電通量與電場線

2021-01-17 大繭蛹的物理筆記

電場強度矢量反映了電場力的性質，試探電荷在靜電場中某一位置所受電場力為

既然電場強度反映電場力的性質，現在不妨把它與一個質點所受的力作個比較，並以此進一步定義一些與電場有關的物理量，而這些物理量，在電磁學中將會展現它們獨有的魅力。

【上述內容可參考：常見力的功】

上述曲面積分，可形象地理解為矢量「穿過」某一曲面的量值，物理學中稱之為通量（flux）。電場強度的通量稱為電通量（electric flux）。

根據兩個矢量標量積的計算規則，（2）式可以用下述標量式表示為

那麼，現在看一個最簡單的情形：場源點電荷的電場在一個以場源電荷為球心的閉合球面上的電通量，如下圖：

我們已經知道，場源電荷的電場，在這樣的球面上，電場強度大小處處相等，方向處處與球面垂直【內容可參考上文：電場電場強度】，具體的在上圖中已標出，電場強度的大小為

這一結果表明點電荷的電場在以它為球心的球面上的電通量，與球面的半徑無關，只與場源電荷的電荷量有關。

不過，這個閉合面一定是球面嗎？前邊說過，電通量實際上是電場強度大小與面元在它的投影方向的面積的乘積，也就是說，就算不是球面，我們也要找垂直電場方向的投影面，那麼，圍住點電荷的一般閉合面，就可以看作是多個部分球面形成的閉合面，示意圖如下：

（這個示意圖想要表達的意思是，任意閉合曲面的電通量都可以得到與球面相同的效果，但當圖片做出後感覺表意不佳，這裡簡單補充一個文字說明。剛剛說過，電通量是電場強度矢量與該處面元矢量的標量積，實際上可以視為電場強度大小與該處的面元在垂直電場的投影方向上的面積之積，對於點電荷的電場而言，這個投影相當於是一個極小的球面。）

這樣一來，（4）式的結果就可以推及圍住場源電荷的任意閉合面了，也就是說，點電荷的電場，在圍住它的任意閉合曲面上的電通量都有（4）式的結果。

再結合電場疊加原理，（4）式的結論對圍住任意多場源電荷的情形都成立了。

當然，需要注意的是，對於一個閉合曲面來說，其每一處的面元矢量的正方向應有一個統一的規定，比如，前邊也提過的，通常規定面元法向由內向外的方向為正方向。

那麼，現在還有一個問題：如果閉合面外還有電荷，它的電場強度在這個閉合面上的電通量又是多少呢？

按照上述推理，不妨想像一下，這種情況下場源電荷在它外部的這個閉合曲面的任意一處所產生的場強，有正也有負。如果大致按照正負把閉合面分為兩部分的話，那麼，正、負通量的代數和應為0。也就是說，閉合曲面外部的電荷，其電場對此閉合曲面的電通量總是0。

（在上圖中，閉合曲面外的點電荷，在閉合曲面的一側，電場強度矢量與面元法矢量夾角為鈍角，按照矢量標積的計算規則，該處電通量為負，反之，在閉合曲面的另一側，電場強度矢量與面元法矢量夾角為銳角，該處電通量為正。嚴格的數學證明可以得到：閉合曲面外的電荷對該閉合面的總電通量為0，此圖只作為簡單說明。）

當然，以上的證明過程從數學上來說並不嚴謹。上述的各個結論，嚴格的數學證明需要用到立體角的概念。只是有一點需知，上面的一切結論都需要一個共同的前提條件——電力的平方反比律精確成立。

現在，把剛才的分析過程總結成一個通用結論，如下：

既然此結論以天才數學家、物理學家高斯（Gauss）命名，想必由此定律可以得到靜電場的一些獨特的性質。現在不妨針對此結論繼續分析下去。

設想一下，在靜電場中的某一位置附近圍出一個閉合曲面，那麼，根據高斯定理，可以發現，對於這個閉合曲面：

在上面的三張圖片中，我們用帶有箭頭的曲線形象地表達了電場的「流動」，這種描述電場的方法是英國物理學家、化學家法拉第（Michael Faraday）最早採用的方法，現稱之為電場線（electricfield line）。電場線上每一點的切線方向就是該處電場強度矢量的方向。有了電場線以後，電場在空間（起碼在二維空間內）的分布情況就相對直觀了。（註：實際上電場是一種空間分布，當然沒有真正的流動，但描述其強度的矢量具有方向性，與流體的流動很相似，所以我們多次借用了「流動」的概念。）

現在我們可以這樣說：當閉合面內總的電荷量為正時，電場線從面內穿出面外；當閉合面內總的電荷量為負時，電場線從面外穿入面內；當閉合面內的電荷量代數和為0時，電場線穿過閉合面，流入的數量等於流出的數量。總之，靜電場的電場線總是從正電荷（可以是任意位置的正電荷，含無限遠處）發出，並終止於負電荷（同樣，是可以位於包含無窮遠處在內的任意位置的負電荷），不會是閉合曲線。

這一切都表明：靜電場是有源場。

現在，把一簇電場線作為「流管」，兩端封閉，做成一個管狀閉合面，如下：