排列組合晉級-詳講三種微觀統計分布

最近過冷水接觸到統計方面的知識，作為統計概率的入門知識——排列組合，弄的我暈頭轉向，先考大家一個小問題「有N(5)個小球，含有i(7)個各不相同的小盒,一般情況下小盒數大於小球數。每個小盒只能放一個小球請問有多少种放置方式(C)？」。這樣的問題標準解公式應該怎麼給？有興趣的可以留言

在解決上述問題之前，過冷水帶大家一起學習一下其他類型的排列組合問題。啟迪大家思維。過冷水給大家講講簡單的排列組合的問題，我們有黑色圓，紅黃藍三種顏色的正方形。

現在我們在限定情況的條件下，三個小球和其餘任意一種顏色方形組成有序排列請問有多少種排列方式？根據枚舉法可得：

共有C=12種排列方式。所以當有人諮詢我「共有100個黑色小球、10個紅色小球、5個藍色小球、二個黃色小球，隨機組成117個有序排列」。他也會讓過冷水給他進行枚舉法演示咯？我當然不會這麼做。我會用抽象的數學語言告訴他共有多少種排列方式。大家和我一起看看這個抽象的數學語言是怎麼得到的。

這針對上述實際問題，第一個小球可能出現的位置有4，第二個小球可能出現的位置有3個。第三個小球出現的位置有二個，第四個小球的的位置有1個所以,C=4!。It is error!當每個小球都能夠區分標記的時候自然是C=4!,實際情況是有黑色小球不能區分的情況，所以根據高中排列組合不計順序的組合方式為C=4!/(3!1!)=4，該組合表示四個小球中三個小球顏色一樣，一個小球顏色不一樣有多少種組合方式。三種顏色中選擇那種顏色是不確定的，所以有三種選擇，故真正組合數為C=4!/(3!1!)*3=12即為上述問題的解。該簡單問題的組合數問題對於有獨特觀察力的高手來說一眼就能夠看出答案，過冷水提出小球組合的問題也是為了提出一個案例來輔助理解將提出的更具有一般性的答案方式。

對於有i組樣本（圖形形狀），每組中有wi個子類型(顏色)，從抽i組中抽取ni個進行排列組合。則抽取的組合數有wini,對於1,2,3,4...樣本所能抽取的組合數就有∏wini

由於之間的排序可以是任意的所以就有N( ni)個粒子可以交換位置，所以每種組合數有N!種排列，但是同一種類型的同種顏色之間的互換是不產生新的序列的，所以應該除去/∏ni,最終的狀態數為

這就是玻爾茲曼分布。

過冷水再來帶大家看另外一種分布。N個相同的小球放入i個互不相同的盒子中，每個盒子裡的球沒有限制，可有可無，請問有多少種方法？

這種高中的排列組合問題讓我們一起來溫習一下其解法，讓盒子和小球混合在一起進行排序，兩個盒子之間的小球認為放在左邊盒子中，所以最左方固定放盒子如下圖：

則這種排列方式有C=(N+i-1)!=(10+5-1)!=8.7178e+10,所以這應該就是排序方式了？其中N個小球完全相同不可分辨，所以應該除去N!因為盒子的位置次序並不重要所以應該除去（i-1）!,所以最終組合方式為

最後我們講講費米分布，費米分布理解起來比較容易，意思是一個盒子中放置一個小球，請問有多少种放法？

顯然第一個小球可以放入5個盒子中的任意一個，第二個小球可以放入4個盒子中的任意一個，第三個小球有3種方法，抽象出放置方式個數為：

以上三種分布就是過冷水在學習過程中遇到的實際案例，柑橘高中學習的排列組合知識全還給老師了，就和大家重溫一下排列組合問題。要是帶過冷水把初中、高中知識溫習一遍後，關於排列組合的問題繼續深入詳講。