關於股市，壓倒性的看法是泡沫不可預測，但有人仍在捕捉這個聖杯。他們認為在極少數關鍵時刻股市是可能預測的，而這正是泡沫高峰。
本文作者貝樂斯及他所推薦的LPPL模型發明人Didier Sornette就屬於這些人。貝樂斯@Newsfeed 五月末經量化分析就發出「泡沫又熟了」的預測。
結果A股連續大跌，周六央行雙降之後，今天繼續重挫3%盤中巨震10%。自6月12日5178點高位算起，短短11個交易日，A股已暴跌至4053點，跌幅高達21.71%。來讀讀作者這篇《龍王之怒》。作者授權。
1987年10月19日「黑色星期一」，災難突然降臨，美國標準普爾500指數下跌超過20%。一天之內，一萬億美元的美國股票市值灰飛煙滅。
從1927年到2012年，美國標準普爾500指數單日變化的標準差約為1.2%左右。如果用這個數據衡量，按照高斯正態分布，1987年的股災是一個19個Sigma的事件，在我們存在的宇宙是不可能發生的。即使按照「黑天鵝」的冪律分布，這也是137年才會發生一次的事件。但災難還是發生了。
從正態分布到「黑天鵝」的冪律分布，再到「龍王」。人們認為絕對不可能的事情卻發生了，其可能性比預期的要高很多。如果仔細研究股市的長期變化，就會發現在「黑天鵝」理論的冪律分布之外，還存在著少數極值點，超越了冪律分布的範疇，已經無法用「黑天鵝」來解釋。這就是「龍王」存在的空間。
如果把美國標準普爾500指數自1927年以來單日下跌的概率畫到一張「對數-對數」坐標系的圖中，就會發現明顯的冪律分布，即從2個Sigma開始的一條斜線。這就是冪律分布在「對數-對數」坐標系下的體現。而在冪律分布的末端，有幾個明顯的Outlier，這些都是歷次股災的「龍王」，如19個Sigma的1987年股災，12個Sigma的1929年股災。
「黑天鵝」和「龍王」到底是如何發生的？真的不可預測嗎？答案就在於瞬時關聯。「黑天鵝」也好，「龍王」也好，都不是孤立的事件，而是一系列強烈關聯的事件，體現了正反饋的強大作用。什麼時候股市可以預測？關鍵就在於股市變化前後關聯的程度。如果股市每天的變化前後無關，如同扔硬幣一樣的幾何布朗運動，那麼股市無法預測。如果股市每天的變化前後產生了關聯，即今天的股價變化將影響未來的股價變化，那麼預測就是可能的。
「福無雙至，禍不單行。」 這句話非常適合A股。過去10年，A股單日下跌超過2.2%的概率是9.88%，但是，如果已經發生了一次超過2.2%的單日下跌，第二天再次發生超過2.2%的條件概率是17.36%左右。很明顯，股市發生了瞬時關聯，市場不再有效。
在一個理想的有效市場，每日的股價漲跌都是獨立的，就如拋硬幣，每次的概率都是一樣的。即使你連續拋出10個正面，第十一次是正面的概率仍然是50%，不會因為之前的結果而改變。這樣的市場，漲跌變化符合高斯正態分布。但是，現實情況並不是如此，股市漲跌實際變化更近似冪律分布。研究顯示，股市下跌的幅度在2個Sigma以上近似服從冪律分布，其係數為「3」，所以又稱之為「立方冪律」。股市之所以符合冪律分布而不是高斯正態分布，我認為就是市場的瞬時關聯。由於股市的參與者不是機械的硬幣，而是受感情與潛意識主導的人，股市今天的波動會對未來的波動產生微妙的影響，具有正反饋的作用。這種正反饋的作用相對較弱，轉瞬即逝，但卻足以改變股市變化的概率分布，從高斯正態分布變為冪律分布。
而那些超越了冪律分布的極值，其實是市場長時間關聯，大範圍無效的標誌。研究表明，1987年的股災，實際上是一個長達4年的資產泡沫的破裂。在股災之前很長的時間裡，股市都呈現強關聯的狀態，也就是說趨勢非常明顯。而在股災之後，這種關聯逐漸消失，回歸正常的無關聯狀態。
非理性泡沫的出現，大範圍偏離基本面的大漲大跌，體現了市場的大範圍失靈。在泡沫期間，由於股市這個複雜系統的自組織，系統的一致性與協同性共同增強，股市的正反饋作用強烈而持久，讓市場失效。正因為市場的失效，無法真正反映基本面信息，股價在強烈的正反饋作用下，產生了大範圍、長時間的關聯。這樣一來，預測也就成為了可能。而LPPL模型就是一種預測泡沫的有效工具。
LPPL(Log-Periodic Power Law)模型（對數周期性冪律模型）為什麼能很好的描述並預測泡沫期間股市的變化？這僅僅是在數學上的巧合嗎？其內在原理是什麼？答案就在於分形層級結構。
在傳統的歐幾裡德幾何，維度的表達為X^n, n=1,2,3...；維度是正整數。在歐幾裡德空間中，具有平移不變的特徵。在分形幾何中，維度的表達為X^(1-d), d可以是正實數，如1.5，2.7等。在分形結構中，存在著連續尺度不變的特徵，其數學表達是冪律。而分形層級結構則如同俄羅斯套娃娃一樣，一層套一層，是一種較弱的對稱形式，具有離散尺度不變的特徵，其數學表達是X^z, z為複數，即指數為複數的冪律。在複數空間，這樣的表達體現為一條螺旋曲線。而在實數軸的映射就呈現對數周期（Log-Periodic）特性，這就是LPPL的來歷。
股市，與自然界和人類社會一樣存在分形層級結構。人類的社會網絡，股市參與者組成的網絡，都是典型的分形層級結構。這些結構的標誌性數學特點就是LPPL。這些分形層級結構具有天然的對稱性。「對稱」的深刻含義在於，宇宙中的對稱，並不僅是左右上下，而且還是不同層次的對稱，從微觀到宏觀，從時間到空間，由最簡單的形狀構成最複雜的形態，形成完美而對稱的分形層級結構。「To see a world in a grain of sand And a heaven in a wild flower，Hold infinity in the palm of your hand And eternity in an hour. 」 --- William Blake 「一沙一世界，一花一天國。無窮於掌中，永恆在瞬間。」 宇宙的對稱之美，全在其中。LPPL只不過忠實的體現了這種結構的特點。
（以上圖片來自Wikipedia）
但是，僅僅存在對稱分形層級結構並不一定導致泡沫並出現「龍王」。根據Sornette教授的「龍王」理論，極端事件的發生有兩個條件：系統的一致性與協同性。當系統的一致性非常強時，黑天鵝式的極端事件容易發生。當系統的一致性和協同性同時加強時，如複雜系統自組織所產生的強烈正反饋，才會發生超越「黑天鵝」的更極端的「龍王」事件。「龍王」其實深藏於自然與社會的深層次結構之中，而不是來自外部。「龍王」的爆發，有明顯的徵兆，而且後果極其嚴重。懷怒未發，休祲降於天。龍王之怒，伏屍百萬，流血千裡。