編者按：本文來自微信公眾號「中科院物理所」（ID：cas-iop），本文選自《物理》2014 年第 4、6、9、11 期，2015 年第 1、3 期，作者：張天蓉，36氪經授權轉載。
不管學哪個行業，大概都聽說過奇妙的量子現象。諸如測不準原理 、薛丁格的貓之類，在日常生活中看起來匪夷所思的現象，卻是千真萬確存在於微觀的量子世界中。
許多人將聽起來有些詭異的量子理論視為天書，從而敬而遠之。有人感嘆說：「量子力學，太不可思議了，不懂啊，暈！」不懂量子力學，聽了就暈，那是非常正常的反應。聽聽諾貝爾物理學獎得主、大物理學家費曼的名言吧。費曼說：「我想我可以有把握地講，沒有人懂量子力學！」量子論的另一創始人玻爾 (Niels Bohr) 也說過：「如果誰不為量子論而感到困惑，那他就是沒有理解量子論。」既然連費曼和玻爾都這樣說，我等就更不敢吹牛了。
因此，我們暫時不要奢望「懂得」量子力學。此一系列文章的目的是讓我們能夠多了解、多認識一些量子力學。也許不能「走進」，但卻能「走近」。因為量子力學雖然神秘，卻是科學史上最為精確地被實驗檢驗了的理論，量子力學經歷了 100 多年的艱難歷史，發展至今，可說是到達了人類智力徵程上的最高成就。身為現代人，如果不曾了解一點點量子力學，就如同沒有上過網際網路，沒有寫過郵件一樣，可算是人生的一大遺憾。
剛才提及量子現象時，說到了「薛丁格的貓」，我們的討論可由此開始。
薛丁格 (E. Schrödinger，1887—1961) 是奧地利著名物理學家、量子力學的創始人之一，曾獲 1933 年諾貝爾物理學獎。在量子力學中，有一個最基本的描述原子、電子等微觀粒子運動的薛丁格方程，就是以他而命名的。
薛丁格生於維也納，死於維也納，但死後如願被葬於阿爾卑巴赫 (Alpbach) 村，一個風景優美的小山村中。他的墓碑上刻著一個大大的量子力學中波函數的符號 ψ ，而在他曾經就學的維也納大學主樓裡，有一座薛丁格的胸像，那上面雕刻著著名的薛丁格方程
「薛丁格的貓」 又是什麼呢？它不是薛丁格家裡的貓，而是薛丁格在一篇論文中提出的一個佯謬，也被稱為「薛丁格佯謬」。
薛丁格雖然創立了薛丁格方程，卻非常不滿意正統的哥本哈根詮釋對波函數及疊加態的機率解釋。於是，薛丁格便設計了一個思想實驗，在這個實驗中，他把量子力學中的反直觀效果轉嫁到日常生活中的事物上來，也就是說，轉嫁到「貓」的身上，如此而導致了一個荒謬的結論。薛丁格想以此來嘲笑對手。
既然「薛丁格的貓」與疊加態有關，那麼，首先我們需要了解，什麼是疊加態？
根據我們的日常經驗，一個物體在某一時刻總會處於某個固定的狀態。比如我說，女兒現在「在客廳」裡，或是說，女兒現在「在房間」裡。要麼在客廳，要麼在房間，這兩種狀態，必居其一。這種說法再清楚不過了。
然而，在微觀的量子世界中，情況卻有所不同。微觀粒子可以處於一種所謂疊加態的狀態，這種疊加狀態是不確定的。例如，電子有「上」、「下」兩種自旋本徵態，猶如女孩可以「在」和「不在」房間。但不同之處是，女孩只能「在」或「不在」，電子卻可以同時是「上」和「下」。也就是說，電子既是「上」，又是「 下」。電子的自旋狀態是「上」和「下」按一定機率的疊加。物理學家們把電子的這種混合狀態，叫做疊加態。
總結一下，什麼是疊加態呢？就好比是說，女兒「既在客廳，又在房間」，這種日常生活中聽起來邏輯混亂的說法，卻是量子力學中粒子所遵循的根本之道，不是很奇怪嗎？聰明的讀者會說：「女兒此刻『在客廳』或『在房間』，同時打開客廳和房間的門，看一眼就清楚了。電子自旋是上，或是下，測量一下不就知道了嗎？」 說得沒錯，但奇怪的是，當我們對電子的狀態進行測量時，電子的疊加態不復存在，它的自旋坍縮到「上」，或是「下」，兩個本徵狀態的其中之一。
聽起來好像和我們日常生活經驗差不多嘛！但是，請等一等！我們說的微觀行為與宏觀行為之不同，是在於觀測之前。即使父母不去看，女兒在客廳或房間，已成事實，並不以「看」或「不看」而轉移。而微觀電子就不一樣了：在觀察之前的狀態，並無定論，是「既是……，又是……」的疊加狀態，直到我們去測量它，疊加狀態才坍縮成一個確定的狀態（本徵態）。這是微觀世界中量子疊加態的奇妙特點。
儘管量子現象顯得如此神秘，量子力學的結論卻早已在諸多方面被實驗證實，被學術界接受，在各行各業還得到各種應用，量子物理學對我們現代日常生活的影響無比巨大。以其為基礎產生的電子學革命及光學革命將我們帶入了如今的計算機資訊時代。可以說，沒有量子力學，就不會有今天所謂的高科技產業。
如何解釋量子力學的基本理論，仍然是見仁見智，莫衷一是。這點也曾經深深地困擾著它的創立者們，包括偉大的愛因斯坦。微觀疊加態的特點與宏觀規律如此不同，物理學家（例如薛丁格）也想不通。於是，薛丁格在 1935 年發表了一篇論文，題為《量子力學的現狀》，在論文的第 5 節，薛丁格編出了一個「薛丁格的貓」的理想實驗，試圖將微觀不確定性變為宏觀不確定性，微觀的迷惑變為宏觀的佯謬，以引起大家的注意。果不其然！物理學家們對此佯謬一直眾說紛紜、爭論至今。
以下是「薛丁格的貓」的實驗描述：把一隻貓放進一個封閉的盒子裡，然後把這個盒子連接到一個裝置，其中包含一個原子核和毒氣設施。設想這個原子核有 50% 的可能性發生衰變。衰變時發射出一個粒子，這個粒子將會觸發毒氣設施，從而殺死這隻貓。根據量子力學的原理，未進行觀察時，這個原子核處於已衰變和未衰變的疊加態，
因此，那只可憐的貓就應該相應地處於「死」和「活」的疊加態。非死非活，又死又活，狀態不確定，直到有人打開盒子觀測它。
實驗中的貓，可類比於微觀世界的電子（或原子）。在量子理論中，電子可以不處於一個固定的狀態（上或下），而是同時處於兩種狀態的疊加（上和下）。如果把疊加態的概念用於貓的話，那就是說，處於疊加態的貓是半死不活、又死又活的。
量子理論認為：如果沒有揭開蓋子，進行觀察，薛丁格的貓的狀態是「死」與「活」的疊加。此貓將永遠處於同時是死又是活的疊加態。這與我們的日常經驗嚴重相違。一隻貓，要麼死，要麼活，怎麼可能不死不活、半死半活呢？別小看這一個聽起來似乎荒謬的物理思想實驗（Gedankenexperiment，想像的實驗）。它不僅在物理學方面極具意義，在哲學方面也引申了很多的思考。
談到哲學，聰明的讀者又要笑了，因為在古代哲學思想中，不乏這種似是而非、模稜兩可的說法。這不就是辯證法的思想嗎？你中有我，我中有你，一就是二，二就是一，合二而一，天人合一，等等，如此而已。此話不假，因此才有人如此來比喻「薛丁格的貓」：男女在開始戀愛前，不知道結果是好或者不好，這時，可以將戀愛結果看成好與不好的混合疊加狀態。如果你想知道結果，唯一的方法是去試試看，但是，只要你試過，你就已經改變了原來的結果了！
無論從人文科學的角度如何來詮釋和理解「薛丁格的貓」，人們仍然覺得量子理論聽起來有些詭異。有讀者可能會說：「你拉扯了半天，我仍然不懂量子力學啊！」還好，剛才我們已經給讀者打了預防針，不是嗎？沒有人懂量子力學，包括薛丁格自己在內！薛丁格的本意是要用「薛丁格的貓」這個實驗的荒謬結果，來嘲笑哥本哈根學派對量子力學、對薛丁格方程引進的「波函數」概念的機率解釋，但實際上，這個假想實驗使薛丁格站到了自己奠基的理論的對立面上，難怪有物理學家調侃地說到：「薛丁格不懂薛丁格方程！」
薛丁格不僅對量子力學有巨大的貢獻，他還寫過一本生物學方面的書和許多科普文章。1944 年，他出版了《生命是什麼》一書。此書中薛丁格自己發展了分子生物學， 提出了負熵的概念，他想通過物理的語言來描述生物學中的課題。之後發現了 DNA 雙螺旋結構的瓦森 (James D. Watson) 與克裡克 (Francis Crick) 都表示曾經深受薛丁格這本書的影響。
據說薛丁格在科學上的這些成就與他的私生活還有著緊密的聯繫。薛丁格應該具有超凡的個人魅力， 一生風流倜儻， 女友無數。他的風流故事甚至誘發了現代舞臺劇編導、紐約劇作家馬修韋爾斯的靈感，寫出了一部名為《薛丁格的女朋友》的舞臺劇。
這部舞臺劇是關於愛、性和量子物理學的另類浪漫喜劇。劇中的女主人公是位很不一般的神秘女人，正是她極大地激發了薛丁格的靈感，使得他在之後的一年內，接連不斷地發表了六篇關於量子力學的主要論文， 並提出了著名的薛丁格方程。因此，在享受量子力學帶給我們輝煌燦爛的科技成果的今天，我們或許也應該感謝這位神秘女郎的貢獻。
薛丁格在《生命是什麼》一書中也認真探討過男女關係，認為女人是紅色，男人是紫色，男人創造的靈感來自於女人。也許這是薛丁格當年的真實感受，也由此而傳為美談。但如今我們從物理學和歷史的角度來看待這個問題，薛丁格 1926 年奠定了量子力學基礎的幾篇論文，是建立在雄厚的經典力學和數學基礎之上的，絕不可能僅僅是某個神秘女友激發了薛丁格天才的想像力和靈感的結果。
綜上所述，薛丁格建立了微觀世界中粒子的波函數所遵循的薛丁格方程。但後來，薛丁格不同意哥本哈根派對波函數的解釋，因而設計了「薛丁格的貓」的思想實驗。用薛丁格自己的話來說，他要用這個惡魔般的裝置讓人們聞之色變。薛丁格說：「看吧，如果你們將波函數解釋成粒子的機率波的話，就會導致一個既死又活的貓的荒謬結論。因此，機率波的說法是站不住腳的！」
這隻貓的確令人毛骨悚然，相關的爭論一直持續到今天。連當今偉大的物理學家霍金也曾經憤憤地說：「 當我聽說薛丁格的貓的時候，我就想跑去拿槍，乾脆一槍把貓打死！」
在宏觀世界中，既死又活的貓不可能存在，但許多實驗都已經證實了微觀世界中疊加態的存在。總之，通過「薛丁格的貓」，我們認識了疊加態，以及被測量時疊加態的坍縮。疊加態的存在，是量子力學最大的奧秘，是量子現象給人以神秘感的根源，是我們了解量子力學的關鍵。
現在，讓我們再回到玻爾和愛因斯坦有關量子理論的爭論——以下簡稱為「玻愛之爭」。
兩人都是偉大的物理學家，對量子理論的發展都做出了傑出的貢獻。分別因為解決光電效應問題和量子化原子模型而獲得 1921 年、1922 年的諾貝爾物理學獎。愛因斯坦和玻爾的爭論主要是有關量子力學的理論基礎及哲學思想方面。實際上，也正因為這兩位大師的不斷論戰，量子力學才在辯論中發展成熟起來。
愛因斯坦一直對量子論及玻爾一派的解釋持懷疑態度，他提出了一個又一個的思想實驗，企圖證明量子論及正統詮釋的不完備性和荒謬性，直到他們逝世之後，這場論戰仍在物理學界繼續進行。但遺憾的是，直到目前為止，每次的實驗結果似乎並沒有站在愛因斯坦這位偉人這邊。
這場有關量子論的大論戰攪得它的創立者們夜不能寐、寢食難安，當年在世的物理學家幾乎全都被牽扯其中。學術界的紛爭能促進學術的進步，但也能損害學者們的生理和心理健康，甚至還有物理學家因此而自殺的。
1906 年，著名的奧地利物理學家玻爾茲曼在義大利度假的旅店裡上吊自殺。玻爾茲曼性格孤僻內向，關注他的「原子論」的基礎，厭煩馬赫等不同見解者的詰難。儘管這場論戰與量子論之爭拉不上多少關係，並且最後是以玻爾茲曼的取勝而告終。
但是，長長的辯論過程使玻爾茲曼精神煩躁，不能自拔，痛苦與日俱增，最後只能用自殺來解脫心中的一切煩惱。玻耳茲曼的死使學者們震驚，也在一定程度上影響了荷蘭物理學家埃倫費斯特 (Paul Ehrenfest，1880—1933)。後者曾經師從玻耳茲曼，是愛因斯坦的好友，其「浸漸假說」與玻爾的對應原理，是在經典物理學和量子力學之間架起的兩座橋梁。埃倫費斯特於 1933 年 9 月 25 日飲彈自盡，他的死震動了物理界。
玻愛兩人的第一次交鋒是 1927 年的第五屆索爾維會議。那可能算是一場前無古人後無來者的物理學界群英會。在這次會議的歷史照片中，列出來的鼎鼎大名使你不能不吃驚。在這次與會的 29 人中，有 17人獲得了諾貝爾物理學獎。
索爾維是一位對科學感興趣的實業家，因發明了一種制鹼法而致富。據說索爾維財大氣粗後自信心倍增，發明了一種與物理實驗和理論都扯不上關係的有關引力和物質的荒謬理論。儘管物理學家們對他的理論不屑一顧，但對他所舉辦的學術會議卻是趨之若鶩。因此，當年那幾屆索爾維會議就變成了量子論的大型研討會，也就是玻愛之爭的重要戰場。玻愛之爭有三個回合值得一提，前兩次起始於 1927 年和 1930 年的索爾維會議，第三次則是第七屆索爾維會議後的 1935 年。
愛因斯坦對量子論的質疑要點有三個方面，也就是愛因斯坦始終堅持的經典哲學思想和因果觀念：一個完備的物理理論應該具有確定性、實在性和局域性。
愛因斯坦認為，量子論中的海森伯原理違背了確定性。根據海森伯的測不準原理，一對共軛變量(比如：動量和位置，能量和時間)是不能同時準確測量的：當準確測定一個粒子在此刻的速度時，就無法測準其在此刻的位置；如果要想準確測定位置，就不可能準確地測量速度。因此他說：「上帝不擲骰子！」
這兒所謂的「上帝擲骰子」，不同於人擲骰子。在當今的科學技術領域中，統計學和概率學是常用的數學工具。人們應用統計方法來預測氣候的變化，股市的走向，物種的繁衍，人心的向背。幾乎在各門學科中，都離不開「概率」這個詞。
然而，我們在這些情況下應用概率的規律，是由於我們掌握的信息不夠，或者是沒有必要知道那麼多。比如說，當人向上丟出一枚硬幣，再用手接住時，硬幣的朝向似乎是隨機的，可能朝上，可能朝下。但這種隨機性是因為硬幣運動不易控制，從而使我們不了解硬幣從手中飛出去時的詳細信息。
如果我們對硬幣飛出時的受力情況知道得一清二楚，就完全可以預知它掉下來時的方向，因為硬幣實際上遵從的是完全確定的宏觀力學規律。而量子論不同於此，量子論中的隨機性是本質的。換句話說：人擲骰子，是外表的或然；上帝擲骰子，是本質的或然。
所謂實在性，則類似於我們熟知的唯物主義，認為物質世界的存在不依賴於觀察手段。月亮實實在在地掛在天上，不管我們看它還是不看它。局域性的意思則是說，在互相遠離的兩個地點，不可能有瞬時的超距作用。
1927 年 10 月，那是布魯塞爾鮮花盛開、紅葉飄零的季節，著名的第五屆索爾維會議在此召開。這次會議群賢畢至，濟濟一堂。我們似乎從這張老照片眾多閃光的名字中，看到了量子論兩大派別各路英雄一個個生動的形象：每個人都身懷特技，帶著自己的獨門法寶，鬥志昂揚、精神抖擻，應邀而來。
玻爾高舉著他的「 氫原子模型」，玻恩口口聲聲念叨著「概率」，德布羅意騎著他的「波」，康普頓西裝上印著「效應」二字，狄拉克夾著一個「算符」，薛丁格挎著他的「方程」，身後還藏了一隻不死不活的「貓」，布拉格手提「晶體結構」模型，海森伯和他的同窗好友泡利形影不離，兩人分別握著「測不準原理」和「不相容原理」，埃倫費斯特也緊握他的「浸漸原理」大招牌。
最後登場的愛因斯坦，當時四十多歲，還沒有修成像後來那種一頭白髮亂飄的仙風道骨形象。不過，他舉著劃時代的兩面相對論大旗，頭頂光電效應的光環。因此，他洋洋灑灑跨輩份地坐到了第一排老一輩無產階 級革命家的中間。那兒有一位德高望重的白髮老太太，鐳和釙的發現者居裡夫人。另外，我們還看到了好些別的大師們的豐功偉績：洛倫茲的「變換」、普朗克的「常數」、朗之萬的「原子論」、威耳遜的「雲霧室」，等等。
儘管人人都身懷絕技，各自都有不同的獨門功夫，但大家心中都藏著一個謎團——對於他們共同哺育而發展壯大起來的新理論——量子力學，應該如何解釋和詮釋呢？諸位大師們對此莫衷一是，眾說紛紜。
兩派人馬旗鼓相當：玻爾的哥本哈根學派人數多一些，但愛因斯坦這邊有薛丁格和德布羅意，三個重量級人物，不可小覷。
最後，就正式會議來說，這是量子論一次異常成功的大會，玻爾掌門的哥本哈根派和它對量子論的解釋大獲全勝。閉幕式上，愛因斯坦一直在旁邊按兵不動，沉默靜坐，直到玻爾結束了關於「互補原理」的演講後，他才突然發動攻勢：「很抱歉，我沒有深入研究過量子力學，不過，我還是願意談談一般性的看法。」然後，愛因斯坦用一個關於α 射線粒子的例子表示了對玻爾等學者發言的質疑，不過，他當時的發言相當溫和。
但是，在正式會議結束之後幾天的討論中，火藥味就要濃多了。根據海森伯的回憶，常常是在早餐的時候，愛因斯坦設想出一個巧妙的思想實驗，以為可以難倒玻爾，但到了晚餐桌上，玻爾就想出了招數，一次又一次化解了愛因斯坦的攻勢。當然，到最後，誰也沒有說服誰。
1930 年秋，第六屆索爾維會議在布魯塞爾召開。早有準備的愛因斯坦在會上向玻爾提出了他的著名的思想實驗——「光子盒」。實驗的裝置是一個一側有一個小洞的盒子，洞口有一塊擋板，裡面放了一隻能控制擋板開關的機械鐘。小盒裡裝有一定數量的輻射物質。這隻鍾能在某一時刻將小洞打開，放出一個光子來。這樣，它跑出的時間就可精確地測量出來了。同時，小盒懸掛在彈簧秤上，小盒所減少的質量，也即光子的質量便可測得，然後利用質能關係 E＝mc2 便可得到能量的損失。這樣，時間和能量都同時測準了，由此可以說明測不準關係是不成立的，玻爾一派的觀點是不對的。
描述完了他的光子盒實驗後，愛因斯坦看著啞口無言、搔頭抓耳的玻爾，心中暗暗得意。不想好夢不長，只過了一個夜晚，第二天，玻爾居然「以其人之道，還治其人之身」，找到了一段最精彩的說辭，用愛因斯坦自己的廣義相對論理論，戲劇性地指出了愛因斯坦這一思想實驗的缺陷。
光子跑出後，掛在彈簧秤上的小盒質量變輕即會上移，根據廣義相對論，如果時鐘沿重力方向發生位移，它的快慢會發生變化，這樣的話，那個小盒裡機械鐘讀出的時間就會因為這個光子的跑出而有所改變。換言之，用這種裝置，如果要測定光子的能量，就不能夠精確控制光子逸出的時刻。因此，玻爾居然用廣義相對論理論中的紅移公式，推出了能量和時間遵循的測不準關係！
無論如何，儘管愛因斯坦當時被回擊得目瞪口呆，卻仍然沒有被說服。不過，他自此之後，不得不有所退讓，承認了玻爾對量子力學的解釋不存在邏輯上的缺陷。「量子論也許是自洽的」，他說，「但卻至少是不完備的」。因為他認為，一個完備的物理理論應該具有確定性、實在性和局域性！
玻爾雖然機敏地用廣義相對論的理論回擊了愛因斯坦「光子盒」模型的挑戰，自己心中卻仍然不是十分踏實，自覺辯論中有些投機取巧的嫌疑！從經典的廣義相對論出發，是應該不可能得到量子力學測不準原理的，這其中許多疑問仍然有待澄清。況且，誰知道愛因斯坦下一次又會想出些什麼新花招呢？玻爾口中不停地念著：「愛因斯坦，愛因斯坦……愛因斯坦，愛因斯坦……」，心中無比感慨。玻爾對這第二個回合的論戰始終耿耿於懷，直到1962年去世。據說，他的工作室黑板上還一直留著當年愛因斯坦那個光子盒的圖。
玻愛之爭的第三個回合，就到了 1935 年，這場論戰達到了它的頂峰。這就是我們下一篇要講到的 EPR 佯謬，它將引領我們進入本文的主題：量子糾纏。
玻爾和愛因斯坦的第三次爭論，本來應該發生在 1933 年的第七屆索爾維會議上。但是，愛因斯坦未能出席這次會議，他被納粹趕出了歐洲，剛剛風塵僕僕地到達美國，被聘為普林斯頓高等研究院教授。德布羅意和薛丁格出席了會議，但薛丁格沒見到愛因斯坦暫時不想發言，德布羅意也不想單獨與人辯論。這令玻爾大大鬆了一口氣，會議上哥本哈根派唱獨角戲，看起來量子論已經根基牢靠，論戰似乎塵埃落定。
然而，愛因斯坦畢竟是個偉人，不是那麼容易服輸的。儘管他當時因戰爭而流離失所，未能參加索爾維會議，儘管到普林斯頓之後他的妻子身染重病，到了知天命年齡的愛因斯坦，仍然十分關注量子力學的進展，並更加深入地思考量子理論涉及的哲學問題。
筆者的老師和論文委員會成員之一的約翰·惠勒 (John Archibald Wheeler)，曾經在一次聚會上，對筆者說過一段有關愛因斯坦的故事：1948 年，普林斯頓的費曼在惠勒的指導下，完成了他的博士論文，他以惠勒早期的一個想法為基礎，開創了用路徑積分來表述量子力學的方法。當年，惠勒曾經將費曼的論文交給愛因斯坦看，並對愛因斯坦說：「 這個工作不錯，對吧？」 又問愛因斯坦：「現在，你該相信量子論的正確性了吧！」 愛因斯坦沉思了好一會兒，臉色有些灰暗，怏怏不快地說：「也許我有些什麼地方弄錯了。不過，我仍舊不相信老頭子 (上帝) 會擲骰子！」
再回到玻爾和愛因斯坦的第三次論戰。當年的愛因斯坦，初來乍到普林斯頓，語言尚且生疏，生活不甚順暢，因此，他不堪孤身獨戰，找了兩個合作者，構成了一個被物理學家們稱為不是十分恰當的組合。Boris Podolsky 和 Nathan Rosen 是愛因斯坦在普林斯頓高等研究院的助手。1935 年 3 月，Physics Review 雜誌上發表了他們和愛因斯坦共同署名的 EPR 論文。文章中描述了一個佯謬，之後，人們就以署名的三位物理學家名字的第一個字母命名，稱為「EPR佯謬」。
愛因斯坦等人在文中構想了一個思想實驗，意為在現實中無法做，或難以做到，而使用想像力進行的實驗。EPR 原文中使用粒子的坐標和動量來描述由此思想實驗而導致的所謂 EPR 佯謬，其數學表述非常複雜。後來，博姆用電子自旋來描述，就簡潔易懂多了。EPR 論文中涉及到「量子糾纏態」的概念。這個名詞當時還尚未被愛因斯坦等3 位作者採用。「糾纏」的名字是薛丁格在 EPR 論文之後不久，得意洋洋地牽出他那只可怖的貓時候，第一次提到的[8]。因此，我們首先解釋一下，何謂量子糾纏態？
讀者應該還記得我們解釋過的「量子疊加態」。疊加態這個概念一直貫穿本文中，從薛丁格的貓，到雙縫實驗中似乎同時通過兩條縫的單個電子，不都是這個匪夷所思的「疊加態」在作怪嗎？不過，之前對疊加態的解釋，都是針對一個粒子而言的。如果把疊加態的概念用於兩個以上粒子的系統，就更產生出來一些怪之又怪的現象，那些古怪行為的專利，就該歸功於既疊加又糾纏的「量子糾纏態」。
比如，我們考慮一個兩粒子的量子系統。兩個粒子組成的系統，不外乎兩種情況：一種是兩個粒子互不幹擾和耦合，各自遵循自已的規律。這種情況下，整個系統的狀態可以寫成兩個粒子的狀態的乘積。而每個粒子的狀態，一般來說，就自旋而言，是自旋 |上> 和自旋 |下> 按一定概率分布構成的疊加態。這種情況下的系統，可看作是由兩個獨立的單粒子組成，除了分別都具有疊加態的性質之外，沒有產生什麼有意思的新東西。
另一類情況則非常有意思，那就是當兩個粒子互相關聯，整個系統的狀態無法寫成兩個粒子狀態乘積的時候。我們借用「糾纏」這個詞來描述兩個粒子之間的互相關聯。也就是說，這種情形下，兩個粒子的疊加態「互相糾纏」在一起，使得測量結果互相影響，即使是當兩個粒子分開到很遠很遠的距離之時，這種似乎能瞬間互相影響的「糾纏」照樣存在。
愛因斯坦等三人在他們提出的思想實驗中，描述了一個不穩定的大粒子衰變成兩個小粒子 (A 和B) 的情況，兩個小粒子分別向相反的兩個方向飛出去。假設粒子有兩種可能的自旋，分別是 |上> 和 |下>，那麼，如果粒子 A 的自旋為 |上>，粒子 B 的自旋便一定是 |下>，才能保持總體守恆，反之亦然。這時我們說，這兩個粒子構成了量子糾纏態。
兩個粒子 A 和 B 朝相反方向飛奔，它們相距越來越遠，越來越遠……。根據守恆定律，無論相距多遠，它們應該永遠是 |上>|下> 關聯的。兩邊分別由觀察者 Alice 和 Bob 對兩個粒子進行測量。根據量子力學的說法，只要Alice 和Bob 還沒有進行測量，每一個粒子都應該處於某種疊加態，比如說，|上>、|下> 各為 50% 概率的疊加態。然後，如果 Alice 對 A 進行測量，A 的疊加態便在一瞬間坍縮了，比如，坍縮成了 |上>。現在，問題就來了：既然 Alice 已經測量到 A 為 |上>，因為守恆的緣故，B 就一定要為 |下>。
但是，此時的 A 和 B 之間已經相隔非常遙遠，比如說幾萬光年吧，按照量子力學的理論，B 也應該是|上>和|下>各一半的概率，為什麼它能夠做到總是選擇|下>呢？除非A 粒子和B粒子之間有某種方式及時地「互通消息」？即使假設它們能夠互相感知，那也似乎是一種超距瞬時的信號！而這超距作用又是現有的物理知識不容許的。於是，這就構成了佯謬。因此，EPR 的作者們洋洋得意地得出結論：玻爾等人對量子論的機率解釋是站不住腳的。
愛因斯坦最得意的時刻，莫過於難倒了玻爾這個老朋友！他洋洋自得地倒在躺椅上，雙腳架在前方的矮茶几上，將左手握的菸斗叼在口裡，瞪著一對孩童般天真的大眼睛，像是不經意地望著身旁略顯困惑的玻爾。
不過，此一時彼一時！這時的玻爾，已經知己知彼、老謀深算。他深思熟慮之後，很快就明白了，立刻上陣應戰。玻爾知道，愛因斯坦的思路完全是經典的。愛因斯坦總是認為有一個離開觀測手段而存在的實在世界。這個世界圖像是和玻爾代表的哥本哈根派的「觀測手段影響結果」的觀點完全不一致的。玻爾認為，微觀的實在世界，只有和觀測手段連起來講才有意義。在觀測之前，談及每個粒子的自旋是 |上> 或 |下> 沒有任何意義。
另一方面，因為兩個粒子形成了一個互相糾纏的整體，只有波函數描述的整體才有意義，不能將其視為相隔甚遠的兩個分體，既然只是協調相關的一體，它們之間無需傳遞什麼信息！因此，EPR 佯謬只不過是表明了兩派哲學觀的差別：愛因斯坦的「經典局域實在觀」和玻爾一派的「量子非局域實在觀」的根本區別。
當然，哲學觀的不同是根深蒂固、難以改變的。愛因斯坦絕對接受不了玻爾的這種古怪的說法，即使在之後的二三十年中，玻爾的理論佔了上風，量子論如日中天，它的各個分支高速發展，給人類社會帶來了偉大的技術革命，愛因斯坦仍然固執地堅持他的經典信念，反對哥本哈根對量子論的詮釋。
為了加深對糾纏態的理解，我們再用上圖所示的擲骰子的例子進一步說明兩個粒子的「糾纏」。糾纏著的粒子，就像上圖機器中發射出來的骰子。這兒用骰子來比喻疊加態中的粒子。
我們這個能發射成對骰子的機器很特別，這些成對的骰子分別朝兩條路 (這兒所謂的「路」到底是什麼，鐵管？空氣？我們也不予考究) 射出去，互相分開越來越遠；並且，每個骰子在其各自的路徑上不停地隨機滾動，它的數值不定，是 1-6 中的一個，每個數值的機率為六分之一。圖中也用 Alice 和 Bob 來代表兩個不同的觀察者，如果 Alice 和 Bob 在相距很遠的地方分別觀察這兩路骰子，會得到什麼結果呢？
首先，他們如果只看自已這一邊的觀測數據，每個人都是得到一連串的 1 到 6 之間的隨機序列，每個數字出現的機率大約等於六分之一，這絲毫也不令人奇怪，這正是我們單獨多次擲一個骰子時的經驗。但是，當 Alice 和 Bob 將他們兩人的觀測結果拿到一起來比較的話，就會看出點奇怪之處了：在他們同時觀測的那些時間點，兩邊的骰子所顯示的結果總是互相關聯的 (這種情況下，關聯意味著「 相等」)，如果 Alice 看到的結果是 6，Bob 看到的也是 6；如果 Alice 看到的結果是 4，Bob 看到的也是 4……
量子力學中的糾纏態，就和上面例子中的一對骰子的情況類似。換言之，量子糾纏態的意思就是，兩個粒子的隨機行為之間，發生了某種關聯。上面例子中的關聯是「結果相同」，但實際上也可以是另外一種方式，比如說，兩個結果相加等於 7：如果 Alice 看到的結果是 6，Bob 看到的就是1；如果 Alice 看到的結果是 4，Bob 看到的就是3……。只要有某種關聯，我們就說這兩個粒子互相糾纏。
剛才談到過的約翰·惠勒，曾經與玻爾和愛因斯坦在一起工作過，被人稱為「哥本哈根學派的最後一位大師」。惠勒也是「黑洞」一詞的命名者。學物理的也許記得他和他兩個學生合寫的那部大塊頭著作：《引力論》(Gravitation)。此書洋洋灑灑 1279 頁，拿起來像塊大磚頭，是一部既學術嚴謹又風格詼諧的巨著。
惠勒是在 2008 年 96 歲高齡時去世的。難能可貴的是，90 多歲高齡的他還一直在繼續思考量子力學中的哲學問題。去世後，人們發現他的本子上還留有 95 歲時寫下的物理研究筆記。
惠勒對量子論的貢獻非同一般。上世紀 80 年代初期，筆者在德州奧斯汀大學時，有幸與惠勒博士在一起工作，並準備和翻譯當時他去中國訪問的講稿，那篇講稿是基於他的一篇論文 Law without Law ( 沒有定律的定律 )，後來，此講稿由中國科學技術大學的方勵之編著，1982 年出版，取名為《物理學和質樸性——沒有定律的定律》[9]。
也許正是因為在晚年時思考了太多有關量子力學的哲學問題，惠勒在談話中經常會冒出幾句哲理深奧的話語，剛才說的演講稿的標題就是一例：《沒有定律的定律》。此外，他還說過「沒有質量的質量」、「沒有規律的規律」等意味深長的妙句，發明了「黑洞」、「真子(geon)」、「量子泡沫」等使人遐想聯翩的科學名詞。記得惠勒曾引用玻爾的話說，「任何一種基本量子現象只在其被記錄之後才是一種現象」，其意思正代表了哥本哈根派的觀點！
當年的記憶
在筆者 1983 年對惠勒教授的一次訪談中，重視教育的惠勒談到了玻爾當年的研究所及他個人的一些教育理念[10]。惠勒說：「……早期的玻爾研究所，樓房大小不及一家私人住宅，人員通常只有 5 個，但玻爾卻不愧是當時物理學界的先驅，叱吒著量子理論的一代風雲。
在那兒，各種思想的新穎和活躍，在古今的研究中是罕見的。尤其是每天早晨的討論會，既有發人深思的真知灼見，也有貽笑大方的狂想謬誤，既有嚴謹的學術報告，也有熱烈的自由爭論。然而，所謂地位的顯赫、名人的威權、家長的說教、門戶的偏見，在那鬥室之中，卻沒有任何立足之處」。「沒有矛盾和佯謬，就不可能有科學的進步。
約麗斑駁的思想火花往往閃現在兩個同時並存的矛盾的碰撞切磋之中。因此我們教學生、學科學，就得讓學生有『 危機感』，學生才覺得有用武之地。否則，學生只看見物理學是一座完美無缺的大廈，問題卻沒有了，還研究什麼呢？從這個意義上來說，不是老師教學生，而是學生『教』老師。」
「對愛因斯坦來說，古怪的並協性完全不可接受。」談到玻爾和愛因斯坦的量子力學之爭時，惠勒說，「很難再找到其他先例能和這場論戰相比擬，它發生在如此偉大的兩個人之間，經歷了如此長久的時間，涉及如此深奧的問題，卻又是在如此真摯的友誼關係之中……」。
在《物理學和質樸性》講稿中，惠勒提到他在 1979 年為紀念愛因斯坦誕辰 100 周年的普林斯頓討論會上，提出的所謂「延遲選擇實驗」(delayed choice experiment)。這個「延遲選擇實驗」，是我們討論過的「電子雙縫幹涉」實驗的一個令人吃驚的新版本。
在新構想中，惠勒戲劇化地將實驗稍加改變，便可以使得實驗員能在電子已經通過雙縫之後，作出「延遲決定」，從而改變電子通過雙縫時的歷史！惠勒曾經用一個龍圖來說明這一點。這個龍圖也可以用費曼的路徑積分觀點來理解：龍的頭和尾巴對應於測量時的兩個點，在這兩點測量的數值是確定的。根據量子力學的路徑積分解釋，兩點之間的關聯可以用它們之間的所有路徑貢獻的總和來計算。因為要考慮所有的路徑，因此，龍的身體就將是糊裡糊塗的一片。
惠勒想像中的龍圖。只有龍頭和龍尾這兩個觀測點是清晰的，其餘部分則是一團迷霧
在惠勒的「延遲選擇實驗」構想提出 5 年後，馬裡蘭大學的卡洛爾·阿雷(Carroll O Alley)實現了這個延遲選擇實驗，其結果和玻爾一派預言的一樣，和愛因斯坦的預言相反！後來，慕尼黑大學的一個小組也得到了類似的結果。
惠勒提出「 延遲選擇實驗」時，已經到了 1979 年。我們先回到 1964 年。出於捍衛愛因斯坦 EPR 論文的初衷，追尋愛因斯坦之「實在論」之夢，另一位傑出的英國物理學家，約翰·斯圖爾特·貝爾 (JohnStewart Bell)，帶著他的「貝爾不等式」，瀟灑登場。
惠勒不僅構想了「延遲選擇實驗」，也是提出驗證光子糾纏態實驗的第一人。他在 1948 年提出，由正負電子對湮滅生成的一對散射光子應該具有兩個不同的自旋，即如果一個是左旋，另一個就應該是右旋。也就是說，這一對光子互相糾纏。一年之後，吳健雄和薩科諾夫成功地完成了這個實驗，證實了惠勒的預言，生成了歷史上第一對互相糾纏的光子。
物理理論是必須用實驗來驗證的，這就是為什麼諸如玻爾、愛因斯坦、惠勒這些大理論物理學家都非常熱衷於提出一個又一個思想實驗的原因。量子糾纏態近年來宏圖大展，也是以實驗中的不斷突破為基礎。這個突破起始於英國物理學家約翰·斯圖爾特·貝爾 (JohnStewart Bell)，他用著名的「貝爾不等式」將 EPR 佯謬中的思想實驗推進到一個切實可行的物理實驗。
貝爾於 1928 年出生在北愛爾蘭的一個工人家庭，那是玻爾和愛因斯坦索爾維會上首次開戰後的第二年。也許這是上帝在冥冥之中派來的一個將來能夠突破「玻愛世紀之爭」僵局的使者吧。小時候的貝爾一頭紅髮，滿臉雀斑，為人誠實，聰明好學，長大後則迷上了理論物理。他嚴謹多思，意志頑強，不屈不饒，敢作敢當，對疑難問題一頭紮下去，不弄個水落石出絕不罷休。
然而，量子論的理論研究只是貝爾的業餘愛好。他多年供職於歐洲高能物理中心 (CERN)，做與加速器設計工程有關的工作，與理論物理，特別是量子論的理論基礎的工作，相距甚遠。貝爾只能利用業餘時間來研究理論物理。正是這一業餘研究使貝爾留名於物理史。
我們再回到玻愛之爭的頂峰——EPR 佯謬的問題上來。當時玻爾寫文章回擊了愛因斯坦等人的質疑，世紀爭論似乎平息了，哥本哈根詮釋成為量子論的正統解釋。再說，既然問題是出在兩大巨頭不同的哲學觀上，便引不起多少人的興趣了。
大多數科學家已經很少關心他們的爭執。量子論的成功有目共睹，科技革命的果實每個人都樂於分享，每天早上太陽照樣從東方升起，誰也看不見波函數如何坍縮，又有誰管那些微觀世界中被理論物理學家們描述得神乎其神的奇怪的量子現象呢？玻爾代表的量子論的正統解釋也有其道理，當我們沒有去進行量子測量，沒有抓住薛丁格的貓之前，討論這隻貓到底是死是活也許沒有什麼意義。反正只要在進行測量時，能知道它是死的還是活的就行了！
當然，也總有那麼一些腦袋停不下來的理論物理學家仍然在冥思苦想這個問題：應該如何解釋量子論中詭異的相干性和糾纏性？在此，我們順便用幾句話簡單總結一下前幾講中提到過的有關知識。相干性涉及光和粒子的波粒二相性，最簡單的例子是雙縫幹涉實驗；糾纏性是 EPR 論文中提出的，涉及多個粒子的量子糾纏態。這是了解量子論詭異性的兩個不同層次。
雙方的爭執為什麼三番五次總不能平息？關鍵問題是：愛因斯坦這邊堅持的是一般人都具備的日常生活中得來的經典常識，玻爾一方卻更執著於微觀世界的觀測結果。那麼，既然愛因斯坦不同意玻爾的機率解釋，有人就總想找出別的解釋，既能照顧到愛因斯坦的「經典情結」，又能導出量子論的結論。這其中，支持度較多的有「多世界詮釋」和「隱變量詮釋」。
可以再借用薛丁格的貓來簡述「多世界詮釋」。持這種觀點的人認為，兩隻貓都是真實的。有一隻活貓，有一隻死貓，但它們位於不同的世界中。當我們向盒子裡看時，也就是說進行量子測量的時候，整個世界立刻分裂成它自己的兩個版本。這兩個版本在其餘的各個方面都是全同的。唯一的區別在於，在其中一個版本中，原子衰變了，貓死了；而在另一個版本中，原子沒有衰變，貓還活著。
惠勒、霍金、費曼、溫伯格等都在一定程度上支持過「多世界詮釋」。據一些簡單的統計調查，支持「多世界詮釋」的物理學家似乎越來越多。有人認為，它已經在逐漸代替「哥本哈根詮釋」。但是，也有許多物理學家不喜歡它，包括愛因斯坦，有人詼諧地說：「我不能相信，僅僅是因為看了一隻老鼠一眼，就使得宇宙發生了劇烈的改變！」的確，量子力學只涉及到微觀粒子的問題，要解釋它，大可不必牽動整個宇宙！這其中的詭異性，恐怕比「哥本哈根詮釋」，有過之而無不及。因此，我們也迴避迴避，暫時不在這裡討論它。
在前面的「玻愛之爭」一講中，我們用擲硬幣的例子來說明「上帝擲骰子」與「人擲骰子」的區別。上拋的硬幣，實際上是完全遵循確定的力學規律的，它之所以表現出隨機性，是因為我們不了解硬幣從手中飛出去時的詳細信息。也就是說，我們放棄了一些「隱變量」：硬幣飛出時的速度、角速度、方向、加速度……等等。如果忽略外界的影響，把這些隱變量全都計算進去，我們可以說上拋硬幣掉回原處時的狀態是在離開手掌的那一刻就決定了的！
現在，愛因斯坦等人提出的 EPR 佯謬，是否也是因為我們忽略了某些隱變量的原因呢？貝爾在感情上更偏向愛因斯坦，相信愛因斯坦的觀點：既然兩個互相糾纏的粒子，當它們被測量儀器觀測到的那一剎那，是不可能瞬時超距地傳遞信息的，那麼，它們被測量時候的狀態，就應該是在它們產生之時，或者說互相分開的那一刻，就已經決定了。、
這就和我們擲硬幣的情形類似，隨機性來源於我們尚未認識的某些隱變量，而不是像玻爾所認為的那樣，後來被觀測的那一刻，才臨時隨機選擇而坍縮成某個量子態的！因此，貝爾下決心要用實際行動來支持偉人愛因斯坦，要研究這其中潛藏著的隱變量！
可是，他一開始就碰到了高手。早在1932 年，馮·諾依曼在他的著作《量子力學的數學基礎》中，為量子力學提供了嚴密的數學基礎，其中捎帶著做了一個隱變量理論的不可能性證明。他從數學上證明了，在現有量子力學適用的領域裡，是找不到隱變量的！
馮·諾依曼何等人物啊！天才神童，計算機之父。這位數學大師一言既出，二十年內量子論的隱變量理論無人問津。還好，當貝爾在60年代碰到這堵高牆的時候，前面已經有人為他開路：美國物理學家戴維·玻姆 (David Bohm)在 50 年代的工作，為馮·諾依曼的隱變量不可能性證明提供了一個實際的反例。而且，玻姆還將原來 EPR 論文中非常複雜的測量位置和動量的實驗，簡化成了測量「電子自旋」的實驗。
頑強的貝爾雖然是「業餘」理論物理學家，卻有「敢摸老虎屁股」的精神。他仔細研究了馮·諾依曼有關「隱變量不可能性證明」的工作後，找出了大師在數學和物理的交接之處，有一個小小的漏洞。
馮·諾依曼在他的證明中，用了一個假設：「兩個可觀察量之和的平均值，等於每一個可觀察量平均值之和」。但是，貝爾指出，如果這兩個觀察量互為共軛變量，也就是說，當它們滿足量子力學中的不確定性原理的話，這個結論是不正確的。
這兒可以插入一段有趣的歷史。貝爾是在 1964 年才指出馮·諾依曼的錯誤的。其實，早在 1935 年，有一個鮮為人知的德國女數學家格雷特·赫爾曼 ( Grete Hermann, 1901-1984 ) 就指出了天才數學大師的這點失誤。
格雷特·赫爾曼是享有「代數女皇」之稱的著名數學家艾米·諾特（Emmy Noether）在哥根廷大學的第一個學生。她早期對量子力學的數學哲學基礎作了重要的貢獻。1935 年，格雷特在一篇文章中提出對馮·諾依曼有關「隱變量不可能性證明」的駁斥。
但遺憾的是，格雷特·赫爾曼的文章長期被忽略。即使貝爾1964 年提出馮·諾依曼有關隱變量問題的錯誤之後，也沒有人想到當年格雷特·赫爾曼的那篇文章。又過了10 年，直到1974 年，格雷特·赫爾曼的原文已經發表了將近四十年之後，才被另一位數學家Max Jammer 發掘出來，為這位默默無聞的數學家正名。由此一事，充分顯示了名人威力之強大。
第二次世界大戰開始後，格雷特·赫爾曼積極參與了反納粹組織的各種活動。後來幾十年，她也不再涉獵數學和物理，而將她的人生興趣轉向了政治，此是與主題無關的後話。
確認了數學大師的這個小錯誤之後，貝爾探索隱變量的道路暢通了。於是，他開始構想他的理論，以此來支持他的偶像愛因斯坦，企圖將量子物理的圖像搬回到經典理論的大廈中！不過，他萬萬沒料到，他最終是幫了愛因斯坦的倒忙，反過來證明了量子力學的正確性！接下來，我們稍微用點簡單的數學，扼要地說明貝爾是如何得到他的著名的不等式的。
1963-1964 年，在長期供職於歐洲核子中心 (CERN) 後，約翰·貝爾有機會到美國史丹福大學訪問一年。北加州田園式的風光，四季宜人的氣候，附近農莊的葡萄美酒，離得不遠的黃金海灘，加之史丹福大學既寧靜深沉又寬鬆開放的學術氣氛，孕育了貝爾的靈感，啟發了他對 EPR 佯謬及隱變量理論的深刻思考。
貝爾開始認真考察量子力學能否用局域的隱變量理論來解釋。貝爾認為，量子論表面上獲得了成功，但其理論基礎仍然可能是片面的，如同瞎子摸象，管中窺豹，沒有看到更全面、更深層的東西。在量子論的深處，可能有一個隱身人在作怪：那就是隱變量。
根據愛因斯坦的想法，在 EPR 論文中提到的，從一個大粒子分裂成的兩個粒子的自旋狀態，雖然看起來是隨機的，但卻可能是在兩粒子分離的那一刻 ( 或是之前 ) 就決定好了的。
打個比喻說，如同兩個同卵雙胞胎，他們的基因情況早就決定了，無論後來他 ( 她 ) 們相距多遠，總在某些特定的情形下，會作出一些驚人相似的選擇，使人誤認為他們有第六感，能超距離地心靈相通。但是實際上，是有一串遺傳指令隱藏在他們的基因中，暗地裡指揮著他們的行動，一旦我們找出了這些指令，雙胞胎的「心靈感應」就不再神秘，不再需要用所謂「非局域」的超距作用來解釋了。
儘管粒子自旋是個很深奧的量子力學概念，並無經典對應物，但粗略地說，我們可以用三維空間的一段矢量來表示粒子的自旋。比如，對 EPR 中的糾纏粒子對 A 和 B 來說，它們的自旋矢量總是處於相反的方向，如下圖所示的紅色矢量和藍色矢量。這兩個紅藍自旋矢量，在三維空間中可以隨機地取各種方向，假設這種隨機性來自於某個未知的隱變量 L。為簡單起見，我們假設 L 只有 8 個離散的數值，L=1，2，3，4，5，6，7，8，分別對應於三維空間直角坐標系的 8 個卦限。
由於 A，B 的糾纏，圖中的紅色矢量和藍色矢量總是應該指向相反的方向，也就是說，紅色矢量的方向確定了，藍色矢量的方向也就確定了。因此，我們只需要考慮 A 粒子的自旋矢量 (簡稱紅矢) 的空間取向就夠了。假設紅矢出現在 8 個卦限中的概率分別為 n1，n2…n8。由於紅矢的位置在8 個卦限中必居其一，因此我們有：
n1 + n2 + n3 + n4 + n5 + n6 + n7 + n8 = 1
現在，我們來描述 A，B 的自旋矢量在三維空間可能出現的 8 種情況。下表左半部分列出了在這些可能情況下，自旋矢量在 x，y，z方向的符號。
表1 AB 糾纏態自旋矢量的 8 種可能性以及 4 個相關函數的值
既然 A、B 二粒子系統形成了互為關聯的糾纏態，我們便定義幾個關聯函數，用數學語言來更準確地描述這種關聯的程度。比如，我們可以如此來定義 Pxx(L)：觀察 x 方向紅矢的符號和 x 方向藍矢的符號，如果兩個符號相同，函數 Pxx(L) 的值就為 +1，否則，函數 Pxx(L) 的值就為 -1。我們從上表列出的紅矢和藍矢的符號不難看出，Pxx(L) 的 8 個數值都是 -1。然後，我們使用類似的原則，可以定義其他的關聯函數。比如說，Pxz(L)，是 x 方向紅矢符號與 z 方向藍矢符號的關聯，等等。在上表的右半部分，我們列出了 Pxx(L)，Pxz(L)，Pzy(L) 和 Pxy(L) 的數值。
現在，貝爾繼續按照經典的思維方式想下去：一個大粒子分裂成兩個粒子 A 和 B，A，B 的自旋看起來是隨機的，但實際上是按照上面的列表互相關聯著的。然後，它們朝相反方向飛去。經過一段時間之後，兩個粒子 A 和 B 分別被兩方的觀測儀器俘獲了。兩方的觀測者分別對 A 和 B 的自旋方向進行測量。因為 L 是不可知的隱變量，因此，只有關聯函數的平均值才有意義。根據表 1 中的數值，我們不難預測這幾個關聯函數被測量到的平均值：
Pxx = -n1 - n2 - n3 - n4 - n5 - n6 - n7 - n8 = -1
Pxz = -n1 + n2 + n3 - n4 + n5 - n6 - n7 + n8
Pzy = -n1 - n2 + n3 + n4 + n5 + n6 - n7 - n8
Pxy = -n1 + n2 - n3 + n4 - n5 + n6 - n7 + n8
讓我們直觀地理解一下，這幾個關聯函數是什麼意思呢？可以這樣來看：Pxx 代表的是 A 和 B 都從 x 方向觀測時，它們的符號的平均相關性。因為糾纏的原因，A，B 的符號總是相反的，所以都從 x 方向觀察時，它們的平均相關性是 -1，即反相關。類似地，Pxz 代表的是從 x 方向觀測 A 且從 z 方向觀測 B 時，它們符號的平均相關性。如果自旋在每個方向的概率都一樣，即 n1 = n2 = … = n8 = 1/8 的話，我們會得到 Pxz 為 0。對 Pzy 和 Pxy，也得到相同的結論。
換言之，當概率均等時，如在相同方向測量 A，B 的自旋，應該反相關；而如果在不同方向測量 A 和 B 的自旋，平均來說應該不相關。
我們可以用一個通俗的比喻來加深對上文的理解：兩個雙胞胎 A 和 B，出生後從未見過面，互相完全不知對方情況。一天，兩人分別來到紐約和北京。假設雙胞胎誠實不撒謊。當紐約和北京的警察問他們同樣的問題：「你是哥哥嗎？」，如果 A 回答「是」，B 一定是回答「不是」，反之亦然。對這個問題，他們不需要互通消息，回答一定是反相關的，因為問題的答案是出生時就因出生的順序而決定了的 (這相仿於 Pxx = -1 的情況)。但是，如果紐約警察問 A：「兩人中你更高嗎？」，而北京警察問 B：「你跑得更快嗎？」，按照我們的經典常識，兩人出生後互不相識，從未比較過彼此的高度，也從未一起賽跑。所以，他們的回答就應該不會相關了 (這相仿於 Pxz = 0 的情況)。
現在再回到簡單的數學：我們在 Pxz，Pzy 和 Pxy 的表達式上做點小運算。首先，將 Pxz 和 Pzy 相減再取絕對值後，可以得到：
這樣，從 (1) 式和 (2) 式，我們得到一個不等式：
這就是著名的貝爾不等式。上述不等式是貝爾應用經典概率的思維方法得出的結論。因此，它可以說是在經典的框架下，這3個關聯函數之間要滿足的一種約束條件。也就是說，如果大粒子分裂成的兩個小粒子A和B 是經典粒子的話，它們便必須遵循經典統計的規律，必須滿足由經典概率方法得到的貝爾不等式！
但是，如果我們考慮量子力學，將兩個小粒子A和B 當成是量子力學中的粒子，情況又將如何呢？它們的行為當然只有兩種情形：遵循貝爾不等式，或者不遵循貝爾不等式。如果遵循貝爾不等式的話，那就好了，萬事大吉！愛因斯坦的預言實現了。量子力學中的粒子也應該是滿足「局域實在論」的，雖然在微觀世界中的量子有時候表現得行為詭異，那只不過是因為有某些我們尚且不知道的隱變量而已，那不用著急，將來我們總能挖掘出這些隱變量來。
第二種情況，那就是量子現象不遵循貝爾不等式，也就是說，不能簡單地用隱變量的理論來解釋量子現象。貝爾用他的「貝爾定理」來表述這種情形：「任何局域隱變量理論都不可能重現量子力學的全部統計性預言」。如果是這樣的話，世界好像有點亂套！不過沒關係，貝爾說，重要的是，這幾個關聯函數都是在實驗室中可以測量到的物理量。這樣，我的不等式就為判定 EPR 和量子力學誰對誰錯提供了一個實驗驗證的方法。那好，理論物理學家們說，我們就暫時停止毫無意義的、純理論的辯論，讓將來的實驗結果來說話吧。
在談到實驗之前，還得順便提一句，我們在本文中所談到的量子糾纏以及推導貝爾不等式的過程，用的都是 EPR 佯謬簡化了的波姆版。也就是說，我們使用了兩個不同的自旋 (「上↑」和「下↓」) 來表述量子態，這使得問題敘述起來簡化很多，因為在這種只有兩個離散變量的情況下，單個粒子的量子態，只對應於二維的希爾伯特空間。
希爾伯特空間可以理解為將維數擴展到無窮大、變量擴展到複數的歐幾裡德空間。一個量子態被表示為希爾伯特空間中的一個矢量。單粒子的自旋空間是一個簡單的二維希爾伯特空間。如果考慮兩個粒子系統的自旋狀態，便對應於四維的希爾伯特空間。
在愛因斯坦等人的原始 EPR 文章中，是用兩個粒子的位置及動量來描述粒子之間的「糾纏」。位置和動量是連續變量，可以取無窮多個數值，如此表示的量子態則對應於無窮維希爾伯特空間中的矢量。因而，描述和推導都非常複雜，解釋起來也困難多了。為簡單起見，我們使用自旋或類似的可數離散變量來描述和解釋量子態，包括糾纏態。這種方法稱之為「離散變量」的方法。但在實際的物理理論和實驗中，描述和製備糾纏態時，也可以使用「連續變量」的方法。連續變量和離散變量的糾纏態，在理論和實驗研究上有所不同，而在量子信息的應用方面，也各有其優缺點。
在前面的內容中，我們介紹了「疊加態」和「糾纏態」，現在，不妨用點簡單的數學來重新整理一下這幾個基本概念。
單粒子的自旋量子態，可以表示為二維希爾伯特自旋空間中的一個矢量。著名的英國物理學家狄拉克為量子態空間定義了一套十分優雅的符號系統，比如說，狄拉克用下面兩個符號來表示粒子自旋的兩個基本狀態：|上> 和 |下>，或者記作 |0> 和 |1>。這兩個基態是自旋空間的基矢，如下圖所示。
普通空間和自旋空間(a)二維歐幾裡德空間；(b)自旋量子態的希爾伯特空間
一個粒子的自旋疊加態，可以表示成這兩個基態(自旋本徵態)的線性疊加，如圖1(b)所示，
這裡的 C1 和 C2 是滿足 |C1|2 + |C2|2 = 1 的任意複數，它們對應於兩個本徵態在疊加態中所佔的比例係數。當 C1 = 0，或者 C2 = 0 時，疊加態就簡化成兩個本徵態。兩個比例係數的平方 |C1|2 或 |C2|2 ，分別代表測量時，測得粒子的狀態為本徵態 |0> 或本徵態 |1>的機率。
除了自旋系統之外，狄拉克符號及公式 (1) 也可以用以表示其他系統的本徵態。比如，在楊氏雙縫實驗中，電子或光子位置的疊加態可以寫成：
這個薛丁格貓的例子可以敘述得更具體一些。比如，如果在實驗中我們能夠確定 C1 = 0.8 和 C2 = 0.6，那麼打開蓋子時，見到活貓的機率是 0.82 = 0.64，而見到死貓的機率是 0.62 = 0.36。就是說，實驗者有 64 % 的概率看見一隻活蹦亂跳的貓，而只有 36 % 的概率看見一隻死貓。感謝上帝，他並不會看到一隻可怖的又死又活的貓！
薛丁格和愛因斯坦認為那種貓很可怕，但根據玻爾一派的觀點，那種疊加的「|貓態>」只有可能存在於打開蓋子之前，蓋子被揭開之時，疊加態便立刻「塌縮」到了其本徵態之一。至於打開蓋子之前，玻爾等人認為：貓可能根本就不存在，也不用去想它到底是什麼模樣，那是個毫無意義的問題！
上述兩個例子中的狀態，諸如|縫1>、|縫2>、|活貓>、|死貓>，都是「本徵態」。根據上面的公式(1)可看出，疊加態是普遍的大多數，而本徵態只代表 (C1 = 1，C2 = 0)或者(C1=0，C2=1) 的少數極端情況。還可以看出，如果一個粒子處於本徵態，那麼，它的測量結果是確定的 (機率 = 1)。
本徵態是確定性的，因此，只有疊加態才表現出量子力學「既在這兒、又在那兒」的詭異特徵。現在，我們從簡單的數學表述，更為深刻地理解了：疊加態的存在是量子力學最大的奧秘，是理解量子力學的關鍵。
那麼，又應該如何從數學上來表示「糾纏態」呢？我們以最簡單的兩個粒子的糾纏為例說明。如果有兩個粒子 A 和B，它們分別都有兩種自旋本徵態 |0>，|1>，將它們簡寫為 (A1, A0) 和 (B1, B0)。從兩個單粒子的自旋本徵態，應該可以組合成 4 種雙粒子自旋本徵態：A1B1、A1B0、A0B1、A0B0。
類似於單粒子的情形，這 4 種本徵態可以作為 4 維空間的基底，如果以滿足一定歸一化條件的複數 C1, C2, C3, C4 為係數，便能線性組合成許多混合疊加態。這些疊加態可以分成兩大類：糾纏態和非糾纏態。如果一個雙粒子疊加態可以寫成單個粒子狀態的 (張量) 乘積的話，就是非糾纏態，比如下面是一個非糾纏態的例子：
因為它可以寫成第一個粒子的疊加態 (A0 + A1) 和第二個粒子的疊加態 (B0 - B1) 之乘積的形式。為簡單起見，我們在上述量子態的表達式中略去了機率歸一化的係數 Ci。
可以證明，上述疊加態無法表達成兩個單粒子狀態的乘積，這在物理上意味著兩個粒子的狀態糾纏在一起不可分。也就是說，如果對其中一個粒子 A 的狀態進行測量的話，當 A 塌縮到某個本徵態時，粒子 B 的狀態也立即塌縮到一個與 A 所塌縮狀態相關的本徵態，即對 A 的測量將影響對 B 的測量。用上面的量子態「糾纏1」為例來說明這種多粒子複合態如何糾纏。
首先，「糾纏 1」是一個由兩個本徵態 A0B1 和 A1B0 組成的疊加態。測量之前的狀態「既是 A0B1，又是 A1B0」。一旦測量任何一個粒子，比如對粒子 A 進行測量的話，A 的狀態立即塌縮成 0，或者 1，機率各半。然而，在測量 A 的瞬時，怪事發生了：雖然 B 沒有被測量，但卻同時塌縮到與 A 相反的狀態，即使這個時候 A 和 B 已經相距很遠很遠。這便是 A 和 B 互相糾纏的意思。
實際上，薛丁格的貓態並不是簡單的死貓和活貓的疊加態，而應該是「貓」和實驗中「放射性原子」兩者構成的糾纏態：
如果使用量子論的正統解釋，上面表達式的意思是說，薛丁格的貓與原子組成的兩體系統，處於兩個本徵態的混合，即
盒子打開之前，總狀態不確定，是 |本徵態1> 和 |本徵態2> 的混合疊加。盒子一旦打開，總狀態塌縮到兩個本徵態之一，機率各半。
現在再回到貝爾不等式。大家還記得，在上一節中，我們是用經典概率方法導出這個不等式的。所以，經典粒子的行動規律一定會受限於這個不等式。但量子理論中的粒子又如何呢？會不會遵循這個不等式？簡單的理論推導可以證明：量子粒子的行為是違背貝爾不等式的。
仍然考慮(2)式的疊加態「糾纏1」，它對應的量子態又叫做自旋單態。根據量子力學，如果在夾角為 θ 的兩個不同方向上對這個自旋單態粒子對進行觀測，理論預言的關聯函數平均值將會是 -cosθ。這個結果的推導過程需要用到量子力學自旋的計算，在此不表。但是，我們下面利用這個結論，加上幾步簡單的代數運算，可以檢驗量子力學的理論是否符合貝爾不等式。
其中的 x，y，z 不一定需要構成三維空間的正交系。比如說，可以取位於同一個平面上的 3 個方向，依次成 60° 的角。這樣就有：
代入貝爾不等式左邊，則為 |-1/2 - 1/2| = 1，代入貝爾不等式右邊，則為 1 - 1/2 = 1/2，因此，對量子力學的這種情況，貝爾不等式不成立。
剛才的例子說明，量子理論已經違背了貝爾不等式，實驗結果又如何呢？儘管糾纏態是多粒子量子系統中的普遍形式，但是，要在實驗室中得到好的糾纏態，可不是那麼容易的。有了糾纏度高、效率高、穩定可靠的糾纏態，才有可能在實驗室中來驗證我們在上一節中說到的貝爾不等式，作出愛因斯坦和量子力學誰對誰錯的判決，也才有可能將量子糾纏態實際應用到通訊和計算機工程技術中，實現「量子傳輸」及「量子計算機」等激動人心的高科技。
上世紀 70 年代早期，一位年輕人走進了哥倫比亞大學「吳夫人」 (美籍華人物理學家吳健雄) 的實驗室，向吳夫人請教 20 多年前，她和薩科諾夫第一次觀察到糾纏光子對的情況，那是在正負電子湮滅時產生的一對高能光子。當時的吳夫人沒有太在意年輕學生提出的這個問題，只讓他和她的研究生卡斯蒂談了談。這位年輕人名叫克勞瑟，出生於美國加利福尼亞的物理世家，因為他的父親、叔叔及家中幾個親戚都是物理學家，克勞瑟從小就聽家人們在一起探討和爭論深奧的物理問題，後來，他進了美國加州理工大學，受到費曼的影響，開始思考量子力學基本理論中的關鍵問題，他把一些想法和費曼討論，並告訴費曼說，他決定要用實驗來測試貝爾不等式和 EPR 佯謬。據他自己後來半開玩笑地描述當時費曼的激烈反應：「費曼把我從他的辦公室裡扔了出去！」
貝爾定理和貝爾不等式被譽為「物理學中最重要的進展」之一。之後，貝爾不等式被一個緊緊糾纏在一起的美國物理學家四人小組 (CHSH) 的工作所改良，稱為 CHSH 不等式。這四個人的名字是：克勞瑟、霍恩、西摩尼、霍爾特。上面提到的年輕人就是其中之一。儘管當克勞瑟對費曼說，他要用實驗來檢驗貝爾定理，費曼激動得把他從辦公室趕了出去。但克勞瑟卻堅信實驗的必要性，他總記得同是物理學家的父親常說的一句話：「別輕易相信理論家們構造的各種各樣漂亮的理論，最後，他們也一定要回過頭來，看看實驗中你得到的那些原始數據！」後來，克勞瑟及其合作者果然成為 CHSH - 貝爾不等式實驗驗證的第一人。
參考文獻
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