一個以解「簡單的難題」而出名的數學新星在冉冉升起

2020-12-04 量子認知

一位以解決看起來最簡單、然而又非常艱巨的數學難題而聞名的數學明星在冉冉升起。他的名字叫詹姆士·梅納德,英文名:James Maynard。可能是因為太年輕,在中國鮮有人知,但是在國際數學界卻是一位響噹噹的數論數學家明星。

梅納德於2009年獲得劍橋大學的學士、碩士學位後,在牛津大學獲得博士學位,2017年至今為牛津大學教授。

梅納德具體有什麼樣的數學成就?為什麼在國際數學界相當有名?下面簡要介紹幾個他的數學成就。

2013年11月,梅納德給出了張益唐定理的另一種證明。美籍華裔數學家張益唐於2013年4月在《數學年刊》發表《素數間的有界間隔》,首次證明了存在無窮多對間隔為有限的素數,具體間隔小於7000萬,從而在孿生素數猜想這一數論難題上取得質的突破。

梅納德在此不久後給出了一種完全獨立的另一種證明,給出了比張益唐定理更為強大的方法,它確定了無限多的質數對,最多相差600。該方法不僅適用於素數對,而且適用於三重對、四重對和更大的每個都有不同的界限的集合。史丹福大學數學教授、坎南·桑達拉拉揚(Kannan Soundararajan)評價道:「這樣的結果似乎令人驚訝,而且太好了,看起來無法實現。」

梅納德這一方法顯著改善了所具有的質數對間隔範圍。隨後,基於梅納德這一方法,通過「Polymath8b」的共同努力,將此素數間隔的大小又減小到了246。

Polymath,英文原意為博學家,「Polymath」指的是眾多數學家之間的合作項目,旨在在數學家們之間通過協調,在尋找最佳解決方案的途徑中,相互交流來解決重要的難題。該項目已發展成為了使用在線協作解決任何數學問題的特定平臺。

Polymath8為Polymath數學平臺的第八個項目,專題是:以改善素數間隙的界限,它目前包含兩個組成部分:

Polymath8a:「素數之間的有界間隔」,系通過張益唐的技術來改善無限次獲得的連續素數之間最小間隙的界H,該項目目前的結果為H = 4,680;Polymath8b:「有許多素數的有界區間」,通過結合Polymath8a的結果進一步提高H1的項目,即為梅納德的技術,目前的結果為H = 246。上述Polymath8項目的兩個組成部分都產生了論文,其中Polymath8b的研究成果是以化名D.H.J.Polymath發表的。

根據Polymath8b記錄,在張益唐的研究發布後的近一年裡,即在2014年4月14日,「素數之間的有界間隔」已減少到為246。此外,Polymath8b項目指出:假定Elliott-Halberstam猜想及其廣義形式成立,「素數之間的有界間隔」已分別減少到了12和6。

2014年8月,梅納德獨立於Kevin B.Ford,Ben Joseph Green,Sergei Konyagin和著名華裔數學家陶哲軒,解決了著名數學家、埃爾德什·帕爾(Paul Erds)關於在質數之間存在較大差距的長期猜想,獲得帕爾獎金。

當梅納德和其他數學家組成大規模的合作以降低張益唐所證明的7000萬界限時,引起了陶哲軒的注意。陶在相同的時間範圍內也得出了與梅納德基本相同的結果。當陶得知一個鮮為人知的26歲的年輕人證明了同樣的事情時,他為梅納德的新結果感到自豪。陶說:「說實話,他的描述方式實際上比我做得更乾淨。」 「事實證明他的說法還略強。」陶大方慷慨地將此準備發表的研究結果擱置下來,以免遮蓋了這樣一位年輕有為的數學家的成就,他知道,如果他和梅納德聯合撰寫論文,許多數學家會以為是陶在論文研究中所佔的份額更大。

2014年梅納德獲得SASTRA拉馬努金獎(英語:SASTRA Ramanujan Prize),2015年獲懷特海獎(Whitehead Prize),2016年獲歐洲數學學會(European Mathematical Society,簡稱EMS)獎,2020年獲由美國數學學會所頒發的科爾數論獎(Cole Prize)。

在2019年,他與Dimitris Koukoulopoulos一起,解決了一個有著近80年歷史的Duffin-Schaeffer猜想。該猜想是數學中的一個重要猜想,基於R. J. Duffin和A.C. Schaeffer在1941年提出的度量數論(metric number theory)。

幾年前,梅納德解決了關於一個質數的極為易於陳述但難以證明的問題,即證明了無限多的質數沒有7。梅納德做研究生時的導師、羅傑·希思·布朗(Roger Heath-Brown)評價說:「這是人們很長一段時間以來一直想知道的事情,但是沒人能證明這一點。」

梅納德的研究還證明,對於任何給定的十進位數字,存在有無數個許多質數在十進位擴展中沒有該數字。這一貢獻以及其它的貢獻在數論學界中引起了轟動和期待。

梅納德通過簡單的質數問題,然而又是困擾了數學家們數個世紀的一些問題的解決,開闢了一條道路,迅速攀升到自己領域的頂峰。梅納德的博士後導師安德魯·格蘭維爾評價說,「這顯示出他作為數學家的絕對、非凡、強有力的力量,」「人們想知道,『接下來他要做什麼?』」 「一切似乎都有可能。」

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