初中數學知識點:四邊形

2020-12-02 中考網

　　初中數學四邊形知識點

 

　　一、平行四邊形的定義、性質及判定

 

　　1.兩組對邊平行的四邊形是平行四邊形.

 

　　2.性質：(1)平行四邊形的對邊相等且平行;(2)平行四邊形的對角相等，鄰角互補;(3)平行四邊形的對角線互相平分.

 

　　3.判定：(1)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形：(2)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;(3)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形;(4)兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形;(5)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

 

　　4.對稱性：平行四邊形是中心對稱圖形.

 

　　二、矩形的定義、性質及判定

 

　　1.定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.

 

　　2.性質：矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等.

 

　　3.判定：(1)有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形;(2)有三個角是直角的四邊形是矩形;(3)兩條對角線相等的平行四邊形是矩形.

 

　　4.對稱性：矩形是軸對稱圖形也是中心對稱圖形.

 

　　三、菱形的定義、性質及判定

 

　　1.定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.

 

　　2.性質：(1)菱形的四條邊都相等;(2)菱形的對角線互相垂直，並且每一條對角線平分一組對角;(3)菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形;(4)菱形的面積等於兩條對角線長的積的一半：

 

　　3.判定：(1)有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形;(2)四條邊都相等的四邊形是菱形;(3)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

 

　　4.對稱性：菱形是軸對稱圖形也是中心對稱圖形.

 

　　要判定四邊形是菱形的方法是：

 

　　法一：先證出四邊形是平行四邊形，再證出有一組鄰邊相等。(這就是定義證明)。

 

　　法二：先證出四邊形是平行四邊形，再證出對角線互相垂直。(這是判定定理2)

 

　　法三：只需證出四邊都相等。(這是判定定理1)

 

　　四、正方形定義、性質及判定

 

　　1.定義：有一組鄰邊相等並且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形.

 

　　2.性質：(1)正方形四個角都是直角，四條邊都相等;(2)正方形的兩條對角線相等，並且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角;(3)正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形;(4)正方形的對角線與邊的夾角是45°;(5)正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形.

 

　　3.判定：(1)先判定一個四邊形是矩形，再判定出有一組鄰邊相等;(2)先判定一個四邊形是菱形，再判定出有一個角是直角.

 

　　4.對稱性：正方形是軸對稱圖形也是中心對稱圖形.

 

　　要判定四邊形是正方形的方法有

 

　　方法一：第一步證出有一組鄰邊相等;第二步證出有一個角是直角;第三步證出是平行四邊形。(這是用定義證明)

 

　　方法二：第一步證出對角線互相垂直;第二步證出是矩形。(這是判定定理1)

 

　　方法三：第一步證出對角線相等;第二步證出是菱形。(這是判定定理2)

 

　　五、梯形的性質及判定

 

　　1.定義：一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形是梯形.兩腰相等的梯形是等腰梯形;一腰垂直於底的梯形是直角梯形.

 

　　2.等腰梯形的性質：等腰梯形的兩腰相等;同一底上的兩個角相等;兩條對角線相等;等腰梯形是軸對稱圖形.

 

　　3.等腰梯形的判定：兩腰相等的梯形是等腰梯形;同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形;兩條對角線相等的梯形是等腰梯形.

 

　　六、中位線

 

　　三角形的中位線平行於三角形的第三邊並等於第三邊的一半;梯形的中位線平行於梯形的兩底並等於兩底和的一半.

 

　　1.三角形的中位線：連結三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。

 

　　說明：三角形的中位線與三角形的中線不同。

 

　　2.梯形的中位線：連結梯形兩腰中點的線段叫做梯形中位線。

 

　　3.三角形中位線定理：三角形的中位線平行於第三邊，並且等於第三邊的一半。

 

　　4.梯形中位線定理：梯形中位線平行於兩底，並且等於兩底和的一半。

 

　　七、重心

 

　　線段的重心是線段的中點;平行四邊形的重心是兩對角線的交點;三角形的重心是三條中線的交點.

 

　　八、中點四邊形

 

　　依次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫中點四邊形.

 

　　九、多邊形的面積

 

　　多邊形的面積常用的求法有：

 

　　(1)將任意一個平面圖形劃分為若干部分再通過求部分的面積的和，求出原來圖形的面積這種方法叫做分割法。

 

　　(2)將一個平面圖形的某一部分割下來移放在另一個適當的位置上，從而改變原來圖形的形狀。利用計算變形後的圖形的面積來求原圖形的面積的這種方法。叫做割補法。

 

　　(3)將一個平面圖形通過拼補某一圖形，使它變為另一個圖形，利用新的圖形減去所補充圖形的面積，來求出原來圖形面積的這種方法叫做拼湊法。

 

　　常見考法

 

　　四邊形與三角形複習要求是能運用這些圖形進行鑲嵌，能根據圖形的條件把四邊形面積等分.能夠對特殊四邊形的判定方法與聯繫深刻理解.掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的概念、性質和常用判別方法，特別是梯形添加輔助線的常用方法.掌握三角形中位線和梯形中位線性質的推導和應用.

 

　　會畫出四邊形全等變換後的圖形，會結合相關的知識解題.結合幾何中的其他知識解答一些有探索性、開放性的問題，提高解決問題的能力.同時，四邊形的概念建立在三角形的基礎上，是知識的拓展與深化.研究它的性質，常常是將四邊形轉化成若干三角形，通過三角形的性質來研究，或者是運用作輔助線的方法將四邊形轉化成三角形和平行四邊形來討論.

 

　　至於矩形、菱形、正方形的性質是在平行四邊形的基礎上擴充的.它們的判定方法也是在平行四邊形的基礎上增加一些特定的條件.梯形也是一種特殊的四邊形，它是平行四邊形和三角形知識的綜合.

 

　　通過適當的添設輔助線，把梯形轉化為三角形、平行四邊形的組合圖形，再運用三角形、平行四邊形的知識解決梯形的有關問題.

 

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