從小我們就聽過龜兔賽跑的故事，你知道嗎？在某些情況下，兔子是永遠都追不上烏龜的。
還是先來複習一遍龜兔賽跑的故事。假設兔子與烏龜的賽程是120米，兔子跑到60米的時候，發現烏龜才挪動了6米，這時比賽時間已經過去了1分鐘，也就是60秒。也就是說兔子的速度是60米除以60秒等於1m/s，而烏龜的速度只有6÷60=0.1m/s。
兔子一看烏龜這麼慢，便找了個地方睡覺，準備等一等烏龜。
可當兔子醒來的時候，烏龜距離終點就只有10米的距離，按照兔子和烏龜的速度，我們可以算出兔子跑到終點只需要1分鐘的時間，而烏龜需要100秒，也就是1分鐘40秒。兔子是可以追上烏龜的。
那我為什麼說，兔子永遠也追不上烏龜呢？
其實這就涉及了一個大前提，兔子超過烏龜，總是需要到達烏龜之前的位置。也就是和兩分法悖論差不多。
有一個100米的賽程需要跑完，而參賽者跑完剩下距離的二分之一需要9秒。當跑完50米的時候，時間用掉了9秒，而當參賽者跑接下來的50米的一半時，也需要9秒；依次繼續，每次9秒的時間，參賽者只能跑剩下距離的二分之一，最後總是會剩下二分之一，也就是0.5的n次方的距離，按照這種定義，參賽者是永遠跑不到終點的。
這就和兔子永遠追不上烏龜是一樣的，兔子每次只能先跑到烏龜上一秒所呆的位置上。兔子與烏龜總是相距烏龜1秒所爬的路程，這樣兔子又怎麼能追上烏龜呢？
其實，這個悖論出現的原因，都是因為一個前提，追趕者總是會先跑到被追趕者之前的位置上，而正是這個前提限制了追趕者的速度，導致追趕者永遠追不上被追趕者。
和參賽者跑到終點都需要先跑到剩餘路程的二分之一一樣，無限的二分之一導致參賽者的總路程永遠也到達不了1。
而對於這種悖論，歐拉曾提出過一個解決方法。
我們先要知道，最後參賽者跑過的路程總是無限接近於1的，也就是0.99999999.....
而歐拉所做的就是證明了0.999999999....=1。
首先，我們把這個無限的0.999999設為X，根據數學的基本運算我們可以知道10X-X=9X，10X就是9.99999999......，用10X-X就等於9.99999999...-0.9999999...=9。
9X=9，那麼X就等於1。
與之相同的還有，靜止在空中的箭。都知道飛行的箭是一直處於運動的狀態中，可有人卻說，在相對的時間裡，箭其實是靜止的。也就是說，如果時間可以被停止，箭在時間停止的時候，是處於靜止狀態的。
後來我們就把這種現象，統稱為芝諾現象，也就是芝諾悖論。
在有限時間內的無限次操作就是芝諾現象的特點，就像是參賽者總需要無限次的到達剩下距離的二分之一，而每次移動的時間都是9秒，這就是在有限時間內的無限次操作。芝諾悖論利用的就是有限時間9秒，而每個9秒又只走剩下路程的一半，無限的2分之1，從而實現參賽者永遠到達不了終點的假象。
（圖片轉自網絡，侵權刪）