萬國博覽會展露頭角,不能做加減乘除計算的儀器,卻能測出面積

萬國博覽會展露頭角，不能做加減乘除計算的儀器，卻能測出面積

首度世界博覽會開幕，不見差分機，卻有面積儀？

1851 年，英國倫敦海德公園出現一棟由鋼製框架與玻璃蓋成的巨大建築。這棟長五百多米、高度近四十米的「水晶宮」(The Crystal Palace)，是為了萬國工業博覽會而興建。這是史上首度舉辦的萬國博覽會，世界各國在此展出最新技術與發明。

英國發起這場盛大的活動，目的在於展現工業革命之後的各項成果，以證明大不列顛的領導地位。各國不甘示弱，也都使出渾身解數，不只比誰有最新發明，更要爭誰的設計更佳。因此除了有首度亮相的衝水馬桶、傳真機等全新的發明，也有望遠鏡、銀版攝影這種原本就有的事物。

1851 年於倫敦舉行的第一屆萬國博覽會

巴貝奇原本殷切期待在此次萬國博覽會展出差分機模組，讓世人見識他的發明，卻因為與內閣關係交惡，未能如願，還被排除在籌備委員會之外。即使巴貝奇真的成功打造出差分機，恐怕也會不符投資效益而賣不出去，就和其它山寨差分機一樣，很快就無疾而終。

當時一起展覽的還有一種科學儀器叫面積儀 (Planimeter)，是一種用途單純、相當成功的計算器。說是計算器，但其實面積儀並不能做數字的加減乘除，它的運算取決於機械動作的連續變化，因此在類別上歸屬於類比式計算機。面積儀後來又衍生出各種不同用途的類比式計算機，現代數字式電腦出現之前，許多艱巨的計算工作都是靠它們完成的。

土地面積太難算，發明面積儀來解決

類比式與數字式的差別在於數值的連續性。類比式所處理的數值之間是連續不間斷的，數字式所處理的則是一個個孤立的數字。例如從 0 到 9 之間的任何實數都包含在內，算是類比；而如果只有 0 到 9 這十個整數，則算是數字。若以幾何來表示，類比就是0到 9 這一條線段，而數字就只有 0、1、2、……、9 這十個點。

四則運算之類的計算器當然是數字式；但計算尺則算是類比式，因為遊標左右滑動，可以指到任何一個數字。傳統機械錶的指針是以連續不間斷的方式轉動，所以是類比式；不過同樣用指針的石英表則是數字式，因為秒針是一格一格地跳躍前進。巴貝奇的差分機與分析機雖然可以計算連續函數，卻是利用代表 0 到 9十個數字的齒輪來運算，因此屬於數字計算機；而面積儀則是用完全不同的方式計算連續函數。

面積儀最早是巴伐利亞 (Bavaria，現德國的一邦) 一位公務員赫爾曼 (Johann Martin Hermann) 於1814 年發明。他負責地理資料，為了計算每塊土地的面積而大傷腦筋。

土地形狀若是像課本上那種簡單幾何圖形，當然只需加減乘除，頂多加上三角函數就能算出面積。但實際上，土地邊界常常有不規則曲線，得用微積分才能算出面積大小，這就不是一件簡單的事，要有相當的數學程度才能勝任。而當有成千上萬筆的土地需要計算，得耗費掉多少時間？又去哪兒找那麼多數學家？

你可能會覺得這聽起來有點熟悉，沒錯，當年法國數學家普羅尼也是因為測量土地需要數值表，而面臨同樣的難題。普羅尼想出的解決之道，是利用差分法分拆計算過程，讓不懂數學的美髮師也能幫忙計算。赫爾曼則是直接思考如何用機器解決，才發明出面積儀。

不用計算數字，機械積分就能滾出積分結果

只要將面積儀置放在地圖上，握著上面的鐵針沿著土地輪廓描過一遍，就能自動算出面積大小（原理參見文末附註）。由於它是利用滾輪與圓錐體接觸面的變化，算出積分的結果，過程中的變化起伏與呈現出的數值都是連續的，因此是不折不扣的類比計算機。這也是第一部不必計算數值，光靠機械運動就能得出積分結果的機器。

面積儀使用方式

赫爾曼首創「機械積分」，為計算機開創出另一條不同的道路。不過他可能原本就是發明給自己內部使用，所以並未大肆宣揚，直到 1855 年出版的一本德國期刊介紹他的發明，世人才知道赫爾曼是最早的發明者，而這段期間已經有許多人也陸續發明出面積儀。 1851 年的萬國工業博覽會所展出的面積儀，便多達六款，分別來自義大利、瑞士、法國、英國等國。這些面積儀的構造略有不同，或增添滾輪、或用轉盤取代圓錐體，但原理都不脫赫爾曼的原始設計。

不過真正讓面積儀商業化並獲得廣泛採用的，是瑞士數學家兼物理學家阿姆斯勒 (Jakob Amsler) 於 1854 年所改良的機型。原來的面積儀是基於直角坐標系，將 X 軸與 Y 軸的位置變化轉換為數值；阿姆斯勒改用極坐標，測量的是角度與距離的變化。如此一來，阿姆斯勒便能把面積儀設計得更小巧，成本更低，而且使用起來更方便，計算結果也更準確，因此大受歡迎。三年後，阿姆斯勒乾脆自己設廠生產極坐標面積儀，在他 1912 年過世之前，一共賣出多達五萬臺。

阿姆斯勒設計的極坐標面積儀

機械積分真好用，各式類比計算機由此衍生

面積儀既然可以用利用機械積分算出積分值，類似的原理應該也可以畫出對應的積分函數。1878 年，波蘭數學家阿巴卡諾維茲 (Bruno Abakanowicz) 發明積分儀 (Integraph)。將積分儀的描圖臂沿著某一函數的曲線移動，另一根繪圖臂就會同時畫出這個函數的積分圖形，例如將描圖臂沿著 y=x 這條直線移動，繪圖臂就會畫出 y=1/2 x2 的曲線，相當於一臺輸出函數積分圖解的計算機。

除了積分儀，面積儀還衍生出許多不同用途的類比式計算機，其中契機正是源於1851 年的萬國博覽會，而關鍵角色竟是被譽為牛頓之後第二人的麥克斯韋 (James Clerk Maxwell)。麥克斯韋當時仍在劍橋大學就讀，他也跑去參觀萬國博覽會。面積儀的巧妙設計讓他印象深刻，回去後繼續思考其中原理，最後還發表論文，提出改善建議，竟因此開啟了類比式計算機一連串的發展。

面積儀的運作原理：

面積儀有支活動的懸臂，末端插著細細尖尖的鐵針。內部有個圓錐體，會隨著懸臂前後移動而順時針或逆時針轉；以及一個與圓錐體表面接觸的滾輪，滾輪會隨著懸臂左右移動而上上下下。

當鐵針沿著土地邊界移動，便會帶動懸臂前後左右移動，使得滾輪隨著圓錐體轉動。鐵針的位置若以直角坐標 (x,y) 表示，y 越大，滾輪越靠近圓錐體底部，因此轉越多圈。x 增加時，滾輪順時針轉，會累加轉動的圈數，反之則逆時針轉，倒扣轉動圈數。滾輪聯結到有如時鐘的圓盤，上面的指針會跟著同步轉動，所指的數字便是累計的圈數，也就是土地的面積。