今天的這篇文章是我在刷算法題的時候遇到的，最簡單的方法是直接調用java裡面的Sqrt函數，不過有時候題目中會要求我們不能使用庫函數，所以在這裡我們自己定義Sqrt方法。
最常見的思路有兩種，第一種是二分法，第二種是牛頓的微積分思想。沒錯，想當年大學時候學了很久很痛苦的微積分，被我第一次派上用場了。對於這兩種方法我們一個一個看。
一、二分法
二分法的思想很簡單，就是從0到N不斷地去縮小範圍來找一個一個滿足精度的最佳值。我們舉一個函數的例子：
這就是二分法的思想，求平方根也是，我們從0到value取出中間值，然後不斷地比較，假設value=10，查找區間為（0，10），這時候取（0,10）的中間值mid=5，mid*mid再和value比較之後，確定下一次查找的區間變為（0，5），依此類推。一直到滿足我們需要的精度即可。下面我們使用java代碼實現一下：
在這裡value就是我們要求的數字，t表示的是精度。這個方法在這，大家可以測試一遍。不過在這裡有一個小小的問題需要我們去注意：
如果我們對整數9取平方根，結果不是3，這裡有精度損失，損失的原因之一是和計算機有關的，因為計算機的底層其實只有0和1，所以會無限的接近，而不能精確表示。
以上就是二分法求解的思想，這個思想很簡單，不過實現的方法卻是有一點點麻煩。在這裡我們開始介紹第二種方法，那就是牛頓的微積分思想
二、牛頓迭代法
牛頓的微積分的思想就是無限接近，在這裡提一句，如果你是數學大佬就不要追究思想到底是啥了。對於求平方根來說，使用切線來無限逼近的方式有時候能起到意想不到的效果。
設r是f(x) = 0的根，選取x0作為r初始近似值，過點（x0,f(x0)）做曲線y = f(x)的切線L，L的方程為y = f(x0)+f'(x0)(x-x0)，求出L與x軸交點的橫坐標 x1 = x0-f(x0)/f'(x0)，稱x1為r的一次近似值。過點（x1,f(x1)）做曲線y = f(x)的切線，並求該切線與x軸交點的橫坐標 x2 = x1-f(x1)/f'(x1)，稱x2為r的二次近似值。重複以上過程，得r的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，稱為r得n+1次近似值，上式稱為牛頓迭代公式。
我們使用一張圖來演示一下：
這種方式也很好理解。所以我們直接來看實現：
上面的方法同樣可以表示。而且我們可以看到，牛頓的這個方法其實更加的簡單。而且精度也更好。