42 × 105 ×{1 + 0.03 exp(i2πz/(0.4 √2))}Pa (z<10m)，i 為虛數單位。實空間單向隱形地毯鬥篷的材料參數可由變換聲學理論得到。模擬結果表明：當平面波從左側入射時，由于波矢k 匹配，我們除了鏡面反射以外，還可觀測到兩個強反射分量，從而能夠感知地毯鬥篷的存在。當平面波從右側入射時，由于波矢k 失配，系統除了鏡面反射以外無其他散射分量從而完美隱身。

圖5 (a)宇稱時間對稱隱形鬥篷散射截面與頻率關係圖(藍色和紅色曲線分別代表左入射和右入射聲波的散射截面隨頻率變化圖)；(b)宇稱時間對稱隱形鬥篷散射截面與入射角關係圖(入射聲波頻率為6 kHz且0º入射角對應於左側入射)

圖6 (a)和(b)分別為虛空間中聲波左右入射單向隱形地毯鬥篷對應的聲壓場圖；(c)和(d)分別為實空間中聲波左右入射單向隱形地毯鬥篷對應的聲壓場圖(入射聲波波長為0.8 m，坐標單位為m，水平方向為z方向)

這一節中，我們考慮另外一種折射率調製方式的宇稱時間對稱晶體。該晶體的折射率分布如圖7 所示。對於損耗區域，折射率分布為n1(z) =n0 + Δn + iΔn ， mL≤z ≤ (m+ 1/4)L 和n2(z) = n0 - Δn + iΔn ， (m+ 1/4)L ≤ z ≤ (m+ 1/2)L 。對於增益區域，折射率分布為n3(z) = n0 - Δn - iΔn，(m+ 1/2)L ≤ z ≤ (m+ 3/4)L 和n4(z) = n0 + Δn - iΔn，(m+ 3/4)L ≤ z ≤ (m+ 1)L 。其中m為整數，從1 取到N，N為宇稱時間對稱晶體中原胞數； n0 為背景媒質折射率； Δn 為折射率實部和虛部調製幅度；L為宇稱時間對稱晶體原胞長度；z 為沿晶體折射率調製方向坐標軸；i 為虛數單位。L 滿足布拉格反射條件，即L = λ/(2n0) ，其中λ 為波長。基於傳遞矩陣法，我們可以推導出左右反射係數rL(R) 和透射係數t分別為

其中， M11 ， M12 ， M21 和M22 為總傳遞矩陣的各個元素，M的右上標星號表示共軛操作。通過數值計算，我們發現當原胞數N為特定數值時，可以得到|M11|= |M22|= 1 和M12 =M21 = 0 。將其代入公式(5a)—(5c)，則有一維晶體左(右)側反射率RL(R) = 0 和透射率T=1。

圖7 一種宇稱時間對稱晶體示意圖。材料折射率n͂的實部n 和虛部κ沿著z 方向方波調製。其中實部是關於z=0 對稱(藍色實線)，虛部是關於z=0 反對稱(紅色虛線)。實部和虛部調製之間存在π/2 的相移

為了驗證上述結論的可靠性，我們舉一個簡單的例子。假設背景媒質折射率n0 = 3 和折射率實部和虛部調製幅度Δn = 0.2 ，我們分別計算出宇稱時間對稱晶體的左側反射率RL ，右側反射率RR 和透射率T，如圖8 所示，其中宇稱時間對稱晶體原胞數N從1 變到800。從圖8 中，我們發現宇稱時間對稱晶體的左側反射率RL 、右側反射率RR 和透射率T隨原胞數增加發生振蕩，且振蕩周期為275。數值計算表明宇稱時間對稱晶體在周期數為275 的整數倍時表現為正反方向均透明。由於該宇稱時間對稱晶體可以等效於一個提供單向波矢的復聲柵，我們在圖8 中觀測到左側反射率的振蕩幅度( RL < 7.117 × 105 )要遠小於右側反射率的振蕩幅度( RR < 834 )。

圖8 宇稱時間對稱晶體的左側反射率(a)，右側反射率(b)和透射率(c)。宇稱時間對稱晶體原胞數N從1 變到800

由於宇稱時間對稱晶體折射率虛部調製關於z=0 不對稱(如圖7 中紅色虛線所示)，正反方向波入射對應的晶體內場分布應不相同。如圖9 所示，當宇稱時間對稱晶體原胞周期數N=275 時，雖然波從左側或右側入射，反射均為0 且透射率均為1，但是晶體內場的分布依然能夠體現出材料對波的方向響應特性。例如，當波從左側入射時，場強沒有明顯的增強效應(圖9(a))；但是當波從右側入射時，場強體現出約3 個數量級的增強效應(圖9(b))。幹涉條紋類似於法布裡—珀羅基頻共振。我們還發現正反方向波入射對應的晶體內場分布關於原點都對稱，因此場強在增益和損耗媒質中的分布比重各佔一半。這時，由增益媒質產生的能量完全被損耗媒質所吸收，最後入射波經過該晶體後不發生衰減。值得一提的是，當入射波頻率發生改變時，我們還發現法布裡—珀羅共振諧頻分量可分為藍移和紅移兩支，此時基頻並非離散共振頻率最低值。對於相同階藍移和紅移諧振模式，雖然頻率不相同，但是場分布極為類似且均為單向局域。

圖9 當宇稱時間對稱晶體原胞周期數N=275 時，波分別從(a)左側和(b)右側入射對應的場分布圖(圖中晶體內波場幅度和晶體長度均相對於入射波幅度和波長進行歸一化處理)

近些年來，彈性波傳感器件蓬勃發展。一種簡單的彈性波傳感方式是基於諧振腔共振。當腔體的長度或材料參數由於溫度或者應力等發生細微改變時，彈性波諧振峰會發生明顯偏移。該傳感方式的靈敏度取決於彈性波諧振峰的Q值，因此提高探測峰的Q值有極大的應用意義。這裡，我們設計了一種一維宇稱時間對稱晶體諧振腔，如圖10 所示。A 和B 為兩種不同的固體材料。L 和G表示損耗和增益媒質區域。中間紅色區域為引入的一個缺陷腔體。固體材料我們選擇環氧樹脂和硬矽膠。環氧樹脂材料參數為：密度1.180×103 kg/m3，縱波速度2540 m/s；硬矽膠材料參數為：密度1.415×103 kg/m3，縱波速度948 m/s。

圖10 一維宇稱時間對稱晶體諧振腔示意圖(晶體結構參數：dA=18 mm，dB=6 mm和dt=1 mm)

我們首先考慮一種最簡單的無損情況，即一般的聲子晶體諧振腔結構。當材料A和B分別為環氧樹脂和硬矽膠時，聲子晶體諧振腔存在P 模式局域態，其透射譜和場分布如圖11(a)和(b)所示。P 模式局域場分布特點是場強極大值位於缺陷腔中央且向兩側快速衰減。當材料A和B分別為硬矽膠和環氧樹脂時，聲子晶體諧振腔存在D模式局域態，其透射譜和場分布如圖11(c)和(d)所示。D模式局域場分布特點是場強零點位於缺陷腔中央且向兩側存在兩個極大值旁瓣。局域共振P模式和D模式對應的透射譜峰值等於1，頻率位置分別位於ω1 = 2.308 × 105 rad /s 和ω2 = 2.101 × 105 rad /s 。無損系統散射矩陣的本徵值譜圖如圖12(a)和(d)所示，其中局域共振P模式和D模式分別對應於一個本徵值兩重簡併點。

圖11 (a)和(b)分別為無損系統中缺陷態P 模式對應的透射譜和位移場分布；(c)和(d)分別為無損系統中缺陷態D模式對應的透射譜和位移場分布

當系統被引入損耗和增益並滿足宇稱時間對稱時，局域共振P模式和D 模式對應的本徵值兩重簡併點發生分裂，變成一對兩重簡併點，如圖12(b)和(e)所示。我們分別計算P模式和D模式對應的透射譜、左側反射譜(RL)和右側反射譜(RR)，如圖12(c)和(f)所示。我們發現，分裂後一對簡併點分別對應於系統單向左反射和單向右反射。具體而言，對於P模式，低頻簡併點對應於單向左反射，高頻簡併點對應於單向右反射；對於D 模式，低頻簡併點對應於單向右反射，高頻簡併點對應於單向左反射。單向反射條件下，根據公式(3)，我們可以得到透射率等於1。利用簡併點分裂效應，我們可以進一步設計一種高Q 值聲學傳感器件。比如，我們將左側和右側反射率比值作為一個間接測量物理量。當宇稱時間對稱系統中缺陷腔體長度dt發生變化時，分裂後一對簡併點在頻域會發生移動。這樣，固定一個探測頻率點，我們發現系統狀態會依次經過這一對簡併點，即從單向左(右)反射轉變為單向右(左)反射。如圖13 所示，當聲學傳感系統工作在P 模式下，我們設定工作頻率為2.309×105 rad/s。這時，系統隨著缺陷腔體長度dt增大，間接測量物理量RL /RR從近乎無限大變為0，對應的腔體長度變化量約為11 μm。當聲學傳感系統工作在D模式下，我們設定工作頻率為2.1005×105 rad/s。這時，系統隨著缺陷腔體長度dt增大，間接測量物理量RL /RR從0 變為近乎無限大，對應的腔體長度變化量約為7.5 μm。通過提高系統增益大小和降低簡併點分裂程度，我們可進一步提高宇稱時間對稱聲傳感器的靈敏度。

圖12 (a)和(d)分別對應無損系統中缺陷態P模式和D模式的系統散射矩陣本徵值譜圖；(b)和(e)分別對應為宇稱時間對稱系統中缺陷態P 模式和D模式的系統散射矩陣本徵值譜圖，其中藍色實線和紅色實線對應於散射矩陣兩個本徵值；(c)和(f)為宇稱時間對稱系統中缺陷態P模式和D模式分別對應的透射譜(黑色實線)，左側反射譜(紅色實線)和右側反射譜(藍色實線)

圖13 宇稱時間對稱系統中缺陷態P模式和D模式分別對應的左右側反射率比值RL/RR隨缺陷腔體長度dt變化圖(該聲學傳感系統在P 模式下工作頻率為2.309×105 rad/s，在D模式下工作頻率為2.1005×105 rad/s)

文章中簡單回顧了宇稱時間對稱聲學的一些進展。我們展示了聲波和宇稱時間對稱系統相互作用展現出來的一系列新奇效應，例如單向聲隱身、單向聲局域和聲學系統散射矩陣簡併點分裂等。這些效應在無損系統中難以實現且具有理論探索價值和潛在應用前景。目前，宇稱時間對稱聲學大多停留在理論研究階段，實驗實現仍然局限於雙單元線性系統。宇稱時間對稱聲學主要受限於聲學增益的實現。高維情況下，聲學增益已經很難用普通的反饋電路系統來等效實現，而壓電材料給我們提供了一種新的可能性。宇稱時間對稱聲學還可與近些年來比較熱門的研究領域相互交叉，例如拓撲聲學、變換聲學、非線性聲學和混沌聲學，從而衍生出更多的理論研究分支。我們期待未來有更多的理論和實驗工作不斷發掘和證實聲學宇稱時間對稱系統的奇特性質，並將其應用於現實生活當中。