原諒數學家們被吸引到怪物群中來，這是一個龐大而神秘的代數對象，他們花了近十年時間才證明它的存在。如今，30年過去了，弦理論家正試圖把這個怪物和他們的物理問題聯繫起來。這10^53個元素的集合有什麼讓數學家和物理學家興奮的地方？群體理論在很多方面是數學抽象的縮影，但它也是我們最熟悉的數學經驗的基礎。讓我們來探索對稱性的基礎知識和闡明其結構的代數。
我們喜歡說事物是對稱的，但這到底是什麼意思呢？直覺上，我們有一種對稱感，就像一種鏡像。假設我們在正方形中間畫一條垂直線。
這條線把正方形切成相等的兩部分，每一部分都是另一部分的鏡像。這個熟悉的例子叫做軸對稱。但還有其他對稱。例如，正方形也有旋轉對稱性。
在這裡，我們看到的過程是逆時針旋轉一個正方形的中心點。當它旋轉90度(四分之一圈)後，它看起來和以前一樣。正是物體的這種變換使得結果與原來的無法區分，從而定義了對稱性。上面的旋轉是正方形的一種對稱。
讓我們花點時間來定義幾個術語。我們稱原始對象為「原圖像」，將轉換後的對象稱為「圖像」，我們將使用術語「映射」來表示將一個對象(點、段、正方形等)轉換為另一個對象的過程。對稱要求變換不改變物體的大小或形狀。滿足這一要求的變換稱為「等距法」或「剛體運動」，基本的等距法是關於一條直線的反射、圍繞一個點的旋轉和沿著向量的平移。
現在我們繼續分析正方形的對稱性。我們知道一種對稱是「繞過中心的垂直線翻轉」;另一個是「繞中心逆時針旋轉90度」。「還有別其他類型的對稱嗎？」它們是什麼，有多少個？
首先，假設我告訴你，我們通過對稱變換了正方形，這就是結果。
應用了哪種對稱性？正方形旋轉了嗎？它翻轉了嗎？為了幫助我們識別特定的對稱，讓我們從標記原始正方形的頂點開始。
此外，我們一致認為，當我們描繪原始的正方形時，我們總是把它做上這樣的標記：左上角是A，右上角是B，右下角是C，左下角是D。
當我們變換方塊時，我們可以看到標籤的走向。例如，通過中心的垂直線翻轉後，正方形的圖像是這樣的：
相對於原來的標記，A現在在B的位置，B現在在A的位置。同樣，C和D交換了位置。以原來的標誌為ABCD，我們將此轉換後的新標誌命名為BADC。這說明，在這個變換下，A映射到B, B映射到A, C映射到D, D映射到C，我們可以用下面的方法來形象化這個符號：
我們總是將初始位置設為ABCD，因此列表中的相對位置描述了每個原始頂點在轉換中映射的位置。再舉一個例子，我們逆時針旋轉90度，這就是DABC，因為A映射到D, B映射到A，等等。
從技術上講，這隻描述了在一個變換下角的變化，但事實證明，這足以描述整個正方形的變化。這是因為對稱性可以保持物體大小和形狀不變。所以，一旦我們知道了正方形的角在哪裡，邊線就會跟著移動。換句話說，正方形的一條邊的像是由它的端點的頂點的像決定的。
這意味著我們可以通過四個字母A，B，C和D的某種排列完全指定正方形的對稱性。這本身很明顯，但同時也暗示了正方形的對稱性數量的上限：正方形的對稱性沒有這四個字母的排列多。有多少種這樣的對稱？
想一下把這些字母排列起來。你可以從這四個字母中的任何一個開始，但是一旦你選擇了一個字母開始，你就只有三個選擇。一旦你選擇了第二個字母，你將只有兩個選擇的第三個，最後將只有一個選擇的第四個字母。一個基本的技術參數告訴我們有然後
字母A、B、C和D的可能排列方式。因此，正方形最多有24種對稱。
事實上，正方形的對稱性遠少於24個，一個更簡單的論證將告訴我們為什麼。讓我們回到原來的圖表。假設我們知道正方形的對稱性將a映射到b。
答案是C只能映射到D, A和C是正方形對角線的端點。因為平移不會改變形狀和大小，所以在映射之前和之後，A和C之間的距離必須是相同的。如果A映射到B，在這個正方形上只有一個點與A現在的位置是對角線的長度，也就是D，這是C必須去的地方。
這大大減少了一個正方形可能的對稱的數目。假設我們構造一個對稱性；A點到底有多少種可能性？由於頂點必須到達頂點，因此A的圖像只有四種可能。一旦我們選擇了A的目的地，C的目的地就只有一種可能性：與A的圖像對角的頂點。這給B只留下了兩個選擇，並且類似的論據表明D只會有一個選擇。
最後，在確定正方形的對稱性時，實際上只有兩件事需要決定：A去哪裡(四個選擇)和B去哪裡(兩個選擇)。這意味著正方形只有4×2 = 8種可能的對稱。這是一個完整的列表，使用我們的符號：
現在，我們不能保證所有的八種可能都是正方形的對稱性。我們可以檢查和確認，的確，他們都對應於合法的對稱性：左邊的四個是旋轉(0,90,180和270度),和右邊的四個反射(兩個垂直和水平線，兩個對角線)。
所以這8個變換都是對稱的，既然我們已經確定了一個正方形最多有8個對稱，顯然我們已經找到了它們。但這真的是全部嗎？
當我們注意到一種組合對稱的自然方式時，就會產生一個問題：我們可以簡單地連續地應用它們。因為對正方形應用對稱性會得到同樣的正方形，你可以應用另一種對稱性，它會產生同樣的正方形。這意味著如果你連續應用多個對稱，這些對稱的組成本身就是正方形的對稱！我們可以通過上述八種不同的組合來產生新的正方形對稱性。
但是當我們嘗試的時候，有趣的事情發生了。假設我們把正方形逆時針旋轉90度，然後把它翻轉到通過中心的垂直線上。頂點會發生什麼？這兩個轉換可以被描述為
但是這種對稱性已經在我們的列表中了！逆時針旋轉90度，然後在通過中心的垂直線上進行反射，實際上是對對角線BD的翻轉。事實證明，上面八種對稱的每一種組合本身就是上面八種對稱中的一種。
現在我們已經揭示了這組對稱中固有的代數結構。當我們通過合成把兩種對稱結合起來時，我們得到了另一種對稱，就像我們通過加法把兩個數結合起來得到另一個數一樣。有一個單位對稱(旋轉0度)，它的作用就像數字0在我們的數字系統中的作用一樣。每一個對稱都可以被抵消，就像加3可以通過加-3抵消一樣：例如，把正方形旋轉90度可以通過把它再旋轉270度來抵消。
這些是組的基本代數性質，它們賦予組一種類似於我們熟悉的數字系統的結構和規律性，就像正方形的對稱集一樣。然而，對稱群也表現出它們自己複雜而微妙的特徵。例如，我們的正方形對稱組只包含8個元素，這與我們的無限數系統形成了鮮明的對比。雖然我們可以用一種類似於加法的方式來組合對稱，但我們組合對稱的順序是不同的：3 + 4 = 4 + 3，但翻轉後的旋轉不一定等於旋轉後的翻轉。