求2的平方根的三種方法

2021-02-19 數學佬

什麼？還需要求的嗎，不就是等於1.414（要死要死）麼！

不過，我要問的是，後面呢？

呃，按個計算器不就搞定了嘛……

不過，我要問的是，計算器後面是什麼呢？計算器是怎麼算出

我們來介紹一下幾種計算方法，數學往往是這樣，看起來挺無聊的，但用於解悶倒是非常合適。

閱讀本文，請準備一支筆和一個小計算器。（對自己的筆算功底非常有把握的可以不要計算器）

第一種解法，豎式計算。

先得介紹下豎式怎麼算開方數。

我們可以知道，一個數一個數來湊哈。

顯然，個位數應該為1，繼續

每一次補位，都是補00，兩個。邊上的20是第一步算出的結果1×20，其中4是不等式的最大整數解，這是第二個準確數。

 

於是得到第三個準確數1。接下來同樣操作即可。

為了美觀，我就不對齊數位，把運算豎式寫出來您可以對照下。

 

聰明睿智的你一定發現了，最麻煩的一元二次不等式，其實不用管那個二次項，直接估算一下就可以了。

豎式計算開方的優點是準確，通過這個方法得到的每一位都是準確值，缺點嘛……實在太慢了，即使丟掉可以快速提高速度，還是很慢。

第二種解法。二分法。

來呀，拿出計算器動手試試

a

b

x

f(x)=x^2-2

b-a

1

2

1.5

0.25

1

1

1.5

1.25

-0.4375

0.5

1.25

1.5

1.375

-0.109375

0.25

1.375

1.5

1.4375

0.06640625

0.125

1.375

1.4375

1.40625

-0.022460938

0.0625

1.40625

1.4375

1.421875

0.021728516

0.03125

1.40625

1.421875

1.4140625

-0.000427246

0.015625

1.4140625

1.421875

1.41796875

0.010635376

0.0078125

1.4140625

1.41796875

1.416015625

0.00510025

0.00390625

1.4140625

1.416015625

1.415039063

0.002335548

0.001953125

1.4140625

1.415039063

1.414550781

0.000953913

0.000976563

我們發現，這個雖然很高級，但是精確度還不如豎式計算，精度設置為0.001需要10步，其準確值只有3位小數。

二分法的優點是容易理解，數學上不難，在預設誤差條件下還是符合要求的。缺點嘛……不夠精確，速度也不快。

第三種解法。牛頓迭代法

這個解法是這樣的，先猜一個數x0，隨便猜，然後代入公式逐個計算。

拿出計算器，先動手試試比較有感覺哈。

n

x

0

4

1

2.25

2

1.569444444

3

1.421890364

4

1.414234286

5

1.414213563

   6

1.414213562

只要算6次就好了，因為再算下去，結果也是一樣，已經不會變了，計算器的精度用盡了。

牛頓迭代的方法優點是快，真快。我猜4已經很變態了，求2的平方根居然猜4，但速度還是超級快。缺點嘛……看不懂，真的看不懂。（呵呵）

那個迭代公式是何方神聖？我把數學過程一寫您就明白了。對證明沒興趣的讀者可以跳過。

噹噹當，公式閃亮出場！（不過，我估計您還是不懂）

數學佬說過，但凡不懂，就先畫個圖，說不定就懂了。

求2的平方根，其實就是求

 

終於明白了，原來，每一次求切線與x軸交點，實際上是用切線近似地替代原來的函數，然後每一次都會與原函數的零點更接近。

其實，計算還有一個解法，也很快，叫連分數，不過這個辦法只能用於一個數，而不具有推廣性，我們就不介紹了，希望了解連分數可以看前面的文章（不考試的數學（36）連分數）。

 

寫後記：突然有種「細思極恐」的感覺，這個問題太象高考題了。稍微變一變，比如把函數換一換就是一道現成的高考壓軸題呀！

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