CIE A Level S1 統計中組合的三種基本套路

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　　組合(combination)和排列(permutation)是A-Level統計S1中必考題，經常出現在考試的壓軸題。一般10分左右，排列組合的知識點會在一道大題中同時出現。

　　之前的推送，大家講解了排列(permutation)的三大黃金法則。乾貨||CIE A Level 數學 S1 統計學排列的三大黃金法則 (上) 乾貨||CIE A Level 數學 S1 統計學排列的三大黃金法 (下)希望可以幫助大家解決一部分排列的困惑。

　　拿到一道題我們首先要學會分辨哪幾道小題考排列，哪幾道小題考組合。

　　排列的關鍵詞：arrange，arranged，arrangement，order —— 使用nPr

　　組合的關鍵詞：selection，share，no order —— 使用nCr

　　熱身真題

　　Issam has 11 different CDs, of which 6 are pop music, 3 are jazz and 2 are classical.

　　Issam makes a selection of 2 pop music CDs, 2 jazz CDs and 1 classical CD. How many different possible selections can be made? [3] (2008年夏天卷第3題第2小題)

　　劃重點 ：

　　1. 題中出現 selections，使用nCr

　　2. 統計中 and 用 ×， or 用 +

　　解題步驟 ：

　　6個pop選2個：6C2

　　3個jazz選2個：3C2

　　2個classical 選1個：2C1

　　是and的關係，用×

　　最後答案：6C2 × 3C2 × 2C1 = 90

　　套路一

　　A男B女不能同時出現，使用總組合數減去同時出現的組合數。

　　使用條件：2個特定的人不能同時出現在一個Team裡。

　　解題方法：所有的組合數 - 兩人同時出現在Team裡的組合數。

　　例題 ：

　　8個男生，6個女生，選3男3女組成一個隊伍。其中女生二丫和男生鐵牛不能同時出現在這個隊伍裡，問有種不同的組合方法?

　　劃重點 ：

　　不能同時出現在這個組裡：套路一

　　解題步驟 ：

　　8個男生選3個：8C3

　　6個女生選3個：6C3

　　所有的組合數：8C3 × 6C3

　　二丫出現在隊伍裡：從剩下的5個女生中選2個：5C2

　　鐵牛出現在隊伍裡：從剩下的7個男生中選2個：7C2

　　女生二丫和男生鐵牛同時出現在隊伍裡：5C2 × 7C2

　　最後答案：8C3 × 6C3 - 5C2 × 7C2 = 910

　　真題時間 ：

　　Find the number of ways of selecting a group of 9 people from 14 if two particular people cannot both be in the group together. [3] (2015年夏天卷62 第6題 b小題)

　　劃重點 ：1. selecting = nCr

　　2. two particular people cannot both be in the group together 某兩個人不能同時出現=套路一

　　解題步驟 ：

　　所有組合：14人選9人：14C9

　　某兩人同時出現在這個組裡：剩下的12個人裡選7個人：12C7

　　最後答案：14C9 - 12C7 = 1210

　　套路二

　　Combination 題中看到at least 必須要分類討論。(非常重要)

　　例題：

　　Sandra wishes to buy some applications (apps) for her smartphone but she only has enough money for 5 apps in total. There are 3 train apps, 6 social network apps and 14 games apps available. Sandra wants to have at least 1 of each type of app. Find the number of different possible selections of 5 apps that Sandra can choose. [5] (15年夏天卷61 第7題 第2小題)

　　劃重點 ：

　　1. selections： 用nCr

　　2. 看到combination題裡有at least：套路二 分類討論

　　解題步驟 ：

　　1. 先分類：(總共選5個)

　　(一共有以上6種分類方法)

　　2. 分別求出每種分類的組合個數

　　以第一組為例：3個train中選1個，6個social中選1個，14個games裡選3個： 3C1 × 6C1 × 14C3

　　剩下情況雷同：

　　六種分類討論都是「or」的關係使用加法，將所有組合方法相加 = 13839

　　再來一題：

　　Rachel has 3 types of ornament. She has 6 different wooden animals, 4 different sea-shells and 3 different pottery ducks.

　　She lets her daughter Cherry choose 5 ornaments to play with. Cherry chooses at least 1 of each type of ornament. How many different selections can Cherry make? [5]

　　劃重點 ：

　　1. selections： 用nCr

　　2. 看到combination題裡有at least：套路二：分類討論

　　解題步驟 ：

　　1. 先分類

　　2. 再用nCr

　　六種情況全部相加= 894

　　套路三

　　看到 Share 用分類討論 + nCr

　　真題：

　　Find the number of different ways that a set of 10 different mugs can be shared between Lucy and Monica if each receives an odd number of mugs. [3] (2010年夏天卷61 第6題 第1小題)

　　劃重點 ：

　　看到share用分類討論 + nCr

　　解題步驟 ：

　　1. 分類討論

　　10個馬克杯分成奇數(odd)，2個人分

　　2. 使用nCr

　　第一種分類為例： 10個馬克杯1個給Lucy, 9個給Monica，也就是Lucy從10個不同的馬克杯裡選1個(10C1)，Monica從剩下的9個裡選9個：( 9C9 ) ,最後的組合有：10C1 × 9C9。剩下情況雷同：

　　最後將這5種情況相加 = 512

　　大家學會了嗎?

　　自我檢測

　　1. A group of 9 people consists of 2 boys, 3 girls and 4 adults. In how many ways can a team of 4 be chosen if ：

　　(i) both boys are in the team, [1]

　　(ii) the adults are either all in the team or all not in the team, [2]

　　(iii) at least 2 girls are in the team? [2]

　　(2012年夏天卷 61 第7題 b小題)(使用套路一和套路二)

　　2. Find the number of ways in which 9 different computer games can be shared out between Wainah, Jingyi and Hebe so that each person receives an odd number of computer games. [6] (2014年冬天卷 63 第6題 第2小題)(使用套路三)

　　答案下翻

　　1題答案

　　2題答案

　　同學們你們都做對了嗎?

　　關於組合的題，大家首先要判斷好是P還是C，然後務必使用正確的「套路」來解題。其中套路二(at least)題型是組合的考點中考察最多，分值也相對最高的，大家一定要熟練掌握。真實的考題千變萬化，三個套路不能全部概括所有情況，所以請同學們請務必多刷題，實踐出真知。

　　教師簡介：王彥蘇，英國布里斯托大學(University of Bristol)生物製藥專業碩士，藥學博士。在英國學習生活5年期間，幫助數名英國A Level學員從C考到A*的成績，回國後在新東方杭州學校從事A Level數學和生物的教學和教研工作。數學教學時長>3000小時，學員>600人次，帶出多位A Level A* 學員。

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　　(編輯：秦潔)