2010年考研數學線性代數考點及解題思路分析

2010年考研已經落下帷幕，想必大家一定會有很多收穫和感慨，很多參加考試的同學非常關心自己的成績，也都非常希望了解今年數學試卷整體的概況，現就今年考研數學線性代數部分的考點及解題思路作如下的分析。

考研數學中，線性代數課程特點比較鮮明：概念多、定理多、符號多、運算規律多、內容相互縱橫交錯，知識前後緊密聯繫。2010年的考題個別題目比2009年的考題稍微有一些難度，計算量稍微大一些；考試的內容沒有發生任何變化，原因是大綱上沒有發生變化，完全一致。下面從線性代數的六章內容分析一下今年線性代數部分的考點。

第一章行列式部分，從歷年考試情況來看，抽象行列式的計算是一個重要的考點。今年數學二、數學三就考了一個抽象行列式計算的填空題，其中涉及到的知識點有：矩陣乘積的行列式和矩陣逆的行列式，這道題只要找到所求矩陣和已知矩陣之間的關係，相對來說就比較簡單了。

第二章矩陣部分，從歷年考試情況來看，伴隨矩陣、矩陣的秩、初等變換和初等矩陣、可逆矩陣、分塊矩陣等這些內容是考試的重點內容。今年數學一考了一個矩陣的秩的選擇題，這道考題實際上涉及到的兩個基本的知識點，一個是矩陣乘積的秩，即r(AB)<=r(A),r(AB)<=r(B)；另一個是矩陣的秩的一個性質，即若A為m*n矩陣，則r(A)<=m，r(A)<=n，由這兩個知識點我們就可以得到相應的結論，而08年數一的一道大題同樣考的是矩陣秩的性質，這兩道題用到了相同的知識點。其實，矩陣的秩這個知識點基本上每年都會有所涉及，大家要引起足夠的重視。

第三章向量部分，從歷年考試情況來看，線性相（無）關、線性表出、極大無關組、向量組的秩及等價、向量空間（數一）等內容是考試經常會涉及到的內容。今年這部分內容中涉及到了線性表出和線性相（無）關結合的一道選擇題，如果知道如下結論：1.向量組（I）可由向量組（II）線性表出，則r(I)<=r(II)，2.若向量組(I)：線性無（相）關，則，這道題就很容易解決了。另外，對於數學一的考生，向量這部分還考察了一個向量空間維數的填空題，只要知道向量空間維數的定義，這道題考察的就是向量組的秩，但是前提是考生理解向量空間維數的概念，所以說對於2010的考生，必須充分理解基本概念，掌握定理的條件、結論、應用，熟悉符號意義，掌握各種運算規律、計算方法，並及時進行總結。

第四章方程組部分，從歷年考試情況來看，齊次（非齊次）線性方程組的求解及解的判定，解的結構、公共解、通解等是考試的重點內容。今年和09年都考了非齊次線性方程組的求解，但是這部分內容中，具體的求解是比較簡單的，難的部分就是抽象方程組的求解，這樣的題型涉及到解的結構，並且需要認真的分析才能夠很好的解決問題。

第五章特徵值、特徵向量部分，從歷年考試情況來看，特徵值、特徵向量的求解以及性質、矩陣的可相似對角化及可相似對角化的條件、實對稱矩陣的相似對角化及一些相應的性質等是考試中涉及頻率較高的考點。今年涉及到這部分的題目有：數一、數二、數三都涉及到的一道選擇題，已知A為四階實對稱矩陣，，且r(A)=3，求A相似於什麼樣的對角陣，這道題實際上就是求A的特徵值；數學二、數學三涉及到一個實對稱矩陣相似對角化的大題，這道題的關鍵在於已知，存在正交矩陣，使得為對角陣，且的第一列為，由此可得A對應於的特徵向量為，只要考慮到這個關鍵點，下面的做起來就得心應手了，這個關鍵點也是線性代數考題中的一大亮點。

第六章二次型部分，從歷年考試情況來看，將二次型化為標準形、判斷二次型的正定等是主要考察的知識點。今年只有數學一考了一個二次型化為標準形的大題，其實，這道題和數學二、數學三考察的實對稱矩陣的問題是同一個知識點，只是換了一個出題方式而已。

對於2011的考生來說，線性代數部分的複習要重視基礎，基本概念、基本性質和基本方法一直是考研數學的重點，線性代數更是如此。要重視基本概念、基本性質和基本方法的理解與掌握，多做一些基本題來鞏固基本知識。注重分析概念和方法之間的聯繫和區別。線性代數的內容不多，但基本概念和性質較多。他們之間的聯繫也比較多，特別要根據每年線性代數考試的兩個大題內容，找出所涉及到的概念與方法之間的聯繫與區別。例如：向量的線性表示與非齊次線性方程組解的討論之間的聯繫；向量的線性相關（無關）與齊次線性方程組有非零解（僅有零解）的討論之間的聯繫；實對稱陣的對角化與實二次型化標準型之間的聯繫等。掌握他們之間的聯繫與區別，對大家做線性代數的兩個大題在解題思路和方法上會有很大的幫助。

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