一元二次方程的根的處理

2020-12-16 奮鬥教育一線

本次課重點講解一元二次方程根的處理，其中包括根的個數的處理、特殊根的處理以及根與係數的關係，其中根的個數的處理需要用到的是判別式，而涉及到根的特殊要求的問題，則需要將含參的根解出來後再按要求進行處理，這兩種類型是本節課的重點內容.

學習目標：深刻理解一元二次方程的根的個數與判別式之間的關係，並能夠進行相關的計算；學會處理方程的整數根問題；掌握一元二次方程的根與係數的關係，並能夠進行相關的化簡計算.

重難點分析:一元二次方程的根的個數與判別式之間的關係；一元二次方程的整數根的處理.

知識點梳理

要想判斷一元二次方程的根的個數，只需求出其判別式，根據判別式的正負性來判斷即可，需要注意的問題是在求判別式之前，一定要將已知的一元二次方程化為標準的一般式，這樣才能準確找到a，b，c的值，防止出錯.

此類題型考查一元二次方程判別式的知識．需要深刻體會：一元二次方程根的情況與判別式△的關係：

（1）b2－4ac＞0方程有兩個不相等的實數根；

（2）b2－4ac=0方程有兩個相等的實數根；

（3）b2－4ac＜0方程沒有實數根．

上述關係是一種等價關係，可以互相推導.

與前兩類求字母的取值範圍型的問題相比，區別

{!-- PGC_COLUMN --}在於本類題型中二次項係數的位置中含有字母，並且通過已知條件無法確認已知的方程是否是一個一元二次方程，故需要進行分類討論，主要分成兩類：第一類，二次項係數為零，則方程為一個一元一次方程；第二類，二次項係數不為零，則方程為一個一元二次方程.兩種情形下分別探究是否符合要求，再將兩個答案進行合併即可.

對於含有字母參數的一元二次方程想要判斷其根的個數，依然需要用判別式來判定，此類問題是一個典型的證明恆正或者恆負的問題，常會利用的知識就是完全平方的非負性.本題型與上一類問題的最大區別點在於：本類題型得到的判別式不是直接的完全平方的結構，需要通過配方來實現，故對配方法的掌握程度要求較高.

一元二次方程的整數根的處理問題一般分成兩大類問題：一類是已知字母的取值範圍，從而求出可取的整數值，再逐一代入驗證；另一類是方程的解可解出來，再根據整除性進行求值.對於第二類問題，又常會遇到兩種情形，一種是分母中有字母、分子中沒有字母，此時直接利用整除性求值即可；另一種是分子分母中都有字母，此時常會利用分離變量法化成第一種情況後再利用整除性求值，此種情況對分離變量法原理的深入理解就變得尤其重要.

此類題型是處理一元二次方程整數根的一類典型問題，此類題型的典型特點是一般都有兩問，第一問通過根的個數問題求出字母的取值範圍，第二問常限定字母的特徵（如：是正整數、是負整數等），再根據這一限定求出字母可取的值，接下來驗證哪些可取的值可以使根為整數即可.

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