小學六年級奧數入門輔導:趣味數學100題

原標題：小學六年級奧數入門輔導：趣味數學100題

奧數的學習一定不是枯燥的，今天小六給大家分享的是一百道趣味數學題集，趕快給孩子收藏吧~趣味性十足哦，小學的孩子們可以多學習積累，即將進入六年級的孩子也可以更好的為小升初做準備。

1.鐘聲

小明家離火車站很近，他每天都可以根據車站大樓的鐘聲起床。車站大樓的鐘，每敲響一下延時3 秒，間隔1 秒後再敲第二下。

假如從第一下鐘聲響起，小明就醒了，那麼到小明確切判斷出已是清晨6 點，前後共經過了幾秒鐘？

分析與解從第一下鐘聲響起，到敲響第6下共有5 個「延時」、 5 個「間隔」，共計（3+1）×5=20 秒。當第6下敲響後，小明要判斷是否清晨6點，他一定要等到「延時3 秒」和「間隔1 秒」都結束後而沒有第7 下敲響，才能判斷出確是清晨6點。因此，答案應是：（3＋1）×6=24（秒）。

3.數一數

6.切西瓜

六（1）班召開夏夜乘涼晚會，買來了許多西瓜。班主任李老師說：「今天買來了許多西瓜請大家吃。在吃以前我先要以切西瓜為名請大家做一道數學題。我規定，西瓜只能豎切，不能橫剖。大家知道，切一刀最多分成2塊，切2刀最多分成4 塊，那麼切3 刀最多能分成幾塊？切4刀、切5刀、切6刀呢？這中間有沒有規律？如果有規律，請同學們找出來。」李老師剛說完，同學們就七嘴八舌地討論起來。請你也參加他們的討論吧。

8.巧分食鹽水

大家在常識課上認識了量杯。快下課時，王老師讓我們用手中的量杯做一個智力小遊戲：有30 毫升、70 毫升、100 毫升的量杯各1 個，請你用這三個量杯把水槽中的100 毫升食鹽水平均分成兩份，但分的時候不準看量杯的刻度。大家動手試一試，至少要分幾次才成？

分析與解 至少分9 次。這種題，一般統稱為分液問題。解答時，最好用列表的方法。本題解答方法，如下表所示（這不是唯一的方法）：

9.擴大魚池

養魚專業戶張強，去年承包了一個叫「金三角」的魚池（如圖24），喜獲豐收。為了進一步增產，決定把魚池擴大。但有這樣的要求：①擴大後的魚池必須仍是三角形，保持「金三角」魚池的稱 號；②擴大後的魚池面積是原面積的4 倍；③原魚池的三個角上栽的3 棵大柳樹不能移動。你能替張強設計一個施工草圖嗎？

分析與解

我們只要過三角形的三個頂點，分別作它們所對的邊的平行線，兩兩相交，成一個大三角形，這個大三角形的面積是原三角形面積的4 倍。

14.從1 到100 萬

大家對德國大數學家高斯小時候的一個故事可能很熟悉了。

傳說他在十歲的時候，老師出了一個題目：1+2＋3+……+99+10O 的和是多少？

老師剛把題目說完，小高斯就算出了答案：這100 個數的和是5050.原來，小高斯是這樣算的：依次把這100 個數的頭和尾都加起來，即 1＋100，2＋99，3＋98，……，50＋51，共50 對，每對都是 101，總和就是 101×50=5050.現在請你算一道題：從1到1000000 這100 萬個數的數字之和是多少？

注意：這裡說的「100 萬個數的數字之和」，不是「這100 萬個數之和」。

例如，1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12 這12 個數的數字之和就是1+2＋3＋4+5＋6＋7＋8＋9＋1＋0＋1+1+1+2=51.請你先仔細想想小高斯用的方法，會對你算這道題有啟發。

分析與解可以在這100 萬個數前面加一個「0」，再把這些數兩兩分組：999999 和 0 999998 和 1 999997 和 2 999996 和 3依此類推，一共可分為50 萬組，最後剩下1000000 這個數不成對。

各組數的數字之和都是9＋9＋9＋9＋9＋9=54，最後的1000000 數字之和是1.所以這100 萬個數的數字之和為：（54×500000）+1=27000001

18.完全數

如果整數a 能被b 整除，那麼b 就叫做a 的一個因數。例如，1、2、3、4、6 都是12的因數。有一種數，它恰好等於除去它本身以外的一切因數的和，這種數叫做完全數。例如，6 就是最小的一個完全數，因為除6 以外的6的因數是1、2、3，而6=1+2＋3.你能在20 至30 之間找出第二個完全數嗎？

分析與解20 至30之間的完全數是28.因為除28 以外的28的因數是1、2、4、7、14，而28=1＋2＋4＋7＋14.尋找完全數並不是容易的事。經過不少數學家研究，到目前為止，一共找到了23個完全數。第三、四個完全數是：496=1+2+4+8＋16+31+62＋124+248 8128=1＋2＋4+8＋16＋32+64＋127+254＋508+1016＋2032+4064奇怪的是，已發現的23個完全數是偶數，會不會有奇完全數存在呢？至今無人能回答。完全數問題還是一個沒有解決的問題。

23.一筐蘋果

入冬前，媽媽買來了一筐蘋果，清理時，發現這筐蘋果2 個、2 個地數，餘1 個；3 個、3 個地數，餘2 個；4 個、4 個地數，餘3 個；5 個、5 個地數，餘4 個；6 個、6 個地數，餘5 個。你知道這筐蘋果至少有多少個嗎？

分析與解根據題目條件，可以知道，這筐蘋果的個數加1，就恰好是2、3、4、5、6的公倍數。而題目要求「至少有多少個」，所以，蘋果的個數應該是2、3、4、5、6 的最小公倍數減去1. [2，3，4，5，6]=60 60-1=59即這筐蘋果至少有59 個。

24.怎樣分？

有44 枚棋子，要分裝在1O 個小盒中，要求每個小盒中的棋子數互不相同，應該怎樣分？

分析與解無法分。

因為要想使這10 個小盒中的棋子數互不相同，至少可使這10 個盒子中的棋子數分別為 0、 1、2、3、4、5、6、7、8、9；這樣共需要45 枚棋子。

而實際只有44 枚棋子，因此，必有兩盒或兩盒以上的棋子數相同。

25.不要急於動手

一個正方形，被分成6橫行，6縱列。在每個方格中，可任意填入1、2、3中的一個數字，但要使每行、每列及兩條對角線上的數字之和各不相同，這可能嗎？為什麼？

分析與解不可能。 這是因為每行、每列和兩條對角線都是由6個方格組成的，那麼數字之和最小是1×6=6，數字之和最大是3×6=18。要想使各行、各列及對角線上的數字之和各不相同，只能出現6、7、8、9、……、17、18這13種數字和，但實際卻需要6(行)＋6(列)＋2(對角線)=14種不同的數字和。

由此可知，要達到每行、每列及兩條對角線上的數字和各不相同是不可能的。

26.數字小魔術

新年聯歡會上，同學們一致要求教數學的王老師出一個節目。王老師微笑著走到講臺前說：「我給你們表演一個數字魔術吧！」說完，王老師拿出一疊紙條，發給每人一張，並神秘地說：「由於我教你們數學，所以你們腦子裡的數也聽我的話。不信，你們每人獨立地在紙條上寫上任意4 個自然數（不重複寫），我保證能從你們寫的4個數中，找出兩個數，它們的差能被3整除。」

王老師的話音一落，同學們就活躍起來。有的同學還說：「我寫的數最調皮，就不聽王老師的話。」不一會兒，同學們都把數寫好了，但是當同學們一個個念起自己寫的4個數時，奇怪的事果真發生了。同學們寫的數還真聽王老師的話，竟沒有一個同學寫的數例外，都讓王老師找出了差能被3整除的兩個數。

同學們，你們知道王老師數字小魔術的秘密嗎？

分析與解其實，同學們寫在紙條上的數字並不是聽王老師的話，而是聽數學規律的話。

因為任意一個自然數被3 除，餘數只能有3 種可能，即餘0、餘1、餘2.如果把自然數按被3 除後的餘數分類，只能分為3 類，而王老師讓同學們在紙條上寫的卻是4 個數，那麼必有兩個數的餘數相同。餘數相同的兩個數相減（以大減小）所得的差，當然能被3 整除。

王老師是根據數學基本性質設計小魔術的。所以，只要我們刻苦學習數學，掌握規律，也會在數學王國中創造出魔術般的奇蹟。

28.最少拿幾次？

晚飯後，爸爸、媽媽和小紅三個人決定下一盤跳棋。打開裝棋子的盒子前，爸爸忽然用大手捂著盒子對小紅說：「小紅，爸爸給你出一道跳棋子的題，看你會不會做？」小紅毫不猶豫地說：「行，您出吧？」「好，你聽著：這盒跳棋有紅、綠、藍色棋子各15個，你閉著眼睛往外拿，每次只能拿1個棋子，問你至少拿幾次才能保證拿出的棋子中有3個是同一顏色的？」

聽完題後，小紅陷入了沉思。同學們，你們會做這道題嗎？

分析與解至少拿7次，才能保證其中有3個棋子同一顏色。

我們可以這樣想：按最壞的情況，小紅每次拿出的棋子顏色都不一樣，但從第4 次開始，將有2個棋子是同一顏色。到第6 次，三種顏色的棋子各有2個。當第7 次取出棋子時，不管是什麼顏色，先取出的6 個棋子中必有2個與它同色，即出現3個棋子同一顏色的現象。

同學們，你們能從這道題中發現這類問題的規律嗎？如果要求有4 個棋子同一顏色，至少要拿幾次？如果要求5個棋子的顏色相同呢？

29.巧手擺花壇

學校門口修了一個正方形花壇，花壇竣工時，大隊部在花壇旁掛出一塊小黑板，上面寫著：「各中隊少先隊員：花壇修好了，同學們都希望管理這個花壇。哪個中隊的少先隊員能做出下面兩道題，就請那個中隊的少先隊員負責管理這個花壇。

① 要在這個花壇的四周擺上16 盆麥冬，要求每邊都是7 盆，應該怎樣擺？

② 還要在這個花壇四周擺上24 盆串紅，要求每邊也是7 盆，應該怎樣擺？「

同學們，你會擺嗎？請你試試看。

分析與解答案如下圖：

30題

請你把1～8 這八個數分別填入下圖所示正方體頂點的圓圈裡，使每個面的4 個角上的數之和都相等。

分析與解做這種填數遊戲，有兩種方法，一種是「笨」方法，即湊數的方法。分別用這8個數去試，這種方法可行，但很費事。另一種方法是用分析、計算的方法。這道題可以分析、計算如下：在計算各個面上4個數的和時，頂點上的數總是分屬3個不同的面，這樣，每個頂點上的數都被重複計算了3次。因此，各個面上4個數的和為1～8這8個數的和的3倍，即（1＋2+3+.+8）×3=108.又因為正方體有6 個面，也就是每個面上的四個數的和應是108÷6=18.18 應是我們填數的標準。

如果在前面上填入1、7、2、8（如圖31），那麼右側面上已有2、8，其餘兩頂點只能填3、5.以此類推，答案如圖31 所示。

31.算算這筆帳

小明哥哥的個體商店裡，同時放著甲、乙兩種收錄機，售價都是990 元。

但是甲種收錄機是緊俏商品，賺了10％；乙種收錄機是滯銷品，賠了10％。

假如今天兩種收錄機各售出一臺，小明哥哥的商店是賺錢了還是賠錢了？若賺了，則賺了多少？若賠了，則賠了多少？你會算這筆帳嗎？

分析與解賺了10％後是990 元，原價是：990÷（1＋10％）=900（元）

賠了10%後是990 元，原價是：990÷（1-10%）=1100（元）

那麼兩臺收錄機，原來進價為900＋1100=2000 元，現在賣了990×2=1980元。

因此，這個商店賣出甲、乙兩種收錄機各一臺，賠了2000-1980=20 元。

33.誰得優秀？

六年級同學畢業前，凡報考重點中學的同學，都要參加體育加試。加試後，甲、乙、丙、丁四名同學談論他們的成績：甲說：「如果我得優，那麼乙也得優。」

乙說：「如果我得優，那麼丙也得優。」

丙說：「如果我得優，那麼丁也得優。」

以上三名同學說的都是真話，但這四人中得優的卻只有兩名。問這四人中誰得優秀？

分析與解我們可以這樣想：如果甲得優秀，那麼乙、丙、丁都得優秀，這與實際不符；如果乙得優秀，則丙、丁也得優秀，也與實際不符。因此，只能丙、丁得優秀，才符合實際情況。

判斷結果是：丙、丁得優秀。

35. 要賽多少盤？

六年級舉行中國象棋比賽，共有12人報名參加比賽。根據比賽規則，每個人都要與其他人各賽一盤，那麼這次象棋比賽一共要賽多少盤？

分析與解一共要賽66盤。

要想得出正確答案，我們可以從簡單的想起，看看有什麼規律。

假如2 個人（A、B）參賽，那隻賽1盤就可以了；假如3 個人（A、B、C）

參賽，那麼A—B、A—C、B—C 要賽3盤；假如4個人參賽，要賽6盤，……

於是我們可以發現：2人參賽，要賽1盤，即1；3人參賽，要賽3盤，即1+2；4個參賽，要賽6盤，即1+2+3；5人參賽，要賽10盤，即1+2+3+4；……

那麼，12人參賽就要賽1+2+3+……+11=66 盤。

我們還可以這樣想：這12個人，每個人都要與另外11個人各賽1 盤，共11×12=132（盤），但計算這總盤數時把每人的參賽盤數都重複算了一次，（如A—B 賽一盤，B—A 又算了一盤），所以實際一共要賽132÷2=66（盤）。

36.獲第三名的得幾分？

A、B、C、D、E 五名學生參加桌球比賽，每兩個人都要賽一盤，並且只賽一盤。規定勝者得2 分，負者得0分。現在知道比賽結果是：A和B 並列第一名，C是第三名，D 和E 並列第四名。那麼C得幾分？

分析與解獲第三名的學生C得4分。

因為每盤得分不是2分就是0分，所以每個人的得分一定是偶數，根據比賽規則，五個學生一共要賽10盤，每盤勝者得2分，共得了20分。每名學生只賽4盤，最多得8分。

我們知道，並列第一名的兩個學生不能都得8分，因為他們兩人之間比賽的負者最多只能得6分，由此可知，並列第一的兩個學生每人最多各得6分。

同樣道理，並列第四的兩個學生也不可能都得0分，因此他們兩人最少各得2分。

這樣，我們可得出獲第三名的學生C不可能得6分或2分，只能得4分。

37.五個好朋友

A、B、C、D、E 五個學生是同班的好朋友，其中有四人做課代表工作，這四科是語文、數學、地理、歷史。另一個人是中隊長。

請你根據下列條件，判斷出這五位同學各做什麼工作。

（1）語文課代表不是C，也不是D；（2）歷史課代表不是D，也不是A；（3）C 和E 住在同一樓裡，中隊長和他們是鄰居；（4）C問數學課代表問題時，B 也在一旁聽著；（5）A、C、地理課代表、語文課代表常在一起討論問題；（6）D、E常到數學課代表家去玩，而中隊長去的次數不多。

分析與解A 是數學課代表，B 是中隊長，C 是歷史課代表，D 是地理課代表，E 是語文課代表。

題中（1）、（2）是直接條件，而（3）～（6）就不像（1）、（2）那

38.過隊日

六（1）中隊共43名隊員，他們到龍潭遊樂園過中隊日。中隊長宣布，大家只能參加「激流勇進」、「觀覽車」和「單軌火車」三種遊樂活動。活動結束時，中隊長說：「根據今天參加遊樂活動的情況我編了一道數學題：」全中隊至少有多少人參加的活動完全相同？「

你能替六（1）中隊的同學找到正確答案嗎？

分析與解全中隊至少有7人參加的活動相同。

這是一道根據實際活動編得很有趣的數學題。解答這道題首先要弄明白同學們參加遊樂活動共有幾種可能情況。我們把各種情況分別列出如下：（1）只參加「激流勇進」；（2）只參加「觀覽車」；（3）只參加「單軌火車」；（4）既參加「激流勇進」，又參加「觀覽車」；（5）既參加「激流勇進」，又參加「單軌火車」；（6）既參加「觀覽車」，又參加「單軌火車」；（7）三種活動都參加。

由於可能的情況共有7 種，去遊樂場的有43名少先隊員， 43÷7=6……

1（人），即如果每種可能的情況有6名隊員參加的話，那麼還餘1名隊員，不管這1名隊員參加活動屬於哪種「情況」，則至少有7人參加的活動相同。

39.放硬幣遊戲

參加人：2人，也可以有裁判1人。

用具：一張紙（方形、圓形都可以），1分硬幣若干枚。

遊戲規則：①2人輪流把硬幣放在紙上，每人每次只放一枚；②放在桌上的硬幣不能重疊；③最後在紙上無處可放者為負。

同學們，要想在這個小遊戲中取勝，只需應用幾何中一個很簡單的原理。

你知道怎樣放才能保證在遊戲中穩操勝券嗎？

分析與解 這個遊戲對參加的兩個人來說是不平等的，如果知道了遊戲的奧妙，那麼先放硬幣的一方會穩操勝券。

遊戲的奧妙是利用平面幾何中的中心對稱原理。先放者，首先搶佔「對稱中心」，即紙的中心。然後，不論對方把硬幣放在什麼位置，你每次都根據中心對稱原理，把硬幣放到對方硬幣的對稱位置上。這樣，只要對方有地方放，你就必定有放的地方，直到你佔滿最後一處空白，逼得對方無處可放，你就獲勝了。

40.一本書的頁數

我們知道印刷廠的排版工人在排版時，一個數字要用一個鉛字。例如15，就要用2 個鉛字；158，就要用3 個鉛字。現在知道有一本書在排版時，光是排出所有的頁數就用了6869 個鉛字，你知道這本書共有多少頁嗎？（封面、封底、扉頁不算在內）

分析與解 仔細分析一下，頁數可分為一位數、兩位數、三位數、……。

一位數有9 個，使用1×9=9 個鉛字；兩位數有（99-9）個，使用2×90=180 個鉛字；三位數有（999-90-9）個，使用3×900=2700個鉛字；依此類推。

我們再判斷一下這本書的頁數用到了幾位數。因為從1 到999 共需用9＋2×90+3×900=2889 個鉛字，從1 到9999共需用9＋2×90＋3×900＋4×9000=38889 個鉛字，而2889＜6869＜38889，所以這本書的頁數用到四位數。

排滿三位數的頁數共用了2889個鉛字，排四位數使用的鉛字應有6869-2889=3980（個），那麼四位數的頁數共有3980÷4=995（頁）。因此這本書共有999+995=1994（頁）。

同理，要使靠近大三角形三條邊的5 個數的和相等，並且使和儘可能小，則靠近各邊中間的這三個數就應該儘量大，即這三個數應是7、8、9.這時每條邊的5個數之和為［2×（1+2+3+ ……+ 9）-7-8-9]÷3=22

44.從後往前想

明明和華華各有鉛筆若干支，兩個人的鉛筆合起來共72支。現在華華從自己所有的鉛筆中，取出明明所有的支數送給明明，然後明明又從自己現在所有的鉛筆中，取出華華現有的支數送給華華，接著華華又從自己現在所有的鉛筆中，取出明明現在所有的支數送給明明。這時，明明手中的鉛筆支數正好是華華手中鉛筆支數的8 倍，那麼明明和華華最初各有鉛筆多少支？

分析與解有些數學題，如果順著思考不易找到答案，往往從後往前想比較方便，即從已知條件倒推回去，找出答案來。

根據這道題的已知條件可知，無論明明取多少支鉛筆給華華，還是華華取多少支鉛筆給明明，兩人所有的鉛筆總支數（72 支）是不變的；又知道最後明明手中鉛筆的支數是華華手中鉛筆支數的8 倍。這樣我們可以求出最後兩人手中鉛筆的支數。

華華最後手中鉛筆的支數是：72÷（8＋1）=8（支）

明明最後手中鉛筆的支數是：8×8=64（支）

接著倒推回去，就可以求出兩人最初各有鉛筆多少支了。

答案是：明明最初有鉛筆26 支，華華最初有鉛筆46 支。

46.丟番圖的墓志銘

古希臘的大數學家丟番圖，大約生活於公元前246 年到公元330 年之間，距現在有二千年左右了。他對代數學的發展做出過巨大貢獻。

丟番圖著有《算術》一書，共十三卷。這些書收集了許多有趣的問題，每道題都有出人意料的巧妙解法，這些解法開動人的腦筋，啟迪人的智慧，以致後人把這類題目叫做丟番圖問題。

但是，對於丟番圖的生平知道得非常少。他唯一的簡歷是從《希臘詩文集》中找到的。這是由麥特羅爾寫的丟番圖的「墓志銘」。「墓志銘」是用詩歌形式寫成的：「過路的人！

這兒埋葬著丟番圖。

請計算下列數目，便可知他一生經過了多少寒暑。

他一生的六分之一是幸福的童年，十二分之一是無憂無慮的少年。

再過去七分之一的年程，他建立了幸福的家庭。

五年後兒子出生，不料兒子竟先其父四年而終，只活到父親歲數的一半。

晚年喪子老人真可憐，悲痛之中度過了風燭殘年。

請你算一算，丟番圖活到多大，才和死神見面？」

請你算一算，丟番圖到底活到多少歲？

47.丟番圖的趣題

下面是丟番圖出的一道題：今有四數，取其每三個而相加，則其和分別為22、24、27 和20.求這四個數各是多少？

分析與解如果設其中某個數為x，則其他三個數很難用x的式子表示出來。丟番圖的作法十分巧妙，他設四個數之和為x，則這四個數分別為x-22，x-24，x-27，x-20.列方程（x-22）+（x-24）+（x-27）+（x-20）=x解得 x=31 31-22=9，31-24=7，31-27=4，31-20=11，即這四個數分別為9、7、4、11.

48.真是沒想到！

出題前，先講個小故事。

傳說在很久以前，印度有個叫塞薩的人，為了能使國王忘掉戰爭，精心設計了一種遊戲（西洋棋）獻給國王。國王對這種遊戲非常滿意，決定賞賜塞薩。國王問塞薩需要什麼，塞薩指著象棋盤上的小格子說：「就按照棋盤上的格子數，在第一個小格內賞我1粒麥子，在第二個小格內賞我2粒麥子，第三個小格內賞4粒，照此下去，每一個小格內的麥子都比前一個小格內的麥子加一倍。陛下，把這樣擺滿棋盤所有64格的麥粒，都賞給我吧。」

國王聽後不加思索就滿口答應了塞薩的要求。但是經過大臣們計算發現，就是把全國一年收穫的小麥都給塞薩，也遠遠不夠。國王這才明白，塞薩要的，是國王放棄戰爭，發展生產，改善人民生活。

我們來計算一下，塞薩要的小麥到底是多少？原來聰明的塞薩巧妙地利用了數學中的乘方。棋盤上共有64格，按塞薩的要求，應付給他264-1=18446744073709551615粒小麥，約合5千多億噸。這個數字大得驚人，古代印度那個國王，怎麼能付得出來？

下面有一道類似的題：「把一張厚度僅有0.05毫米的紙，對摺30次後，它的厚度是多少？」

請你算算，看你想到了沒有？

分析與解 把一張厚度為0.05毫米的紙對摺30次，厚度為 0.05×230≈53.69千米。

51.託爾斯泰的算題（一）

託爾斯泰是19 世紀末俄國的偉大作家。他對算術也很有興趣，還寫過算術課本。他特別喜歡表面複雜，但卻有簡便方法解答的算題。

下面就是託爾斯泰非常喜歡的「割草人」算題：「一隊割草人要收割兩塊草地，其中一塊比另一塊大1 倍。全隊在大塊

52.託爾斯泰的算題（二）

託爾斯泰喜歡的另一道算題是：木桶上方有兩個水管。若單獨打開其中一個，則24 分鐘可以注滿水桶；若單獨打開另一個，則15分鐘可以注滿。木桶底上還有一個小孔，水可以從孔中往外流，一滿桶水用2小時流完。如果同時打開兩個水管，水從小孔中也同時流出，那麼經過多少時間水桶才能注滿？

分析與解當兩個水管打開時，從一個水管1 分鐘注入的水佔木桶容積

53.愛因斯坦編的問題

很多科學家都喜歡用一些有趣的數學問題來考察別人的機敏和邏輯推理能力。這裡有一道著名物理學家愛因斯坦編的問題：在你面前有一條長長的階梯。如果你每步跨2階，那麼最後剩下1階；如果你每步跨3階，那麼最後剩2階；如果你每步跨5階，那麼最後剩4階；如果你每步跨6階，那麼最後剩5階；只有當你每步跨7階時，最後才正好走完，一階也不剩。

請你算一算，這條階梯到底有多少階？

分析與解分析能力較強的同學可以看出，所求的階梯數應比2、3、5、6的公倍數（即30 的倍數）小1，並且是7的倍數。因此只需從29、59、89、119、……中找7的倍數就可以了。很快可以得到答案為119階。

54. 蘇步青教授解過的題

我國著名數學家蘇步青教授，有一次到德國去，遇到一位有名的數學家，在電車上出了一道題目讓蘇教授做。這道題目是：甲、乙兩人同時從兩地出發，相向而行，距離是50 千米。甲每小時走3米，乙每小時走2千米，甲帶著一隻狗，狗每小時跑5千米，這隻狗同甲一起出發，碰到乙的時候它就掉頭往甲這邊跑，碰到甲時又往乙這邊跑，碰到乙時再往甲這邊跑……，直到甲、乙二人相遇為止。問這隻狗一共跑了多少路？

蘇步青教授略加思索，未等下電車，就把正確答案告訴了這位德國數學家。

請你也來解答這道數學題，題目雖不太難，但要認真思考，才能找到解題的「竅門」。

分析與解這個問題看起來很複雜，其實卻是出人意料的簡便。因為每小時甲走3千米，乙走2千米，所以甲乙二人相遇共走了10小時，這表明狗也跑了10小時，因此狗一共跑了50千米。

55.農婦賣雞蛋

從前，有一個農婦提了一籃雞蛋去賣。甲買了全部雞蛋的一半多半個；

56.各有多少錢？

兄弟倆到商店去買東西。媽媽問哥哥：「你帶多少錢？」哥哥說：「我和弟弟一共帶240 元，如果弟弟給我5元，那麼我的錢數就比弟弟的錢數多一倍了。」媽媽又問弟弟：「你帶了多少錢呢？」弟弟回答說：「如果哥哥給我35元錢，那麼我的錢數就和哥哥的一樣多了。」媽媽聽了以後，還弄不清哥哥和弟弟到底各帶多少錢。你能弄明白嗎？

分析與解哥哥給弟弟35 元後各有錢：240÷2=120（元）

哥哥帶的錢數：120+35=155（元）

弟弟帶的錢數：120-35=85（元）

59.各放多少發子彈？

小張是某部隊武器庫保管員，他將1千發子彈分放在10個盒子裡，一旦需要，只需告訴他1000 以內所需子彈數，他都可以拿出若干個盒子，湊出所需的子彈數，而不必打開盒子去數子彈。請問小張在10個盒子裡各放了多少發子彈？

分析與解十進位數中的1、2、4、8、16、32、64、128、256分別是二進位數1、10、100、1000、10000、100000、1000000、10000000、100000000，這九個二進位數碼可以組成1到（111111111）2的任何一個二進位數。於是用1、2、4、8、16、32、64、128、256這九個十進位數中的數相加，可以得到1 到511 中的任何一個十進位的數。所以保管員在九個盒子中分別裝入1、2、4、8、……、256發子彈共511發，剩下的489發裝在第十個盒子裡。如果需要的子彈數小於或等於511發，那麼就可以由前九個盒子中挑選出若干盒子來滿足。如果需要的子彈數大於511發，那麼可先取第十盒中的489發子彈，其餘的由前九盒中的若干盒來滿足。

61.交叉公路

有兩條公路成十字交叉，甲從十字路口南1350 米處往北直行；乙從十字路口處向東直行。二人同時出發，10分鐘後，二人離十字路口的距離相等；二人仍保持原速繼續直行，又過了80分鐘，這時二人離十字路口的距離又相等。求甲、乙二人的速度。

分析與解 甲從十字路口南1350米處往北直行，乙從十字路口處向東直行，同時出發，10分鐘後二人離十字路口距離相等，說明甲、乙二人10分鐘共行了1350米，於是可以求出二人每分鐘的速度和。又知道，二人繼續行走80分鐘，即從出發各行90分鐘，二人離十字路口距離又相等，說明甲、乙二人90分鐘行走的路程之差是1350米。於是又可以求出二人每分鐘的速度差，進而求出甲、乙各自的速度。

1350÷10=135（米）

1350÷（10+80）=15（米）

甲的速度是：（135+15）÷2=75（米）

乙的速度是：（135-15）÷2=60（米）

即甲的速度是每分鐘75 米，乙的速度是每分鐘60 米。

即6 小時後甲追上乙。

63.流水行船

一隻小船，第一次順水航行20千米，又逆水航行3千米，共用了4小時；第二次順水航行了17.6千米，又逆水航行了3.6千米，也用了4小時。求船在靜水中的速度和水流速度。

分析與解 比較兩次航行的航程可知：在相同的時間內，順水可航行20-17.6=2.4千米，逆水可航行3.6-3=0.6千米。於是求出在相同時間內順水航程是逆水航程的2.4÷0.6=4倍。那麼順水行的航速也就是逆水行的航速的4倍，進而求出順水與逆水的航速。

順水航速為每小時：（20+3×4）÷4=8（千米）

逆水航速為每小時：（20÷4＋3）÷4=2（千米）

船在靜水中的速度為每小時（8+2）÷2=5（千米）

水流速度為每小時（8-2）÷2=3（千米）

即船在靜水中的速度為每小時5 千米，水流速度為每小時3千米。

65.分針、時針追跑

66.弄通情境

騎車人以每分鐘300米的速度，從102路電車始發站出發，沿102路電車線前進。騎車人離開出發地2100米時，一輛102路電車開出了始發站。這輛電車每分鐘行 500 米，行 5 分鐘到達一站並停1 分鐘，那麼要用多少分鐘，電車追上騎車人？

分析與解電車行駛5 分鐘到達一站，停車1 分鐘，電車可行駛500×5=2500（米）而騎車人可行300×（5＋1）=1800（米）

根據題意，電車要追趕騎車人2100 米，這時可不能誤認為追趕2100÷（2500-1800）=3 個（5＋1）分鐘即18 分鐘追上騎車人。因為求得的18分鐘，恰是電車停車的那1分鐘時間裡，所以是不可能追上的。

電車開離第二個站時，已追趕了騎車人[500×5-300×（5＋1）]×2=1400（米）

這時電車離騎車人還有：2100-1400=700（米）

那麼再行700÷（500-300）=3.5（分鐘）

即可追上騎車人。

這樣電車前後共用了（5＋1）×2＋3.5=15.5（分鐘）

即要用15.5 分鐘電車追上騎車人。

說明：這是一道複雜的追及問題，題中要求追及時間，同學們計算時往往認為是18分鐘追上。這種思考方法錯了，忽視了最後追及的「6分鐘」路程實際電車只行了5分鐘，最後一分鐘是停下來的；如果不停這一分鐘，電車又可向前走500 米，即電車超前騎車人500 米，超前這500 米要用500÷（500-300）=2.5（分鐘）。這樣從18 分鐘內減去2.5分鐘，也能得出正確答案是15.5分鐘。

70.幹活的人數

一項工程，8個人幹需要15天完成。今先有18個人幹了3天，餘下的又由

說明：題中給出「完成這件工程前後共用了6 天」，既不表示甲獨做了6天，也不表示乙獨做了6 天，而這6 天中既包括甲獨做的天數，也包括乙獨做的天數，因此，解答時應該用「假設法」去求解，正像分析中所說的那樣，「假設完成全工程所用的6天都由乙獨做」，然後求出甲獨做的天數。

當然也可以「假設完成全工程所用的6 天都由甲獨做」，然後求出乙獨做的天數，再從6 天中減去乙獨做的天數，就得出了甲獨做的天數。

72.空池注水

一個水池有兩個進水管甲、乙，一個排水管丙。如果單開甲、丙兩管，那麼10 小時可把空池注滿；如果單開乙、丙兩管，那麼15 小時可把空池注滿；如果單開丙管，那麼30 小時可把滿池水放光。現在同時打開甲、乙、丙三管，幾小時可把空池注滿？

78.奇特的長跑

訓練小明在400米長的環形跑道上練習長跑。上午8點20分開始，小明按逆時針方向出發，1 分鐘後，小明掉頭按順時針方向跑，又過了2 分鐘，小明又掉頭按逆時針方向跑。如此，按1、2、3、4、……分鐘掉頭往回跑。當小明按逆時針方向跑到起點，又恰好該往回跑時，他的練習正好停止。如果小明每分鐘跑120米，那麼他停止練習時是幾點幾分？他一共跑了多少米？

分析與解 根據題意，小明在跑1、3、5、……分鐘時，每次按逆時針方向，比前一次增加 120米。他停止練習時，那次是按逆時針方向跑，並離開起點的距離應是120和400的最小公倍數1200米。於是得出他沿逆時針方向跑了1200÷120=10（次）。他停止練習前那次跑了10×2-1=19（分鐘），他一共跑了1＋2＋3＋……＋19=190（分鐘），即3 小時10 分，由此可求出停止練習時的時刻（11 時30 分）和停止練習時他一共跑了的路程。

[120，400]=1200 1200÷120=10（次）

1+2+3+……+19=190（分鐘）

120×190=22800（米）

即小明停止練習時是11 時30 分，他一共跑了22800 米。

80.發獎品

學校舉辦了數學競賽。老師準備了35支鉛筆作為獎品，發給一、二、三等獎獲得者。原計劃發給一等獎獲得者每人6 支，發給二等獎獲得者每人3支，發給三等獎獲得者每人2支，正好發完。後來改為發給一等獎獲得者每人13 支，發給二等獎獲得者每人4 支，發給三等獎獲得者每人1支，也正好發完。那麼獲得二等獎的有多少人？

分析與解本題有三個未知數，可分別設獲一等獎的有x 人，獲二等獎

81.姐姐、弟弟各幾歲？

李老師問明明的姐姐今年幾歲了。明明的姐姐說：「4年前，我的年齡正好是弟弟年齡的3倍。」李老師又問明明：「你姐姐今年幾歲？」明明說：「姐姐今年的年齡是我今年年齡的2倍。」請問今年姐姐、弟弟各幾歲？

分析與解設弟弟今年x 歲，姐姐今年2x歲。根據題意得，3（x-4）=2x-4 3x-12=2x-4 x=8 2x=2×8=16即姐姐今年16 歲，弟弟今年8歲。

82.兄弟倆的年齡

今年兄弟倆的年齡加起來是55歲，曾經有一年，哥哥的歲數是弟弟今年的歲數，那時哥哥的年齡恰好是弟弟年齡的兩倍。問哥哥和弟弟今年年齡各是多少歲？

分析與解設哥哥今年x歲，則弟弟是（55-x）歲。過去某年哥哥歲數是55-x歲，那是在x-（55-x）即2x-55年前；當時弟弟的年齡是（55-x）-（2x-55）即110-3x.列方程為55-x=2（110-3x）

解得x=33 55-33=22即哥哥今年33 歲，弟弟今年22 歲。

83.幼兒園的午餐

某幼兒園現有大人和幼兒共100人，今天午餐剛好吃了100個麵包，其中一個大人一餐吃四個麵包，四個幼兒一餐只吃一個麵包。問這100個人中，大人和幼兒各有多少人？

分析與解

84.生產課桌椅

新星木器廠安排56名工人生產學生用的課桌椅。每個工人平均每天能生產課桌6張或椅子8把，問應分配多少人生產課桌，多少人生產椅子，才能使每天生產出的課桌和椅子剛好配套？

86.五個少年

五個少年，依次相差一歲，在1994年共同發奮學習，到公元2018年時，他們都在科學上做出了很大貢獻。那時他們的年齡也增長了，他們五人在公元2018年的年齡之和正好是1994年的年齡之和的3倍。問在1994年時他們的年齡各是多少？

分析與解設年齡為中間數的一個少年在1994年是x歲，則其餘四人的年齡分別為x-2 歲、x-1 歲、x＋1 歲、x＋2 歲。

在1994年五人年齡之和為（x-2）＋（x-1）＋x＋（x＋1）＋（x＋2）=5x 2018 年五人年齡之和為5x＋24×5=5（x＋24）

因為這五個少年2018 年的年齡之和是1994年年齡之和的3倍，所以5（x＋24）=3×5x解得x=12因此，這五個少年的年齡分別為10歲、11歲、12歲、13歲和14 歲。

87.學雷鋒

小麗和小剛兩個小朋友向雷鋒叔叔學習，準備把零用錢攢起來，以後寄給希望工程，幫助貧困地區的小朋友上學。小麗現有5元錢，她計劃每年節約11元；小剛現有3元，他打算每年節約12元。問他們倆幾年後錢數能一樣多嗎？如果他們倆準備一共湊足100元，問需要幾年？

分析與解設x年後，他們攢的錢數一樣多，則有5＋11x=3＋12x解得x=2設要湊足100 元，需要 y 年，則有（5＋11y）＋（3＋12y）=100解得y=4即2年後他們倆的錢數一樣多，他們倆一共湊足100元，需要4年。

88.白鵝和山羊

小勇跟爺爺去趕集，看見集市的一角有44隻白鵝和山羊，它們共有100條腿。請問白鵝和山羊各有幾隻？

分析與解設白鵝為x只，山羊則為（44-x）只。依題意可列方程2x＋4（44-x）=100解得x=38即有白鵝38 只，山羊44-38=6（只）。

89.兩盤蘋果

92.規定時間

一個通訊員騎自行車需要在規定時間內把信件送到某地，每小時走15千米可以早到24 分鐘，每小時走12千米就要遲到15分鐘。問原規定時間是多少？他去某地的路程有多遠？

分析與解設原規定時間為x 分鐘。可列出以下兩種走法：速度 時間 路程（1）每分鐘走0.25 千米（x-24）分鐘 0.25（x-24）千米（2）每分鐘走0.2 千米 （x＋15）分鐘 0.2（x＋15）千米由於兩種走法的路程相同，可列方程：0.25（x-24）=0.2（x＋15）

解得x=180 0.2（x＋15）=0.2×（180＋15）=39因此，原規定時間為180 分鐘，即3 小時，到某地路程為39千米。

93.至少有幾個人做的數學題一樣多？

9 月1日開學那天，數學課代表向李老師匯報說：「我們六年級100個同學，在暑假裡一共做了1600道數學題。」李老師聽了非常高興，立刻表揚了他們。接著李老師問課代表：「你知道這100個同學中，至少有幾個人做的數學題一樣多嗎？」課代表答不出來。同學們，你能幫助課代表解答這個問題嗎？

分析與解把六年級的100人，按3人一組來分，可以分成33組還剩下1人。假設第一組3個人都沒做題，也就是每個人都做了0道題；第二組每人都做1道題；第三組每人都做2道題；……這樣第33組每人都做32道題。

剩下的1個人要是和前面的99 人做的題數不一樣，那麼至少也要做33道題。

這樣100人共做了：3×（0+1+2+3+……+31+32）+33=1617（題）

超過了1600題。要不超過1600題，必須有1個同學或更多的同學少做題，合起來一共要少做17 道題。其實只要有1個同學少做題，那麼這個同學就可以歸到做題少的那組去。這樣一來，那個組就會有4個人做的題數一樣多。

這就是說，這100個同學中，至少有4個人做的數學題一樣多。

94.六（1）班有多少人？

六（1）班在期末考試中，數學得100 分的有10人，英語得100 分的有12人，這兩門功課都得100分的有3人，兩門功課都未得100分的有26個。

那麼六（1）班有學生多少人？

分析與解由於數學得100分的有10人，英語得100分的有12人，那麼數學與英語兩門功課中至少有一門得100分的人數應是10+12-3=19（人），這是因為在10+12=22（人）中，有3人是兩門都得100分的，我們重複算了，應從22人中減去3人。

所以，六（1）班的人數是數學與英語兩門功課中至少有一門得100分的人數與兩門都沒得100分的人數之和：19+26=45（人）。

95.至少有幾個學生四項活動都會？

六（2）班有學生50人，其中35人會遊泳，38人會騎車，40人會溜冰，46人會打桌球。那麼這班至少有多少個學生，以上四項活動都會？

分析與解這個班不會遊泳的有50-35=15（人）；不會騎車的有50-38=12（人）；不會溜冰的有50-40=10（人）；不會打桌球的有50-46=4（人）。

所以有一個項目不會的人最多是15＋12＋10＋4=41（人），因此四項運動都會的至少有 50-41=9（人）。

96.五種顏色的鉛筆

有紅、黃、藍、綠、白五種顏色的鉛筆，每兩種顏色的鉛筆為一組，最多可以搭配成不重複的幾組？

分析與解根據題意，紅色鉛筆分別與黃、藍、綠、白四種顏色的鉛筆搭配，有不重複的4組；黃色鉛筆分別與藍、綠、白三種顏色的鉛筆搭配，有不重複的3組；藍色鉛筆分別與綠、白二種顏色的鉛筆搭配，有不重複的2組；綠色鉛筆與白色鉛筆搭配，有不重複的1組。所以最多可以搭配成不重複的4＋3＋2＋1=10組。

97.最少有幾個座位？

有一條公共汽車的行車路線，除去起始站和終點站外，中途有9 個車站。

一輛公共汽車從起始站開始上乘客，除終點站外，每一站上車的乘客中，都恰好各有一位乘客從這一站到以後的每一站。為了使每位乘客都有座位，這輛公共汽車至少要有多少個座位？

分析與解 中途有9個車站，加上終點站共10個車站。根據題意，在起始站上車的有10個人，在這10人中以後每站都有1人下車；在第二站上車的9 人，在這9人中，以後每站下去1人。在起始站上車的有1人在第二站下車，於是在第二站至第三站之間汽車上實有10＋9-1=18（人）。這樣推算下去，列表如下：

98.將軍飲馬

古希臘一位將軍要從A 地出發到河邊（如下圖MN）去飲馬，然後再回到駐地B.問怎樣選擇飲馬地點，才能使路程最短？

100.有名的牛吃草的問題

牛頓的名著《一般算術》中，還編有一道很有名的題目，即牛在牧場上吃草的題目，以後人們就把這種應用題叫做牛頓問題。

「有一片牧場的草，如果放牧27頭牛，則6個星期可以把草吃光；如果放牧23頭牛，則9個星期可以把草吃光；如果放牧21頭牛，問幾個星期可以把草吃光？」

解答這道題時，我們假定牧草上的草各處都一樣密，草長得一樣快，並且每頭牛每星期的吃草量也相同。

你會解這道題嗎？

分析與解在牧場上放牛，牛不僅要吃掉牧場上原有的草，還要吃掉牧場上新長出的草。因此解答這道題的關鍵是要知道牧場上原有的牧草量和每星期草的生長量。

設每頭牛每星期的吃草量為1. 27 頭牛6個星期的吃草量為27×6=162，這既包括牧場上原有的草，也包括6個星期長的草。

23頭牛 9個星期的吃草量為 23×9= 207，這既包括牧場上原有的草，也包括9個星期長的草。

因為牧場上原有的草量一定，所以上面兩式的差207-162=45正好是9個星期生長的草量與6個星期生長的草量的差。由此可以求出每星期草的生長量是45÷（9-6）=15.牧場上原有的草量是162-15×6=72，或207-15×9=72.前面已假定每頭牛每星期的吃草量為1，而每星期新長的草量為15，因此新長出的草可供15 頭牛吃。今要放牧21 頭牛，還餘下21-5=6頭牛要吃牧場上原有的草，這牧場上原有的草量夠6頭牛吃幾個星期，就是21 頭牛吃完牧場上草的時間。72÷6=12（星期）。

也就是說，放牧21 頭牛，12 個星期可以把牧場上的草吃光。

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